精品解析：四川省彭州中学2024-2025学年高三下学期高考模拟考试（一）数学试题

彭州中学2024-2025学年度高三下学期高考数学模拟考试试题（一） 高2022级数学组祝愿所有同学高考成功! 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断即可． 【详解】全称命题的否定是特称命题， 命题“”的否定为. 故选：B． 2. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算与概念计算即得. 【详解】因， 由题意可得，得，解得. 【点睛】复数题是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性. 3. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】A 【解析】 【分析】如图，由题意可得海里、，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】如图，由题意得，海里， 得，在中，由正弦定理， 得海里. 故选：A. 4. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的定义一一判定即可. 【详解】对于A项，两函数的对应关系不同，故A错误； 对于B项，，两函数定义域不一样，故B错误； 对于C项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不一样，故C错误； 对于D项，，与， 两函数定义域一样，对应关系一样，故D正确. 故选：D. 5. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的距离公式求距离即可. 【详解】由，显然与平行， 所以它们的距离为. 故选：D 6. 2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以为圆心、为半径的圆，轨道Ⅰ是以为圆心、为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在点着陆．已知直线经过，，与圆交于另一点，与圆交于另一点，若恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且，，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，，结合椭圆的定义与圆的性质综合计算即可得、，即可得离心率. 【详解】法1：不妨设，，， 则，，， 所以， 所以①， ②， 联立①②解得，，所以椭圆离心率； 法2：，，设轨道Ⅱ的长轴和焦距分别为和， ，， 则， ， ，得：， 则，， ，得：，故. 故选：A. 7. 如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足 从开始，利用列举法即可解出． 【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：． ∴；；；；． 原位小三和弦满足：． ∴；；；；． 故个数之和为10． 故选：C． 【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题． 8. 已知过原点的直线与函数的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图象并分别求出和两段图象的切线方程，由交点个数即可求出斜率的范围. 【详解】设过原点与相切的于点， ，则斜率为，此切线方程为， 将原点带入得，即斜率为，当斜率时函数与过原点的直线有两个公共点， 设过原点与相切的于点， ，则斜率为，此切线方程为， 将原点带入得，即斜率为， 当斜率时函数与过原点的直线有两个公共点， 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列计算结果为有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数判断A，根据对数的运算性质与换底公式判断BCD. 【详解】，不是有理数，故A错误； ，是有理数，故B正确； ，是有理数，故C正确； ，是有理数，故D正确. 故选:BCD. 10. 已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则（ ） A. B. 的一个周期是4 C. 是偶函数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性与可得，根据导数的运算可得从而可判断B项，根据周期性与奇偶性可判断A项，根据奇偶性与导数运算可得，从而可判断C项，在中，令代入计算可判断D项. 【详解】因为函数是奇函数，， 所以， 所以，即：，故的周期为4， 所以，故的一个周期为4，故B项正确； ，故A项错误； 因为函数是奇函数， 所以， 所以，即：， 所以为偶函数，故C项正确； 因为， 所以， 令，可得，解得：，故D项错误. 故选：BC. 11. 已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意求出，再化简求出，利用裂项相消即可求出，即可求出满足题意的. 【详解】① ② ②①得， ，当时，，当时，，满足上式， 故， ， 故， ， 故. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，向量，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出，再由向量的坐标运算及模的坐标表示求解． 【详解】因为，所以，解得，则． 因为，所以，解得，则． ． 故答案为:. 13. 已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法求得直线的斜率，进而得直线方程. 【详解】设，由题意得， 两式相减，得，又是中点，所以， 代入得，则直线的斜率， 所以直线的方程为，化简得， 又点在椭圆内，故直线与椭圆相交. 故答案为： 14. “双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为__________．（若，则 【答案】0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可） 【解析】 【分析】根据题意和正态曲线的特征可得到，再根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可． 【详解】依题意可得， 要使次品率不高于，则正品率不低于， 又根据正态曲线的特征知，， 所以， 所以，解得． 故答案为：0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 为的中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论； （2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，平面平面平面， 平面， 取中点，连接，则平面， ， ，又， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为， ， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 16. 已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差，即可得到数列的通项公式； （2）表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和. 【小问1详解】 由题意， 在等差数列中，设公差为, 由，得，则， 又a3＋2，a4，a5－2成等比数列， ∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2， ∴，， ∴数列的通项公式为：． 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在数列中，， 在数列中，， ∴， ∴， ， 两式相减得 ． ∴ 17. 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）： 男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12； 女生：5，5，6，7，8，9，11，13． 假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立． （1）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率； （2）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望； （3）现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 0 1 2 期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本数据统计超过10本的个数即可求解， （2）根据乘法公式求解概率，进而得分布列，由期望公式即可求解， （3）根据方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 共选出了17名学生，其中有5人的阅读量超过10本， 所以此次活动中学生阅读量超过10本的概率为． 【小问2详解】 由题意，从男生中随机选出1人其阅读量超过10本的概率为； 从女生中随机选出1人，其阅读量超过10本的概率为． 由题设，的可能取值为0，1，2． 且； ； ． 所以的分布列为： 0 1 2 的数学期望． 【小问3详解】 ． 理由：设原女生的8个阅读量分别为， 原女生阅读量的平均数为，新增一名女生后，平均数依然为8， 则 所以 18. 已知点Q是圆（圆心为M）上的动点，点，线段QN的垂直平分线交MQ于点P． （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）已知点，S是轨迹E上一动点，求的最大值； （3）在轨迹E上是否存在点T，使？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由： 假设存在点T满足题设． 由，可知，， 结合，得． 由，解得或． 由于且，而，， 故不存在这样的点T满足题设． 【解析】 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质，依据椭圆的定义即可求得动点P的轨迹E的方程； （2）利用椭圆定义和三角形中两边之差的绝对值小于第三边的性质即可求得的最大值； （3）假设存在点T满足题设，进而求得、的值，再利用椭圆的性质得到、的范围，从而判断出不存在点T满足题设． 【小问1详解】 圆圆心， 连接PN，由线段QN的垂直平分线交MQ于点P，得， 那么， 所以动点P的轨迹是以N，M为焦点，以8为长轴长的椭圆， 即，，得，，所以． 故动点P的轨迹E的方程为． 【小问2详解】 易知N为椭圆的右焦点，由椭圆的定义知， 因此， 问题转化为“求椭圆上一点到B，M两点距离之差的最大值”． 连接BM，并延长BM交椭圆于点S， 此时，最大，最大值为， 故的最大值为． 【小问3详解】 略 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数存在两个不同的极值点，，证明：． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）由题意，得，． 由存在两个不同的极值点，得存在两个不同的正实数根， 即方程存在两个不同的正实数根，，                  所以，即．                  又因为，，，， 所以 ．                  令，其中，                  由，得在上单调递增， 所以，即 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的正负即可确定单调性， （2）根据极值点将问题转为存在两个不同的正实数根，，构造函数，利用导数求解即可. 【小问1详解】 当时,函数的定义域为， 且． 由，得． 随着的变化，，的变化情况如下： 2 _ 0 + 极小值 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彭州中学2024-2025学年度高三下学期高考数学模拟考试试题（一） 高2022级数学组祝愿所有同学高考成功! 考试时间：120分钟 满分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 3. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 4. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以为圆心、为半径的圆，轨道Ⅰ是以为圆心、为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在点着陆．已知直线经过，，与圆交于另一点，与圆交于另一点，若恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且，，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 15 8. 已知过原点的直线与函数的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列计算结果为有理数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则（ ） A. B. 的一个周期是4 C. 是偶函数 D. 11. 已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，向量，且，则___________． 13. 已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是___________. 14. “双碳”再成今年两会热点，低碳行动引领时尚生活，新能源汽车成为人们代步车的首选．某工厂生产的新能源汽车的某一部件质量指标服从正态分布，检验员根据该部件质量指标将产品分为正品和次品，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的一个值可以为__________．（若，则 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 16. 已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）： 男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12； 女生：5，5，6，7，8，9，11，13． 假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立． （1）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率； （2）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望； （3）现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明） 18. 已知点Q是圆（圆心为M）上的动点，点，线段QN的垂直平分线交MQ于点P． （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）已知点，S是轨迹E上一动点，求的最大值； （3）在轨迹E上是否存在点T，使？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数存在两个不同的极值点，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $