周测评(十九)椭圆-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（B版）

夜越漆黑，星越璀撵 密 2025一2026学年度学科素养周测评（十九） 6.已知椭圆C:号+若-1(0<m<9,mEZD的左，右焦点分别为F,F,点P在C上但 班级 卺题 数学·椭圆 2 不在坐标轴上，且△PF,F:是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为g,则m=（) 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 A.4 B.5 C.6 D.8 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 得分 是符合题目要求的。 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 1 2 3 4 5 6 题号 7 答案 答案 1.已知曲线C:4—:2- =1,则C为焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是 7.已知关于x,y的方程sin a十cos a=1,则下列说法正确的是 () 7 A.若a∈（牙，），则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 A.2<<4 B.3<t<4 D.3 B若a=不，则该方程表示圆，其半径为，厄 C.3<t<5 么已知桶圆E,片+苦-1的右焦点为F,则E上满是PP=后的友P有 C.若a∈(0，)，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 A1个 B.2个 C.3个 D.4个 D.若a=2k元，k∈Z,则该方程表示两条直线 圆C:+片=1(a>b>0)的左右焦点分别为F,P2,若C上存在 8.已知点A(-a,0),B(a,0),直线l1:ax-y=0,l2:ax+y=0,其中a>1,点P为平面 内一点，记点P到l1,l:的距离分别为d1,d:,则下列条件中能使点P的轨迹为椭圆的 3 得PF-PP:l,则C的离心率的取值范围是 () 是 () A.(. Ro司 A.PA+PB=4a c[哈) B.1PAl+|PB￥=4a D[片 C.d+d2=4a 4.已知圆C1:(x+3)+y2=81和C2:(x一3)2+y2=1,若动圆P与圆C1内切，同时与 圆C:外切，则点P的轨迹方程为 () D.di+di=4a' B.y? 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 2591 c需+-1 ,y2 Q,已知椭圆工：无+1的左，右焦点分别是EP,点P是P上一点，则△PFF,内 D.16+9-1 切圆半径的最大值为 5已知F1,F:分别为椭圆C:专+y=1的左右焦点，过P,的直线交C于A,B两点， 若AFg|+|BF2|=5,则1AB= () 10.已知M,N.P是稀圆后+若-1a>6>0上不重合的三个点，0为华标原点，者四边 y A23 B.3 C.22 D.2 形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为 学科素养周测评（十九）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十九）数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 12.(20分)已知A,B分别为椭圆C若+若-1a>6>0)的左，右膜点，2，-5)为C上 11.(20分)已知椭圆E:+少 √6 a+6=1(a>b>0)的离心率为3，右顶点为(2,0). 一点，P为C上位于x轴上方的一点，直线AP与BP的斜率之积为-，D为AP的 (1)求E的方程. 中点，直线OD(O为坐标原点)交C于点M,N,M为x轴上方的点 (2)过原点O且不与y轴重合的直线1与E交于M,N两点.已知点P(0,2),直线 (1)求C的方程： PM,PN与E的另一个交点分别为A,B.证明：直线AB过定点. (2)若O为△NAP的重心，求P的坐标： (3)过点O作平行于AP的直线交C于点E,F,求|MN|IEF的最大值， B 学科素养周测评（十九）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十九）数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 可得(1+k2)x2-2k2x+k2-5=0, (△=(-2k2)2-4(1+32)(k2-5)=16k2+20>0, V2(一》+88≤x≤0，所以当=3时， 2k2 则21十22=1十2： 取得最小值，则d(P,l)=|PQImini=√5.(5分) (2)设线段L的端点分别为A,B,不妨取A(一1， k2-5 t1x:-1+k' 0),B(1,0),则点集D由如图所示的曲线围成， 有l1:y=1(x≤1)，l2:y=-1(x≤1)， 3+k2 x1=1十k2” C1:(x+1)2+y2=1(-2≤x≤-1)， 又x2=3-2x1,解得 (7分) C2:(x-1)2+y2=1(1≤x≤2)， k2-3 x2-1+k2’ 其面积为S=4十元. (10分) 所以3十6.2-3_：-5 1十21+1+，解得=土1，(9分) 故1的方程为x-y=0或x十y-2=0.(10分) (2)证明：设M(xM,yM),圆C:x2+(y一1)2=5 的圆心为C(0,1), (3)根据题意可得，线段AB,BC的方程分别为 则以线段CM为直径的圆的方程为(。-)}'+ x=0(0y1),y=0(0x2), (y-yM,+2_xM-0)2+(M-1)2 设P(x,y),根据定义： 2 4 若x≤0，y>0,则d(P,l1)=d(P,l2)不可能成立； 化简可得x(x一xM)+(y-1)(y-yM)=0, 若x≤0，y≤0，则d(P,l1)=d(P,l2)=|PB| (15分) 恒成立，此时{(x,y)x≤0，y≤0}；(13分) 上述方程与圆C的方程相减得I:xMx十(yM 若0<x≤1，只有d(P,l1)=|x|=d(P,l2)= 1)y-4-yM=0, (17分) |y时符合题意，此时{(x,y)川y=x,0<x≤1}； 因为l过点P(1,1),则xM十(yM一1)-4 (15分) yM=0,所以xM=5, 若1<x≤2，只有d(P,l1)=|PA|=d(P,l2)= (19分) 所以点M在直线x=5上. (20分) y,即x2+(y-1)2=y2,即x2=2y-1时符合题 意，此时{(x,y)川x2=2y-1,1<x≤2)；(16分) 若x>2,只有d(P,l1)=|PA|=d(P,l2)= 1PC,即x2+(y-1)2=(x-2)2+y2,即4x 2y一3=0时符合题意，此时{(x,y)|4x一2y一 3=0,x>2}, (19分) 综上，2={(x,y)|x≤0，y≤0}U{(x,y)ly= 12.解：(1)设Q(x,x一3)是线段l:x-y一3=0(3≤ x,0<x≤1)U{(x,y)|x2=2y-1,1<x≤2}U {(x,y)14x-2y-3=0,x>2}. (20分) x≤5)上一点，则|PQ|=√(x-1)2+(x-4)产= 2025一2026学年度学科素养周测评（十九） 数学·椭圆 一、选择题 2.B【解析】由题意得F(1,0),设P(x,y),由PF= 1.A【解析】若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 (x-1)2+y2=3, t-2>4-t>0,解得3<t<4,结合选项可知，C 3,得(x-1)2十y2=3,由 8+y-8 得 是焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是 <4 x2-8x十4=0，且-2≤x≤2，解得x=4-2√3， ·19· B 真题密卷 学科素养周测评 当x=4一2√3时，对应的y值有2个，即E上满 时，0<sina<cosa<1,则1>1>1，则方 sin a cos a 足|PF|=√3的点P有2个， 3.D【解析】根据椭圆的定义可得|PF|十|PF2|= y? 1 -=1表示椭圆，其焦点在x轴上， 2a,又rE,=1nE,,PF,=周光 sin a cos a 故C正确；对于D,当a=2k元，k∈Z时，方程为 1PF,-智∈a-4a+,将得时-，号 y2=1,表示两条直线y=士1，故D正确. 8.AD【解析】对于A,根据椭圆的定义，|PA|十 ≤e<1. |PB|=4a>|AB|,所以，点P轨迹为椭圆，故A 4.C【解析】由题可知C1(-3,0),r1=9,C2(3,0), 正确；对于B,设P(x,y),则有(x十a)2十y2 r2=1,且|C1C2|=6,又动圆P与圆C1内切，与 十(x-a)2十y2=4a2,整理得x2+y2=a2,所以 圆C2外切，所以|PC=r1一rp=9-rp,|PC2|= r2十rp=1+rP,所以|PC1|+|PC2|=10>|CC21, 点P轨远为圆，故B错误；对于C,由于ax一y十 √a2+1 所以点P的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，且长 轴长2a=10,焦距2c=6,即a=5,c=3,所以b= laztyl =4a,ax-yl+l az+y √a2+1 ac=4,所以点P的轨速方程为5+61 4aVa2十1，分情况去掉绝对值符号，可知，点P的 5.B【解析】由椭圆的定义知，|AF1|+|AF2|= 轨迹为4条线段，不是椭圆，故C错误；对于D,由 BF+|BF2|=4,所以|AF1|+|AF2|+|BF1|+ =4a2,整理得a2x2十 |BF2=8,即|AB|+|AF2|+|BF2|=8,又|AF2|+ + |BF2=5,所以|AB=3. y2=2a2(a2+1),因为a>1,所以点P轨迹为椭 6.B【解析】依题意得PF1十|PF2=6,设F1F2 圆，故D正确. =n,不妨设，点P在第一象限，若|PF1=|F1F2 三、填空题 =n,则有|PF2=6-n(0<n<6),故cos∠PFF2= 【解析】由题意得，a=2,b=√3，c=1,由椭圆 +n-6-n三成cos∠PFE 2n2 定义得，PF1|+|PF2|=2a=4,|F1F2|=2c= 2m(6-m)=8,解得n=4或n=24,】 n2+(6-n)2-n27 1,又m 2,则S△，P,=2FF2·h=2X2(a+c)·r, ∈Z,m+(2)》'=9,所以n=4,m=5;若PF,= 故r= 十=3，要使r最大，则h=b=3,故 a+c |F1F2|=n,则有|PF1|=6-n(0<n<6),同理 √3 可得n=4,m=5.此时|PF2|=4,|PF1|=2,不 I max 3 符合点P在第一象限，所以m=5. √6 二、选择题 10,3【解析】因为四边形OMNP为正方形，结合 7.ACD【解析】对于A,当a∈（牙，）时，0<cosa< 图形可知OM=OP,所以M与P关于x轴对 1 1 称，所以∠MON=5,可设M(,,则器十 sina<1,则 cos a sin >1,则方程 2 1 sin a 1,整理得=。。，N的坐标为a0) y? 1 =1表示椭圆，其焦点在y轴上，故A正确； (2x,0),所以a2=4x2=4a6 a2+b2,整理得a2= cos a 3b2,所以椭圆的离心率e=二=， a2-b2 对于B,当。=时，方程为x十y2=区，表示圆， a a2 b2 其半径为V厄，故B错误；对于C,当。∈(0，牙） 1W6 a2= 1 331 B ·20· ·数学· 参考答案及解析 4),整理得y一 x+1. 所以直线AB过定点(0,1). (20分) 四、解答题 a=2, c a 3 2√5 11.(1)解：由题意可得 解得 6= 31 a=2, a2=b2+c2, 2W6 12.解：1)设P(),则+8 c= a2+6-1,即好=6 3 (a2-x),而A(-a,0),B(a,0), (5分) ,2 3y2 所以E的方程为4 =1. 由直线AP,BP的斜率之积为-子，得，。 (6分) xo十a· 4 yo y b21 (2)证明：设点M(xoyo),则N(一xo,一yo),且 xo-a xi-a=- a=-4则a2=462, x+3y=4,x0≠0. (3分) 直线PM:y-2=y0-2 x。-0(x-0), 由点2，-3)在C上得导+京=1 即y=。2 x+2. (8分) 解得a2=16,b2=4, (5分) y=。-2 所以C约方君为后苦-1 (6分) x十2， 联立 得[x8+3(y0-2)2]x2+ (2)由O为△NAP的重心，得Nò=2OD, x2+3y2=4, 12xo(y0-2)x+8x6=0. 知n(。》. 8x6 2x6 于是NO=2OD=(xo-4,yo), 所以x0·xA=x6+3(y-2)2-4-30 所以N(4-xo,一y), (8分) 2x0 则xA一4-3y0 (12分) 由点P,N均在C上，得 所以yA=y 24+2=6-2× 2x0十2= (4-x0)2,y8 xo 4-3y0 16 1, 4-4yo |x0=2, 4-3y0 且y>0,解得 (11分) y0=3, 所以A(二3。’4-3y。 2x04-4y01 所以P的坐标为(2，√3). (12分) ·-2x04+4y0 同理可得B(4十3y。’4+3y0 (15分) 依题意xA卡xB,所以AB= yB-yA xB一xA 4+4y04-4y0 4+3y04-30=-y0 -2x0 2x0 2xo (17分) (3)由D是AP的中点，O是AB的中点，得OD 4+3y。4-3y0 ∥BP,所以直线MN,BP的斜率2，P满 所以直线AB的方程为y一：-一器{红 足k2=kBP, 由EF∥AP,得直线EF,AP的斜率1，kAP满 ·21· B 真题密卷 学科素养周测评 足E1=kAP, 同理|OM2= 16+163-64k号+4 ,所以1=一1 1 1 1十4k号 1+4k? 又kApk BP=- 即：=一 则1OF12+|OM2=20, (18分) 直线EF的方程为y=太，代人后+号-1，得 从而1 OFIOMI≤OF+1OM 9v -=10,当且仅 (1+4k)x2=16, 当|OF|=|OM=√I0时取等号，则lMN|川EF= 于是-1i-城则1oP-十 4IOF|1OM≤40， 所以|MN||EF|的最大值为40. (20分) y2-16+166? 1十4k’ (17分) 2025一2026学年度学科素养周测评（二十） 数学·双曲线与抛物线 一、选择题 1.C【解析】由题意得，双曲线的焦点在x轴上， 名三3，则双曲线的高心率2=宁 a2+b2 a=√a2 +(T-+-2 2.B【解析】因为点M(1,2)为E:y2=2px上一 5.C【解析】由题知F(0,3),准线方程为y=一3， 点，所以2=4，解得卫=2，设点M到E的焦点 过点P作直线y=一3的垂线，垂足为P', 的距离为d,则由抛物线的定义得d=2. 3.B【解析】因为点A(4,4)在抛物线上，所以4 2p·4,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y, 设P(xo,yo),由于P在抛物线上，故x6=4y0 则|PB|2=x6+(yo-3)2=x6十y-6y0十9= 由抛物线的定义知|PF|=|PP'|,又IMF|= y-2y0+9=(y0-1)2+8≥8，所以|PB|的最小 √1+(2-3)=√2，所以|PM+|PF|+1MF|= 值为2√2 |PM|+|PP'|+√2≥|MP'+2≥5+√2，当且 解析】在同一坐标系内作出y和 仅当M,P,P'三点共线时取得最小值，故△PMF 周长的最小值是5十√2. 图象，它们的交点分别为A,B,联立y和y= 6.B【解析】由题意得a=√3，b=1,c=2,设左焦 解得1或 x=-1, 点为F1,连接PF1,QF1,又PF⊥QF,P,Q关于 y=1y=-1, 即A(1,1),B(-1,-1),所 原点O对称，所以PQ|=2|OF|=2c=4,由双曲 以|AB=√/(1+1)2十(1+1)2=2W2,根据双曲线的 线的对称性可得|QF|=|PF1|,由双曲线的定义可 得|PF|-|PFI|=2a=23,所以l|PF|-1QF|l= 定义可知，实轴长为|AB|=2a=2√2，即a=√2， 又g(x)的渐近线是两坐标轴，它们互相垂直，所 25,即|PF|2+|QF|2-2IPF1IQF|=12,又|PF12+ 1QF12=|PQ12=16,所以|PF||QF|=2,所以 以g(x)是等轴双曲线，即b=√2，所以c2=a2十 b2=(W2)2+(W2)2=4,所以g(x)的焦距为2c=4. △PFQ的雨积为S号PFHQFI-=1. ·22·