精品解析：2024届北京市延庆区内高班（北京市延庆区对青海玉树地区教育对口支援项目）高考二模理科数学试卷

2024年延庆区对口支援特色班二模统练（全国卷） 高三理科数学试卷 本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟. 第一部分 一、选择题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合中元素范围，再直接求交集即可. 【详解】或， 则 故选：B. 2. 已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】求出即得解. 【详解】解：因为，所以， 所以 在复平面内对应的点为，在第三象限. 故选：C. 3. 若直线是曲线在某点处的切线，则实数（ ）． A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设切点，求导数利用已知建立方程组解出即可. 【详解】设切点为， 由， 得， 则①， 由题意得：， 联立①可得，， 故选：C． 4. 将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体如图所示，则该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义，结合长方体的性质进行判断即可. 【详解】根据俯视图的定义，可以判断C是正确的， 故选：C 5. 有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践，且每名学生只去一个地区，其中A地区分配了1名学生的分配方法共（ ）种 A. 120 B. 180 C. 405 D. 781 【答案】C 【解析】 【分析】先选一名学生分配到地，剩下的4名学生在其他三个地区任选一个，由乘法原理可得． 【详解】由题意，先选一名学生分配到地，剩下的4名学生在其他三个地区任选一个，方法数为， 故选：C． 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点即可排除选项求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 因为，所以为奇函数，故排除C,D, 又，所以排除B, 故选：A 7. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合等差中项和等比中项分别求出和，代值运算化简即可. 【详解】由是等比数列可得，是等差数列可得，所以， 故选：A 8. 国内首个百万千瓦级海上风电场－三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力．风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：，其中k为形状参数，x为风速．已知风速为1m/s时，F≈0.221，则风速为4m/s时，（参考数据：，）（ ） A. 0.920 B. 0.964 C. 0.975 D. 0.982 【答案】D 【解析】 【分析】由可求出的值，从而可得函数解析式，进而可求出的值. 【详解】解：因为， 所以，，，得， 所以， 所以． 故选：D 9. 圆O是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M圆上任意一点，（x，），则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立坐标系，写出相应的点坐标，根据向量的坐标表示及圆的参数方程可得的表达式，然后利用三角函数的性质可得最大值. 【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系， 因为圆O是边长为的等边三角形ABC的内切圆， 所以，即内切圆的圆心为，半径为1， 可设，又， ∴，， ∴， 故得到， ∴， ∴， 当时等号成立，即的最大值为2. 故选：B. 10. 抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心坐标，可得抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，故的周长为，联立圆与抛物线可得B点坐标，可得的取值范围，可得答案. 【详解】解：如图， 可得圆心也是抛物线的焦点， 过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得 故的周长， 由可得，. 的取值范围为 的周长的取值范围为 故选：. 【点睛】本题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的基本量的计算与性质，综合性大，属于中档题. 11. 如图，在正三棱台中，，，.，分别是，的中点，则（ ） A. 直线平面，直线与垂直 B. 直线平面，直线与所成角的大小是 C. 直线与平面相交，直线与垂直 D. 直线与平面相交，直线与所成角的大小是 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，利用平面平面，可证直线平面面面平行，取中点，中点，可知，，再利用余弦定理计算求解即可. 【详解】取中点，连接，，由题意可知，，， 所以平面平面， 所以直线平面， 取中点，中点，中点，连接，，，，， 易知，， 所以直线与直线所成角即为直线与所成角， 在等腰梯形中，，，， 可得，，，分别为，中点，所以， 同理：， 在等腰梯形中，，，，可得， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以，即直线与直线所成角的大小是， 因此直线与所成角的大小是， 故选：B. 12. 设，则x，y，z的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若，则，，，构造、并并利用导数研究在上的单调性，即可判断大小关系. 【详解】由，，， 若，则，，， 令且，则， 所以在上递减，故，即， 令且，则在上递减， 若，则，可得，故上，递增， 而，且在上， 所以，即， 综上，. 故选：A 【点睛】关键点点睛：由，则，，，构造、研究大小关系. 二、填空题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若实数，满足约束条件，则的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，利用数形结合即得. 【详解】根据题意，作出所表示的可行域， 由，可得， 由图可知当经过点时，截距取得最小值， 即取得最小值， 联立，解得，即， 故， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数，且与均为偶函数，则的最小值是________. 【答案】3 【解析】 【分析】由为偶函数求出，再由为偶函数探求出的关系式即可求解作答. 【详解】因函数是偶函数，则，又，则， ，此时，，而为偶函数，， 因此，，，即，，于是得， 所以的最小值是3. 故答案为：3 15. 已知正项数列的前项和为，且满足，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】将化简后得到，由于为正项数列所以可以得到是等比数列，进而求出通项以及前项和．代入后通过化简作差求得实数的最小值． 【详解】解：根据题意得，所以 为正项数列，，即. ，数列是以2为公比，1为首项的等比数列． ①，②， 将①②代入得 即对于任意的恒成立． 令，则， 所以当时，，当时， 故或5时， 取得最大值．. 所以． 所以实数的取值范围是. 故答案为： 16. 已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.在等腰四面体中，，，则该四面体的内切球表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先将四面体补成一个长方体，求得长方体棱长，从而求得四面体的体积，再根据等体积的方法，运算割补法，求得内切球的半径，求得答案 【详解】如图示，将等腰四面体补成一个长方体， 设 ，则 ，解得 ， 故四面体的体积为 , 设该四面体的内切球的半径为 ，则 ， 而 ， 故 ，则该四面体的内切球表面积为 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了四面体内切球的表面积的求法，解答时要发挥空间想象，能利用长方体将问题具体化，同时要注意割补法的运用，解答的关键是利用体积相等的方法求得内切球的半径，有一定难度. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______.从下列三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并解答. （1）求的通项公式； （2）令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为.若，，求实数的取值范围. ①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①②，利用等比中项列式求出公差即可；选③利用等差中项列式求出公差即可. （2）根据给定条件结合（1）求出，再利用错位相减法求出，将给定不等式变形，分离参数构造数列，探讨单调性即可作答. 【小问1详解】 选①，设递增等差数列的公差为，由，，， 有，化简得．则，， 所以的通项公式为． 选②，设递增等差数列的公差为，由，，， 有，化简得， 即，解得，则， 所以的通项公式为． 选③，设递增等差数列的公差为，由是与的等差中项， 得，即， 则有，化简得， 即，解得，则， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由是以2为首项，2为公比的等比数列，得， 由（1）知，即有， 则， 于是得， 两式相减得：， 因此，又， 不等式，等价于， 于是得，恒成立， 令，则， 则时，，即数列单调递增， 当时，，即数列单调递减， 当时，，则，所以实数的取值范围是． 18. 目前直播带货已经席卷全国了，不论老人小孩、男生女生，大家都听说或是尝试过直播购物，它所具有的能突破时间、空间限制的特点已经吸引了越多越多的人.由此可见，它的受众非常广泛，是大势所趋.不管是什么行业领域，都可以去从事直播带货.直播带货的兴起为人们提供了更多就业岗位.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近4个月的家乡特产收入（单位：万元）情况，如表所示. 月份 5 6 7 8 时间代号 1 2 3 4 家乡特产收入 3.9 3.3 2.2 1.8 （1）根据5月至8月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.01），并判断相关性； （2）求出y关于t的回归直线方程，并预测9月收入能否突破1万元，请说明理由. 附：①相关系数公式：；（若，则线性相关程度非常强，可用线性回归模型拟合） ②一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③参考数据：，，. 【答案】（1）；认为y与t之间有很强的相关性. （2）y关于t的回归直线方程为：，不能. 【解析】 【分析】(1)直接代入公式求出认为y与t之间的线性相关系数，即可判断； (2)代入公式求出系数，即可得到回归方程，并求出9月收入即可判断. 【小问1详解】 由表格数据可知：，，则， 由题意知：， ， 代入相关系数公式可得：， 因为，所以认为y与t之间有很强的相关性. 【小问2详解】 由题意可得：， ，，， 所以，则， 所以y关于t的回归直线方程为：， 把代入可得：， 所以预测9月收入不能突破1万元. 19. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若二面角为，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】 （Ⅰ）证明：在中,, 所以,故. 因为平面平面,平面平面,, 所以平面. 又因为平面,所以. （Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明，即可证明平面，从而得出. （Ⅱ）根据二面角为可知，，继而证得平面，并判断出是直线与平面所成的角，再根据三角形中的关系求解正弦即可. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）因为平面，平面，所以. 又，平面平面， 所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即. 因为 ，所以平面. 所以是直线与平面所成的角. 因为在中，， 所以在中，. 【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明以及线面角的求解与证明.属于中档题. 20. 已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，，中恰有两点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点为椭圆的左右端点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于），求证：直线与直线的交点在定直线上运动，并求出该直线的方程. 【答案】（1） （2） 由条件知直线与直线不重合，故直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 联立，可得， 设，，， 则，，， 由（1）可得，， 由共线得：③， 由共线得：④， 由③÷④消去并整理得，， 即，所以， 综上所述，直线与直线的交点在定直线上运动. 【解析】 【分析】（1）由对称性得到点，在椭圆上，结合焦点坐标，得到方程组，求出，，求出椭圆方程； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程，设，，，得到两根之和，两根之积，由和共线得到方程组，联立后得到，求出，得到交点在定直线上，并求出该直线的方程. 【小问1详解】 因为为椭圆的右焦点，所以①, 由对称性得，点，在椭圆上，代入得②, 联立①②解得，，， 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 略 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 21. 已知函数. （1）当m =1时，求函数在点处的切线方程； （2）是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）已知是的零点，是的零点. ①证明：； ②证明：. 【答案】（1） （2）当时，和在上的单调区间相同在上的单调区间相同 （3）①由题意，有两个零点，， 若，则，所以在上单调递增，不符合题意， 若，则当时，，所以在单调递减， 当时，，在上单调递增， 且当时，，当时，， 所以，解得，得证； ②令，，得， 由于，故则， 则, 令，， 则，， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在同一坐标平面内作出函数与的图象， 两函数图像有公共点，如图所示， 故，且有， 由，得，即，又， 在单调递减，故， 由，得，即，又， 在上单调递增，所以， 由，得，即， 故，又，所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义可求得切线方程； （2）结合导数与函数单调性的关系，分与进行讨论即可得； （3）①利用导数得到的单调性后，借助零点的存在性定理可得，解出即可得结论；②构造函数，，结合导数得到函数的单调性，画出相应图象，可得，从而可得，结合的范围即可得解. 【小问1详解】 当时，，求导可得，所以， 又，所以函数在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 由题意得，，， 当时，，，所以和在上都单调递增，符合题意； 当时，若和在上的单调区间相同， 则和有相同的极值点，即，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以无解， 综上，当时，和在上单调区间相同； 【小问3详解】 ①略 ②略 （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 【选修4—4：坐标系与参数方程】 22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为. （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）若射线与曲线C交于点M，与直线l交于点N.求的长 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）消去，即可得到直线l的普通方程，根据直角坐标与极坐标互化公式即可求出曲线C的直角坐标方程； （2）将分别代入曲线C和直线l的极坐标方程，即可求出和，再根据即可解出． 【小问1详解】 由（t为参数）得，得， 故直线l的普通方程是； 由，得，将，代入得，即，故曲线C的直角坐标方程是. 【小问2详解】 将代入曲线C的极坐标方程， 可得，所以. 又直线l的极坐标方程为，令，得， 所以.所以 【选修4—5：不等式选讲】 23. 已知. （1）若，求的解集； （2）若，，，，对于，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）时，利用零点分段法解绝对值不等式，分别求解，，三种情况取并集即可； （2）先利用基本不等式求出的最小值，再利用绝对值的三角不等式得到，原不等式转换为，求其解集即可，注意二者等号成立条件. 【小问1详解】 若，则， 当，时，无解； 当时，，解得； 当时，解得. 综上所述：时，的解集为. 【小问2详解】 由， 又因为，所以， 当且仅当，时，即等号成立， 所以的最小值为； 因为，恒成立． 即． 当且仅当时等号成立，解得； 故实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年延庆区对口支援特色班二模统练（全国卷） 高三理科数学试卷 本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟. 第一部分 一、选择题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若直线是曲线在某点处的切线，则实数（ ）． A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体如图所示，则该几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践，且每名学生只去一个地区，其中A地区分配了1名学生的分配方法共（ ）种 A. 120 B. 180 C. 405 D. 781 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 国内首个百万千瓦级海上风电场－三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力．风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：，其中k为形状参数，x为风速．已知风速为1m/s时，F≈0.221，则风速为4m/s时，（参考数据：，）（ ） A. 0.920 B. 0.964 C. 0.975 D. 0.982 9. 圆O是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M圆上任意一点，（x，），则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是 A. B. C. D. 11. 如图，在正三棱台中，，，.，分别是，的中点，则（ ） A. 直线平面，直线与垂直 B. 直线平面，直线与所成角的大小是 C. 直线与平面相交，直线与垂直 D. 直线与平面相交，直线与所成角的大小是 12. 设，则x，y，z的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若实数，满足约束条件，则的最小值是______． 14. 已知函数，且与均为偶函数，则的最小值是________. 15. 已知正项数列的前项和为，且满足，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 16. 已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.在等腰四面体中，，，则该四面体的内切球表面积为___________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. 已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______.从下列三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并解答. （1）求的通项公式； （2）令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为.若，，求实数的取值范围. ①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 目前直播带货已经席卷全国了，不论老人小孩、男生女生，大家都听说或是尝试过直播购物，它所具有的能突破时间、空间限制的特点已经吸引了越多越多的人.由此可见，它的受众非常广泛，是大势所趋.不管是什么行业领域，都可以去从事直播带货.直播带货的兴起为人们提供了更多就业岗位.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近4个月的家乡特产收入（单位：万元）情况，如表所示. 月份 5 6 7 8 时间代号 1 2 3 4 家乡特产收入 3.9 3.3 2.2 1.8 （1）根据5月至8月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.01），并判断相关性； （2）求出y关于t的回归直线方程，并预测9月收入能否突破1万元，请说明理由. 附：①相关系数公式：；（若，则线性相关程度非常强，可用线性回归模型拟合） ②一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③参考数据：，，. 19. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若二面角为，求直线与平面所成的角的正弦值． 20. 已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，，中恰有两点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点为椭圆的左右端点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于），求证：直线与直线的交点在定直线上运动，并求出该直线的方程. 21. 已知函数. （1）当m =1时，求函数在点处的切线方程； （2）是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）已知是的零点，是的零点. ①证明：； ②证明：. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 【选修4—4：坐标系与参数方程】 22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为. （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）若射线与曲线C交于点M，与直线l交于点N.求的长 【选修4—5：不等式选讲】 23. 已知. （1）若，求的解集； （2）若，，，，对于，恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $