周测评(十八)直线与圆的方程-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（B版）

真题密卷 学科素养周测评 则h·腕=0， |-2y+2x=0, 所以A1E⊥DB,A1E⊥DE,即A1E⊥DB,A1E 即 n·BD=0,mx-2y+x=0, ⊥DE,又DB∩DE=D,BD,DEC平面BDE, 令y=m,得n=(1,m,m), (15分) 所以A1E⊥平面BDE. (8分) 显然平面ACDE的一个法向量为v=(0,1,0), (2)解：由(1)知B1(√3,0,3)，E(0,1,3入)(0< (16分) 1<1),DE=(0,1,3), 因为二面角BDEC的余弦值为9， 因为O1为△A1B1C1的中心， n·v Iml 3√19 所以0，（停0，则cd-(ξ-1.. 所以cos〈n,v〉= nv√2m2+1 19, 设n=(x,y,之)为平面BDE的一个法向量， (18分) n·DB=√3x=0, 解得m=3,即AC的长为3. (20分) 则 n.DE=y+3λz=0, 令之=1，则n=(0,-3x,1). (13分) 设直线CO1与平面BDE所成角为0， 则sin0=|cos(CO1,n)川 3λ+3 3I3λ+3 12.(1)证明：取A1C1的中点D1,连接DD1, √3+1+9·V9x+ 31√/9λ2+1 因为三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，且△ABC 3 √3h 2(9λ+4) 为正三角形， = 9λ2+1 (0<λ<1)， 所以以D为坐标原点，以DB,DC,DD1所在直 线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角 令9以+4=1(4<<13)，则入=4 9, 坐标系， (3分) 18t 此时sin0= 3 √31·√1+2-8+25 .01 3 18 W31 1+ 25 t+ -8 t 因为1+25 ,25=10(当且仅当t=5,即 ≥2.1 t 根据已知条件得D(0,0,0),B(√3,0,0)，C(0,1, A-日时取等号)。 0),A1(0,-1,3),C1(0,1,3), 当X-号时，CE-号C,所以E01,2, 10-8 31, (18分) 即直线CO1与平面BDE所成角的正弦值的最 所以A1E=(0,2,-1),DB=(5,0,0),DE= (0,1,2), 大植为 ,此时入的值为g 1 (20分) 因为A1龙.Di=0,A1龙.D2=0+2-2=0, 2025一2026学年度学科素养周测评（十八） 数学·直线与圆的方程 一、选择题 (2,-2),半径r'=2√5，且|OO|=2W2∈(2W5-2, 1.B【解析】易得圆O:x2十y2=4的圆心O(0,0), 2√5十2)，故圆O与圆O相交，其公切线条数为2. 半径r=2,圆O:(x-2)+(y+2)2=20的圆心O 2.D【解析】圆(x一1)2十y2=4的圆心为(1,0)，半 B ·16· ·数学· 参考答案及解析 径r=2,圆心到直线的距离d=1 1，则 y √R2+I P 1A P3 |AB|=2√4-d≥2W3,当且仅当d=1,即k=0 时等号成立，所以AB|的最小值为2√3 3.A【解析】由题意知AB∥CD,可设CD:x 0 P(P)IP。 y+m=0且m≠1，又对角线的交点为M(2,2), 设P1关于BC对称的点为P6,P3关于OA对称 A,C关于M对称，则C(4,3),由点C在直线CD: 的点为P7,设P1(n,0),且n∈(0,1)，则P。(2 x-y十m=0上，故4-3十m=0,则m=-1,所以 CD:x-y-1=0. ,0),由P,P∥，可得=理=m,所以直线 4.C【解析】设P(x,y),则PA2+|PB2+|PC2= P1P2:y=m(x一n),由对称性可得飞p,P,=-m, (x+1)2+(y-1)2+(x-1)2+(y+1)2+(x 又直线P2P3过P。(2-n,0),所以直线P2P3: 3)2+(y-3)2=3(x2+y2-2x-2y)+22=70, )=m(x-2+n),则P(2-n-,1）,所以直 m 整理得(x一1)2十(y-1)2=18,故点P的轨迹是 以M(1,1)为圆心，半径r=3√2的圆， 线PP4y=m(x-2+n十)+1，故P,(0,2 m 2m十mn),所以P4P5:y=-mx+2-2m+mn, 故P.(层-2+，0 1∠1 0<2-n一 由题可得0<2-2m十mn<1, -2+<1， 1 。1 又因为PA·PB=(-1-x,1-y)·(1-x,-1 2-n<m<1-n y)=x2+y2-2=|P612-2,且|P0≤|OM1+ 1 所以 .2 1 2 m<2-n,又1= 2-n 2-n r=√2+3√2=4√2，所以PA·PB≤30，所以 2 .2 PA·PB的最大值为30. <m<2-' 3-n 5.B【解析】如图所示： 2-n-2(1-n) n a=2-01-m)2-m>0,所以1=n 21 2 E=m72=3-n手3n-22以e (2-n)(3-n) C n-1 1 2 2-0)(3-n)<0,所以2-n<3一n,所以不等式 B 组解各写品。<m<品。因方n0,10,高数 因为两圆C1,C2都过点（一1,2），且均与两坐标轴 2 相切，所以C1,C2必在直线y=一x上，点A(一1， y=3-ny=2- 2在n∈(0,1D上均为增函数，所 2)关于直线y=一x的对称点为B(一2,1)，则线段 <m<2,成m的取位范闲是（后，2小 以 AB即为圆C1,C2的公共弦，故|AB|= 二、选择题 √(-2+1)2+(1-2)7=√2， 7.BCD【解析】对于A,很明显L1的方程无法表示 6.C【解析】如图，设线段OC上的入射，点为P1,依 直线x=一1，故A错误；对于B,l2的方程可化为 次在BC,AB,OA上的反射点为P2,P3,P4,最后 x-y-3十a(y+2)=0,易知l2过定点A(1,-2), 射出的点为P5. 当l2⊥OA时，原点O到L2的距离最大，最大距离 ·17· B 真题密卷 学科素养周测评 为OA|=√12+(-2)7=√5，故B正确；对于C, 三、填空题 l1⊥l2的充要条件为aX1十2(a一1)=0，解得 9.4-y=3(e>号且x2≠)【解折】泛P( a=号，故C正确：对于D,l/,的充要条件为 y0),则过点P的切线方程为y一yo=k(x一xo), a(a-1)-2=0且a(2a-3)-(a-1)≠0，解得 即x一y十，一。=0，由少二-1，得 a=-1或a=2,故D正确. √R2+I 8.AD【解析】对于A,如图1所示，直线AB的方 (x-1)k2-2x0yok十y8-1=0,则kPA,kPB是 程为2x+y-2=0,圆心C(5,2)到直线AB的距 此方程的两根，则x-1≠0，△=4x6y一4(x6一 离4=12X5+2-21=25>4,所以M和N两 1)(y8-1)>0,即x8十y6>1,所以kPAk PB= √22+1 -1=4,得4c-y6=3,又z6+y8>1,所以 点之间更离的最小值为2厅-4长故A正确： x>,即C4-=3(2且x≠. 10.3√5【解析】不妨设x轴上存在定点B(x0,0),满 足|BM=2|AM,M(x1,y1),则√(xo-x1)+y1 =2√(1-x1)2+y,整理得3x+3y=x+ 0 8x1-2x1x0-4,又3x7+3y1=12,所以x6+ 8x1-2x1x0-16=0,则(x0-4)(x0-2x1+ 图1 4)=0,解得x0=4,所以B(4,0),满足|BM= 对于B,如图2所示，当MB与圆C相切时， 2AM,要使2|AM|+|MN|最小，即|BM+ ∠MBA取得最大值或最小值，因为BC=5,MC| |MN|最小，则需要B,M,N三，点共线，且MN 1 =4,MB⊥MC,所以MB|=3,RAMDC=2X4X 垂直于直线2x一y十7=0，如图所示， 3=6,故B错误； 2x-y+7=0 B(4,0) 图2 易知此时BN与圆有交点，故2|AM|+|MN 对于C,因为N(s,t)在直线AB:2x十y一2=0 的最小值为点B到直线2x一y十7=0的距离， 上，所以t=-25+2,由于圆C:x2+y2-10x 2×4-0+7=35. 即为 4y+13=0,且N(s,t)为圆外一点，则直线ST: √22+1 xs+yt-5(x+s)一2(y+t)+13=0,即(s-5)x十 四、解答题 (t-2)y+13-5s-2t=0,将t=-2s+2代入并 11.(1)解：设A(x1y1),B(x2y2), 整理得s(x-2y-1)-5x+9=0,所以直线ST 当l的斜率不存在时，l:x=1, 过定点（侣，》，故C辑： 联立1， 解得y1=3,y2=-1,则 x2+(y-1)2=5, 对于D,设|NC|=p(p≥2W5),在Rt△NSC中， |AP|=PB|,不符合题意； (2分) INS1=D-16,所以1ST1=8yD-16 当1的斜率存在时，设1：y-(x一1)+1， 庙-号得-成则，-82a 一)，所以当p取最小值25时，ST最 (4分) .8√5 小，最小值为写，故D正确 联立y=(x一1D+1, x2+(y-1)2=5, B ·18· ·数学· 参考答案及解析 可得(1+k2)x2-2k2x+k2-5=0, (△=(-2k2)2-4(1+32)(k2-5)=16k2+20>0, V2(一》+88≤x≤0，所以当=3时， 2k2 则21十22=1十2： 取得最小值，则d(P,l)=|PQImini=√5.(5分) (2)设线段L的端点分别为A,B,不妨取A(一1， k2-5 t1x:-1+k' 0),B(1,0),则点集D由如图所示的曲线围成， 有l1:y=1(x≤1)，l2:y=-1(x≤1)， 3+k2 x1=1十k2” C1:(x+1)2+y2=1(-2≤x≤-1)， 又x2=3-2x1,解得 (7分) C2:(x-1)2+y2=1(1≤x≤2)， k2-3 x2-1+k2’ 其面积为S=4十元. (10分) 所以3十6.2-3_：-5 1十21+1+，解得=土1，(9分) 故1的方程为x-y=0或x十y-2=0.(10分) (2)证明：设M(xM,yM),圆C:x2+(y一1)2=5 的圆心为C(0,1), (3)根据题意可得，线段AB,BC的方程分别为 则以线段CM为直径的圆的方程为(。-)}'+ x=0(0y1),y=0(0x2), (y-yM,+2_xM-0)2+(M-1)2 设P(x,y),根据定义： 2 4 若x≤0，y>0,则d(P,l1)=d(P,l2)不可能成立； 化简可得x(x一xM)+(y-1)(y-yM)=0, 若x≤0，y≤0，则d(P,l1)=d(P,l2)=|PB| (15分) 恒成立，此时{(x,y)x≤0，y≤0}；(13分) 上述方程与圆C的方程相减得I:xMx十(yM 若0<x≤1，只有d(P,l1)=|x|=d(P,l2)= 1)y-4-yM=0, (17分) |y时符合题意，此时{(x,y)川y=x,0<x≤1}； 因为l过点P(1,1),则xM十(yM一1)-4 (15分) yM=0,所以xM=5, 若1<x≤2，只有d(P,l1)=|PA|=d(P,l2)= (19分) 所以点M在直线x=5上. (20分) y,即x2+(y-1)2=y2,即x2=2y-1时符合题 意，此时{(x,y)川x2=2y-1,1<x≤2)；(16分) 若x>2,只有d(P,l1)=|PA|=d(P,l2)= 1PC,即x2+(y-1)2=(x-2)2+y2,即4x 2y一3=0时符合题意，此时{(x,y)|4x一2y一 3=0,x>2}, (19分) 综上，2={(x,y)|x≤0，y≤0}U{(x,y)ly= 12.解：(1)设Q(x,x一3)是线段l:x-y一3=0(3≤ x,0<x≤1)U{(x,y)|x2=2y-1,1<x≤2}U {(x,y)14x-2y-3=0,x>2}. (20分) x≤5)上一点，则|PQ|=√(x-1)2+(x-4)产= 2025一2026学年度学科素养周测评（十九） 数学·椭圆 一、选择题 2.B【解析】由题意得F(1,0),设P(x,y),由PF= 1.A【解析】若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 (x-1)2+y2=3, t-2>4-t>0,解得3<t<4,结合选项可知，C 3,得(x-1)2十y2=3,由 8+y-8 得 是焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是 <4 x2-8x十4=0，且-2≤x≤2，解得x=4-2√3， ·19· B站过低谷，便是星辰坦途 2025一2026学年度学科素养周测评（十八） A(传2 a(侵引 班级 爸题 数学·直线与圆的方程 c层 n层》 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 得分 是符合题目要求的。 题号 7 8 题号 1 2 答案 答案 7.已知直线11：ax十2y十a-1=0,l2:x+(a-1)y十2a-3=0,则 1.圆0：x2+y=4与圆O':(x一2)十(y十2)2=20的公切线条数为 A.1 B.2 C.3 D.4 A.山的方程可以表示过点（一1,2）的任意一条直线 2.在平面直角坐标系xOy中，直线kx一y一k十1=0与圆(x一1)2十y2=4相交于A,B B.原点O到l2的距离的最大值为√⑤ 两点，则|AB|的最小值为 () A.1 B.3 C.2 D.23 C:山上的充要条件为a=号 3.已知平行四边形ABCD的顶点A(0,1),边AB所在直线的方程是x一y十1=0，对角线 D.l1∥lz的充要条件为a■一1或a=2 的交点为M(2,2),则边CD所在直线的方程为 () 8.已知点A(1,0),B(0,2),M(mn)是圆C:(x一5)2+(y一2)2=16上的一个动点，点N A.x-y-1=0 B.x-y+2=0 (s,)是直线AB上的动点，过N作圆C的两条切线，切点分别为S,T,则() C.x+y-1=0 D.x+y-3=0 4.已知点A(-1,1),B(1,一1)，C(3,3),动点P满足|PA2十|PB|2十|PC=70,则 A.M与N两点之间距离的最小值小于。 PA·PB的最大值为 () B.当∠MBA最大时，△MBC的面积是6，√2 A.32 B.42-1 C.30 D.31 C直线ST过定点2，) 5.已知不重合的圆C1,C:都过点（一1,2），且均与两坐标轴相切，则圆C1,C:的公共弦长为 DST的最小值是8 () 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 A.1 B.2 C.22 D.32 6.已知点O(0,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0),平面上仅在线段OA,AB,BC所在位置分别 9.过曲线C上一点P作圆x2十y=1的两条切线，切点分别为A,B,若kaks=4,则C 放置一个双面镜.现有一道光束沿向量s=(1,m)(m>0)的方向从线段OC上某点（不 的方程为 含端点)射人，若光束恰好依次在线段BC,线段AB,线段OA各反射一次后从线段OC 10.已知点A(1,0),点M为圆x2+y2=4上一动点，点N为直线2x一y+7=0上一点， 上某点射出，则m的取值范围是 () 则2AM+|MN|的最小值为 学科素养周测评（十八）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十八）数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 12.(20分)已知平面内的线段1及点P,任取1上一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P 11.(20分)已知圆C:x+(y-1)=5,过点P(1,1)的直线l交圆C于A,B两点. 到线段l的距离，记作d(P,). (1)若AP|:|PB|=12,求1的方程 (1)求点P(1,1)到线段1：x-y-3=0(3≤x≤5)的距离d(P,l): (2)过A,B分别作圆C的切线11，：，设直线11和l:的交点为M,证明：点M在定直 (2)设l是长度为2的线段，求点P的集合D={Pd(P,l)≤1}所表示的图形的面积： 线上， (3)求出到两条线段l1,l距离相等的点的集合Q={Pd(P,l1)=d(P,l2)},其中l1 =AB,l2=BC,A(0,1),B(0,0),C(2,0). B 学科素养周测评（十八）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十八）数学第4页（共4页）