精品解析：辽宁省锦州市铁路高级中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

锦州铁中2025—2026学年上学期高一第一次月考 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ） A. ①③ B. ②④⑤ C. ①②⑤⑥ D. ③④ 3. 若全集，，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 4. 下列是存在量词命题且是真命题的是（ ） A. B. C. D. 5. 命题“对任意的”的否定是（ ） A. 存在 B. 存在 C. 不存在 D. 对任意的 6. 设命题，使，则使得为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则下列说法错误的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 8. 已知，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.（选对部分得部分分）. 9. 已知正数，，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，则下列函数的最小值为2的有 A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为_____. 13. 已知，则_______．（用“>”或“<”填空） 14. 函数的最小值是______. 四､解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，， 或. （1）求，； （2）求，. 16. 设，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 17. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若的最小值为，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦州铁中2025—2026学年上学期高一第一次月考 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用子集的定义直接判断即可. 【详解】集合，，则对，有， 所以. 故选：C 2. 有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（ ） A. ①③ B. ②④⑤ C. ①②⑤⑥ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等的定义、子集的定义、空集的性质，结合元素与集合的关系进行判断即可. 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④， 故选：D 3. 若全集，，，则集合等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以根据题意中给出的条件依次写出、、以及，然后将得出的集合与集合进行对比即可得出结果． 【详解】由题意可知：，， ，， 故选D． 【点睛】本题考查集合的运算，主要考查集合的运算中的交集、并集以及补集，考查计算能力，体现了基础性，是简单题． 4. 下列是存在量词命题且是真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由存在量词命题和真命题的定义即可得解. 【详解】对于AC，它们都是全称量词命题， 对于D，显然是真命题，故D是假命题， 对于B，当时，存在量词命题是真命题. 故选：B. 5. 命题“对任意的”的否定是（ ） A. 存在 B. 存在 C. 不存在 D. 对任意的 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“对任意的”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是存在. 故选：A 6. 设命题，使，则使得为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出命题为真命题的充要条件，再根据集合的包含关系得到一个充分不必要条件. 【详解】解：设，则为真命题， 在内零点， ， 即命题为真命题的充要条件为， 因为， 所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以是； 故选：D. 7. 设，，，则下列说法错误的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式证明选项AC正确，D错误；利用不等式证明选项B正确. 【详解】因为，，， 则，当且仅当时取等号，所以选项A正确； 因为， 故，当且仅当时取等号,即最小值，所以选项B正确； ， 当且仅当且即，时取等号，所以选项C正确； ， 故，当且仅当时取等号，即最大值，所以选项D错误． 故选：D． 8. 已知，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，由，结合基本不等式，求得，进而求得的最大值. 【详解】由，可得， 又由，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即的最大值为. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.（选对部分得部分分）. 9. 已知正数，，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由正数，，结合基本不等式依次判断选项，即可得结果. 【详解】对于A， ，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，，，当且仅当时，等号成立，故D错误； 故选：ABC 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】取，可判断A；利用分析法证明不等式可判断B；利用基本不等式可判断CD. 【详解】对于A选项，若，则与题意不符，故A选项错误； 对于B选项，要证明 只需证明， 只需证明， 只需证明 因为，， 所以，符合题意，故B选项正确； 对于C选项，因为，所以， 所以， 所以，当且仅当即时等号成立，故C选项正确； 对于D选项，因为，根据基本不等式，， 当且仅当时取得等号，故D选项错误. 故选：BC. 11. 已知，则下列函数的最小值为2的有 A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式或函数单调性分别求函数的最小值，确定选项. 【详解】因为，所以（当且仅当时取等号）； 因为函数在递增，所以； 因为函数在递增，所以； 因为，所以（当且仅当取等号），故选ACD. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，函数的单调性应用，考查计算能力属于中档题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】解二次不等式即可得解. 【详解】，故所求为. 故答案为：. 13. 已知，则_______．（用“>”或“<”填空） 【答案】> 【解析】 【分析】作差，判断差的符号可得答案. 【详解】因为, 又，，所以，所以， 故答案为：>. 14. 函数的最小值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】将函数转化为，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值是3， 故答案为：3 四､解答题：本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，， 或. （1）求，； （2）求，. 【答案】（1），； （2）或，或. 【解析】 【分析】 （1）根据集合交集、并集的概念进行计算即可； （2）先计算集合B的补集，然后分别计算，. 【详解】解：（1）∵，， ∴，. （2）或，或， 或. 【点睛】本题考查集合间的综合运算，较简单，解答时注意端点的取值. 16. 设，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)结合条件等式，利用基本不等式求的最值，(2)由条件，利用基本不等式求其最值. 【详解】（1）当且仅当时等号成立． ∴当时有最大值． （2） （取等号） 17. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若的最小值为，且，证明：. 【答案】（1）； （2）证明： 因为 ， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，故. 【解析】 【分析】(1)分类讨论三种情况下的解集 (2)先求出的最小值为，代入后运用基本不等式证明不等式成立 【详解】（1）由，得， 则或或， 解得：，故不等式的解集为. （2）证明：略. 【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法，需要对其分类讨论，然后再求解，在证明不等式时运用了基本不等式 的用法，需要掌握此类题目的解法 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $