周测评(二十)双曲线与抛物线-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（B版）

考场她战场，笔作剑，心为盾 2025一2026学年度学科素养周测评（二十） 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 班级 卺题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 数学·双曲线与抛物线 题号 7 8 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 答案 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 7.已知曲线C的方程为x2sina十y2cosa=1,a∈R,则 得分 是符合题目要求的。 A.当曲线C为圆时，a-2kr+年k∈Z 题号 1 2 3 4 5 6 B.当a=π，k∈Z时，曲线C为两条直线 答案 C当。∈（侵，时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线 1.已知双曲线 r- 后=1(a>0,b>0)的-条渐近线方程为，3x-y=0,则该双曲线的离 D,当曲线C为双曲线时，它的渐近线方程为y=士√一tan ax 心率为 () 8.双曲抛物线又称马鞍面，因形似马具中的马鞍表而而得名.其在力学，建筑学、美学中有 A.2 B.3 C.2 D.5 着广泛的应用.在空间直角坐标系中，将一条xO:平面内开口向上的抛物线沿着另一条 2.已知点M(1,2)为抛物线E:y2=2px上一点，则点M到E的焦点的距离为() yO:平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的面就是马鞍面， A.1 B.2 C.3 D.4 其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为 -6=2x(a>0,b>0),则() 3.已知点A(4,4)在抛物线x=2py(p>0)上，点B(0,3),若点P是抛物线上的动点，则 IPB|的最小值为 () A.8 B.2② C.9 D.3 4我们初中所学的反比例函数图象其实是一种典型的双曲线者公)-士则：一)图象 A.用平行于xOy平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线 的焦距为 () B.用法向量为(1,0,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线 A.22 B.2 C.4 D.42 C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线 5.已知抛物线C:x2=12y的焦点为F,点P是C上的一点，点M(1,2),则△PMF周长 D.用过原点且法向量为(1,1,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线 的最小值是 () 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 A.4+2 B.4+22 C.5+2 D.5+22 9.已知双曲线_y 云一6京=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F,若双曲线左支上存在 6,已知双曲线C.3y=1的右焦点为F,过原点0的直线与C交于P,Q两点，若P℉ 点P,使得|PF|=2PF,|,则该双曲线离心率的最大值为 ⊥QF,则△PFQ的面积为 () 10.已知抛物线C:y=8x的焦点为F,过焦点F的直线l与C交于异于原点O的A,B 两点，若在直线x=6上存在点P(6,t)(t>0),使得四边形OAPB是平行四边形，则t A号 B.1 c D.2 学科素养周测评（二十）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（二十）数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 12.(20分)已知双画线n, a一京=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为1，右顶点到 11.(20分)已知A(6,m+2),B(24,m十8)是抛物线C:y2■2px(p>1)上的两点. (1)求C的准线方程： 点P(1,1)的距离为√2.动圆P(点P为圆心)与2交于四个不同的点A,B,C,D,且直 (2)若直线y=kx十(k≠0)经过C的焦点，且与C交于P,Q两点，求|PQ|十k2的最 线AC,AD的斜率分别为k1,k. 小值. (1)求n的方程 (2)设直线AB:y=kx十m, (1)判断点(2k,m)是否在双曲线x2-y2=1上，并说明理由. (i)若k=4,求直线AB的一般式方程. (m)试间kkk2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由. B 学科素养周测评（二十）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（二十）数学第4页（共4页）】真题密卷 学科素养周测评 足E1=kAP, 同理|OM2= 16+163-64k号+4 ,所以1=一1 1 1 1十4k号 1+4k? 又kApk BP=- 即：=一 则1OF12+|OM2=20, (18分) 直线EF的方程为y=太，代人后+号-1，得 从而1 OFIOMI≤OF+1OM 9v -=10,当且仅 (1+4k)x2=16, 当|OF|=|OM=√I0时取等号，则lMN|川EF= 于是-1i-城则1oP-十 4IOF|1OM≤40， 所以|MN||EF|的最大值为40. (20分) y2-16+166? 1十4k’ (17分) 2025一2026学年度学科素养周测评（二十） 数学·双曲线与抛物线 一、选择题 1.C【解析】由题意得，双曲线的焦点在x轴上， 名三3，则双曲线的高心率2=宁 a2+b2 a=√a2 +(T-+-2 2.B【解析】因为点M(1,2)为E:y2=2px上一 5.C【解析】由题知F(0,3),准线方程为y=一3， 点，所以2=4，解得卫=2，设点M到E的焦点 过点P作直线y=一3的垂线，垂足为P', 的距离为d,则由抛物线的定义得d=2. 3.B【解析】因为点A(4,4)在抛物线上，所以4 2p·4,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y, 设P(xo,yo),由于P在抛物线上，故x6=4y0 则|PB|2=x6+(yo-3)2=x6十y-6y0十9= 由抛物线的定义知|PF|=|PP'|,又IMF|= y-2y0+9=(y0-1)2+8≥8，所以|PB|的最小 √1+(2-3)=√2，所以|PM+|PF|+1MF|= 值为2√2 |PM|+|PP'|+√2≥|MP'+2≥5+√2，当且 解析】在同一坐标系内作出y和 仅当M,P,P'三点共线时取得最小值，故△PMF 周长的最小值是5十√2. 图象，它们的交点分别为A,B,联立y和y= 6.B【解析】由题意得a=√3，b=1,c=2,设左焦 解得1或 x=-1, 点为F1,连接PF1,QF1,又PF⊥QF,P,Q关于 y=1y=-1, 即A(1,1),B(-1,-1),所 原点O对称，所以PQ|=2|OF|=2c=4,由双曲 以|AB=√/(1+1)2十(1+1)2=2W2,根据双曲线的 线的对称性可得|QF|=|PF1|,由双曲线的定义可 得|PF|-|PFI|=2a=23,所以l|PF|-1QF|l= 定义可知，实轴长为|AB|=2a=2√2，即a=√2， 又g(x)的渐近线是两坐标轴，它们互相垂直，所 25,即|PF|2+|QF|2-2IPF1IQF|=12,又|PF12+ 1QF12=|PQ12=16,所以|PF||QF|=2,所以 以g(x)是等轴双曲线，即b=√2，所以c2=a2十 b2=(W2)2+(W2)2=4,所以g(x)的焦距为2c=4. △PFQ的雨积为S号PFHQFI-=1. ·22· ·数学· 参考答案及解析 10.4【解析】由题知F(2,0),且直线1的斜率不为 0,故设直线1的方程为x=my十2，A(x1,y1), x=my+2, B(x2,y2),联立 整理得y2-8my一 y2=8x, 二、选择题 16=0,则y1+y2=8m,所以x1十x2=m(y1十 7.ACD【解析】对于A,当曲线C为圆时，sina= y2)十4=8m2十4，因为四边形OAPB是平行四 边形，所以OP=OA+OB,即(6，t)=(x1十x2, 0sa>0,则a=至十2张x,k∈乙，故A正确：对于B, y1十y2),所以6=x1+x2=8m2+4,t=y1十 当a=kπ，k∈Z时，sina=0,cosa=士1，当cosa=1 时，y2=1,y=士1，曲线C为两条直线；当cosa=-1 =8m,解得m=,又1>0，所以1=4 时，一y2=1,曲线C不表示任何图形，故B错误； 对于C,当e∈(2,3)时，cosa<0<ina<1,则 、曲线C的方程为1 sin a 1 sin a cos a 1,所以曲线C为焦点在x轴上的双曲线，故C 正确；对于D,若曲线C为双曲线，令x2sina十 四、解答题 y2cosa=0,则y2=一tan ax2,所以渐近线方程为 (m+2)2=12p, 11.解：(1)由题意得 y=士√一tan ax,故D正确. (m+8)2=48p, 8.AB【解析】对于A,平行于xOy平面的面中之 则m+8) 为常数，不妨设为（≠0，得之- (m十2)=4，整理得m2-16,解得m=±4. a262=220,故 (5分) 所得轨迹是双曲线，故A正确；对于B,法向量为 当m=一4时，120=(m十2》=4，解得=号< (1,0,0)的平面中x为常数，不妨设为x0,则 y2-262+62号， 1,不符合题意； (7分) Q,其为抛物线方程，故B正确； 当m=4时，12p=(m+2)2=36,解得力=3>1， 对于C,垂直于y轴的平面中y为常数，不妨设为 符合题意 (9分) 3 6,则x2=2a士“其为抛物线方程，故C错 故C的准线方程为x=一 2 (10分) 误；对于D,不妨设平面上的点坐标为A(x,y,z), (2)由(1)知，C的焦点为(0），设P(z1, 因为平面过原，点且法向量为n=(1,1,0),则OA· n=0,得x十y=0,故y=一x,代入马鞍面标准方 Q(x2y2), y2=6x, 程，得侵)2=，当a=b时，方程为=0 联立 不是抛物线，故D错误， =-. 三、填空题 得2x2-(3k+6)z+9 b2=0. 9.3【解析】由P为双曲线左支上一点，可得|PF2| 则x1十x2= 3k2+6 及2 (14分) |PF1=2a,又|PF2|=2|PF1|,所以|PF1|=2a, 又PF,≥c-a,所以2a≥c-a,所以e=二≤3， 所以1PQ1=1十：十力-6+3=6+君， 6 k2 即该双曲线离心率的最大值为3. (16分) ·23· B 真题密卷 学科素养周测评 62+2≥6+26，当且仅当 6 所以|PQ|+k2=6+ 整理得4k3+4k2+(5m-1)k一1=0， 当k=4时，m=一 6,满足4k2一m2<1) =,即2=6时，等号成立， 6 (19分) 所以当=4时，直线AB的一般式方程为 所以|PQ|+k2的最小值为6+2√6. (20分) 16x-4y-63=0. (14分) 12.解：(1)令2的右焦点为(c,0),又其渐近线方程 为bx士ay=0, ()由m=1-kx1,得十(1-号)k2+ a2+6=6=1, bc 故 (3y-)k-4=0, (15分) 又右顶点(a,0)到点P(1,1)的距离/(a一1)2+1 又直线AC,AD过点A(x1,y1),故+（1- =√2，且a>0,解得a=2, x)好+(-)k,--0, 所以0：营y (5分) 好+(1-)好+(-)：--0， (2)(1)点(2k,m)不在双曲线x2-y2=1上. 证明如下： (17分) y=kx+m, 联立 因此，1k是关于x的方程x十(1-)x x2-4y2=4, 得(1-4k2)x2-8kmx-4m2-4=0, (7分) +(?)上一子=0的三个不同实根， △=64k2m2+16(1-4k2)(m2+1)=16(m2+ 即此方程可化为(x一k)(x一k1)(x一k2)=0,对 1-4k2)>0,因此4k2-m2<1, 1 所以点(2k,m)不在双曲线x2-y2=1上， 比常数项得一kk,=一4， (9分) 即k:=子 （i)设A(x1,y1),B(x2y2), 8km 由(1)知，x1+x2=1-4k2' 所以：为定值，谈定值为宁 (20分) 2m 则y1+y2=(x1十x2)+2m= 1-4k2 则线段AB中点M(,4km, =41-42,（1分) m 由AB⊥MP,得k· 14k2-1 -=-1, Akm 1-4k2 -1 2025一2026学年度学科素养周测评（二十一） 数学·圆锥曲线综合（含直线与圆的方程）】 一、选择题 2.C【解析】C1:x2十y2-2x=3的标准方程 1.A【解析】若两直线垂直，则1×4十aX(-a)= 为(x一1)2+y2=4,所以C1的圆心C1(1,0),半径 0,即a2=4,解得a=士2，故a=2是两直线垂直 r1=2.因为C2与C1外切，且半径为3，所以|CC2 的充分不必要条件， =5.设P(x,y)在C2上，则√(x-1)十y2=5, B ·24·