精品解析：天津市滨海新区塘沽第二中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷

塘沽二中2025—2026学年度第一学期高三年级 月考试卷 数学学科 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，，则，，的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 某同学用摄影机记录了迁徙中的某种候鸟在某一时刻的飞行姿态如图所示，如果用函数的部分图象来描绘候鸟某一时刻翅膀的飞行姿态，则的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 设是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知空间三点，，，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 已知复数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 9. 已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 10. 在一次劳动技术课上，某12人的小组中的同学们利用图（一）的棱长为的正方体胶泥作为原料，每人制作一个图（二）的冰激淋胶泥模型（上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥），则制作完成后剩下的胶泥约为（ ）（忽略制作过程中的损耗，） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 复数的虚部为__________． 12. 若二项式展开式中的常数项为160，则______． 13. 若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为__________． 14. 已知直线经过点，圆，若直线与圆C相切，则直线的方程为____________ 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆相交于A，B两点，则直线l的倾斜角为___________，弦AB的长度为___________ 16. 已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则圆心C的坐标为_________，________． 17. 若直线与直线平行，则直线与的距离为__________. 18. 已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是______. 三、解答题（本大题共4小题，共60分） 19. 在中，角所对的边分别是.已知，，. （1）求的值； （2）求c的值； （3）求的值. 20. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 21. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若的面积为，且，求的周长. 22. 如图，在四棱锥中，平面，，，，M是上的点，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽二中2025—2026学年度第一学期高三年级 月考试卷 数学学科 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的并集和补集运算可得结果. 【详解】由题意，，则. 故选：B. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，再结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】，即，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 3. 设，，，则，，的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用指数函数的性质与对数函数的性质分别判断与和的大小，即可得出结果． 【详解】∵根据指数函数的性质可得：， 由对数函数的性质可得：，， ∴. 故选：A. 4. 某同学用摄影机记录了迁徙中的某种候鸟在某一时刻的飞行姿态如图所示，如果用函数的部分图象来描绘候鸟某一时刻翅膀的飞行姿态，则的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和的值，利用排除法即可求解. 【详解】因为，则是偶函数，故AD错误； 因为，故C错误，B正确． 故选：B 5. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解. 【详解】若直线的倾斜角的大小为，则直线的斜率为， 则，所以直线即直线， 所以，解得. 故选：D 6. 设是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由线面、面面位置关系逐个判断即可. 【详解】若，，则或，A错误； 若，，则或或，B错误； 若，，则或相交，C错误； 设直线方向向量为，平面法向量分别为， 因为，所以， 又，所以， 所以 所以，正确， 故选：D 7. 已知空间三点，，，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求在上的投影向量，再结合勾股定理求结论. 【详解】因为，，， 所以，， 所以在向量上的投影向量的长为， 所以点到直线的距离是. 故选：C. 8. 已知复数，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算先计算，进而得，最后求复数的模即可. 【详解】由题意有：，所以， 所以， 故选：B. 9. 已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得直线过定点，则定点到圆心距离等于圆心到直线距离时可得最小值. 【详解】圆 ，则直线过定点， 因定点在圆内， 定点到圆心的距离为，所以直线与圆相交弦长的最小值为. 故选：A. 10. 在一次劳动技术课上，某12人的小组中的同学们利用图（一）的棱长为的正方体胶泥作为原料，每人制作一个图（二）的冰激淋胶泥模型（上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥），则制作完成后剩下的胶泥约为（ ）（忽略制作过程中的损耗，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体，球及圆锥的体积公式即得. 【详解】由题可知正方体胶泥的体积为， 每个冰激淋胶泥的体积为， 所以12个冰激淋胶泥的体积为， 所以. 故选：B. 二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 复数的虚部为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，即可判断. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故答案为： 12. 若二项式展开式中的常数项为160，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出. 【详解】由题二项式展开式的通项公式为：， 所以当时的项为常数项，解得. 故答案为：2. 13. 若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用圆锥的轴截面是面积为的等边三角形求出圆锥的底面半径和母线长，然后再求圆锥的表面积． 【详解】设圆锥轴截面正三角形的边长是， 因为正三角形的面积为， 所以，， 所以圆锥的底面半径， 圆锥的母线， 这个圆锥的表面积是： 故答案为：． 14. 已知直线经过点，圆，若直线与圆C相切，则直线的方程为____________ 【答案】或 【解析】 【分析】当直线斜率不存在时，直线为符合题意，当直线斜率存在时，设为，由圆心到该直线的距离等于半径列方程即可求解. 【详解】将圆的方程化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径， 因为，所以点在圆外， 当直线的斜率不存在时，即直线为， 圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 整理：，解得， 所以直线为，即， 综上所述：直线的方程为或. 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆相交于A，B两点，则直线l的倾斜角为___________，弦AB的长度为___________ 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】由直线方程可得直线的斜率，再利用直线斜率与倾斜角的关系，即可求解直线l的倾斜角；根据圆的方程可求出圆心坐标和圆的半径，从而由圆的弦长公式即可求解. 【详解】解：由题意，直线斜率，所以倾斜角； 因为圆的方程，即，所以圆心为， 所以圆心到直线的距离， 所以弦， 故答案为：；. 16. 已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则圆心C的坐标为_________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将圆方程整理为标准方程，由标准方程可确定圆心坐标和半径，由为等边三角形得到，由垂径定理可构造方程求得的值. 【详解】圆方程可整理为：，圆心，半径； 为等边三角形，， 又圆心到直线距离，则，解得：. 故答案为：；. 【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，圆的弦长问题，求解弦长问题，一般要将圆的一般方程化成标准方程，求得圆心坐标和半径，利用垂径定理和勾股定理，点到直线的距离公式列出方程求解. 17. 若直线与直线平行，则直线与的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线平行求得，进而结合两平行线间距离公式分析求解. 【详解】由于与平行，则，即，解得或， 当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意； 当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意； 综上所述：，两直线方程分别为， 所以直线与的距离为. 故答案为：. 18. 已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】由的面积计算边，利用正弦定理得 外接圆的半径，最后利用勾股定理求得外接球的半径，进而得球的表面积. 【详解】由题意有：，所以， 又，所以， 所以（为外接圆半径），设外接圆的圆心为， 即，过点作平面，作的中垂线交于点，即， 所以点为三棱锥的球心，设外接球半径为， 所以， 所以此三棱锥外接球的表面积为, 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，共60分） 19. 在中，角所对的边分别是.已知，，. （1）求的值； （2）求c的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理即可求解； （3）由得，进而利用二倍角公式求，最后利用两角差的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理有：， 所以； 【小问2详解】 由余弦定理有：， 即，解得或（舍去）， 所以； 【小问3详解】 由（1）有，所以， 又，所以， 所以， 所以， 又，， 所以. 20. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 由题意，以为原点，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，，，，为棱的中点， 可得、、、、、、、、， 则， 设平面的法向量为， 因为，， 且，可得， 取，则，，所以， 则，故， 因为平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明平面即可； （2）借助（1）中的数据，结合线面角的向量解法即可得答案； （3）借助（1）中的数据，结合平面与平面所成角的向量解法即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得为平面的一个法向量， 又， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 易知是平面的一个法向量， 则 所以平面与平面夹角的余弦值为. 21. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解法1：根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式化简求解即可.解法2：根据余弦定理化角为边，然后再利用余弦定理求解即可. （2）由得，然后根据正弦定理得，然后利用二倍角公式求得，最后利用两角和的正弦公式求解即可. （3）利用面积公式求得，再由余弦定理得，结合已知求得，即可求得周长. 【小问1详解】 解法1：因为， 由正弦定理得 即， 因为，则，故； 解法2：因为， 由余弦定理得， 整理得，可得， 由余弦定理可得. 【小问2详解】 因为，且，则， ， ， . ， ， . 【小问3详解】 ， 因为由余弦定理得， 于是， 因为，则，所以， 因此，于是的周长. 22. 如图，在四棱锥中，平面，，，，M是上的点，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由平面，，结合平面, 故， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由有：， 所以， 由，所以， 所以，即， 所以，即， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2） （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算，利用数量积得，，利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）分别求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解； （3）假设在线段上存在点，设，求出，利用点到面的距离的向量求法即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）有， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 假设线段上存在点，使得点Q到平面的距离是， 设，所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 所以， 所以点Q到平面的距离为，解得， 所以当时，存在点满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $