周测评(十四)数列的通项公式和求和-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（B版）

·数学· 参考答案及解析 2025一2026学年度学科素养周测评（十四） 数学·数列的通项公式和求和 一、选择题 6.B【解析】由题意知n=8,故可得最底层小球的数 1.A【解析】由题得a1=1-1,所以ag=1- 量为cd=(a+7)(b+7),即c=a+7,d=b+7,从而 a 有 8.[(2b+b+7)a+(2b+14+b)(a+7)+7]_ 11 2=20:=1-2=-1,04=1-(-1)=2,所以 6 240,整理得(2b+b十7)a十(2b+14十b)(a+7)+7= {am}是周期为3的周期数列，又32=3×10+2，所 180,即(3b+7)a+(3b+14)(a+7)=173,即3ab+ 1 以a32=a2=2· 7a+3ab+14a+21b+98=173,即6ab+21a+21b= 75,即2ab+7a+7b=25,由于a,b均为正整数，所以 2.C【解析】由题得S6=63-12+sin3π-216- (i）当a=1,b=1时，2·1·1+7·1+7·1=16<25， 12=204,5=5-10+m号x=125-10+1- (i)当a=1,b=2时，2·1·2+7·1+7·2=25， (m)当a=1,b=3时，2·1·3+7·1+7·3= 116,故a6=S6-S5=204-116=88. 34>25, 3.B【解析】由a1=2,an+1=2am,得{an}是首项为2， (iV)当a=2,b=2时，2·2·2+7·2+7·2= 公比为2的等比数列，故am=2”,则bn+1=2bn一2， 36>25,只有a=1,b=2符合题意，即ab=2. 中气冬日：同光到会}是以号=3为黄 二、选择题 2n+12n 7.ACD【解析】不妨设第n(n∈N)个“拐弯数”为 项，一日为公差的等龙裁列，则会=3十(》a am,不难发现a1=2,a2=4=a1十2，a3=7=a2十 3,a4=11=a3十4，…，所以am-am-1=n(n≥2)， 1),即bn=(7-n)2”-1.由am=bm,得2m= 利用累加法，得am一a1=2十3十…十n= (7-m)·2m-1,解得m=5. 4.A【解析】设等比数列{am}的公比为q,由Sg= a+2),a-1,故a。=n+n+2(m≥2》，当n=1 2 2 a1十a2十a3=a1十a1q十a1q2=a1(1十q十q2)=ma1, 时，也特合上式，所以a.=n十n+2(m∈N).代入 得1十q十q2=m.当m=7时，1十q十q2=7,解得 2 q=2或q=一3，故充分性不成立；当q=2时，1十 选项验算可知A,C,D正确. q十q2=m=7,故必要性成立.所以“m=7”是 8.BC【解折】白2S.-31-3,得S。-号·31 “{an}的公比为2”的必要不充分条件. 5.A【解析】因为f(x)=(x-1)3+2(x-1) 3 2a1=S1=3,当n≥2时，am=S。-S。-1= n2二2+2，所以f(x)+f(2-x)=(x-1)°+ (3+1-3)=3,a1=3满足上式，因此4，=3”， 1 2-1D-ln22+2+1-x)+21-x) 数列{am}是等比数列，故B正确；由 T_1 n=2b十 n22+2=4,所以f)的图象关于点(1,2)中心 1,得T.=26,十n①，61=T,=201十1，解得 对称.因为2S.=nan+1,所以2Sn-1=(n-1)an b1=2,则a1≠3b1,故A错误；当n≥2时，Tm-1 (n≥2)，所以2Sm-2Sm-1=nam+1-(n-1)an +-1®①-@释2.t1” n-1 (n≥2)，所以2an=nam+1-(n-1)an(n≥2)，所 以-%n≥2)，又51=02S。=a+1,所 ,2m-2. n+1 n 2b+1十1，两式相加，得26.= 宁0号0…受-0斯以4,0 “2b+”2b,参2得26.=61十61，因 又a:十a20-:=2a1o=2,所以f(a:)十f(a20-i)= 此数列{b.}是等差数列，故C正确；当b2=3时， 4,所以3[fa:)+fan-,刀-24=76 1 等差数列{b.}的公差为1，b.=n十1，则6，·1oga 7 B 真题密卷 学科素养周测评 1=1-1 nn十Din干所以 一=1一 (2)解：由(1)得2a,=2na1,即a.-2, na =1bn·l0g3an 11 11,11 1 10 23+…+g0+0立1-立7，故D 所以5=a+号十…) 错误. 三、填空题 所以s,-a(++…+ 9.3【解析】因为Sm=n2十n,则当n≥2时，am= Sm-Sm-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,又当 两式相碱得s=a+十+…+是 n=1时，a1=S1=2,满足am=2n,故am=2n. an 2n =+）+又y=x Sm+9n2+n+91/ 9在1,3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 9 所以s.=a(4-+) (15分) 故当n=3时，n十二取得最小值，即当n=3时， n 由l≤Sn≤6，n∈N*,易得a1>0, S十9取得最小值. 所以an>0,{Sn}单调递增，(Sn)min=a1. an 10.38【解析】am=(-1)”(2n-1),设写错项为x, (17分) 则其前100项和为S=-1+3一5+7-9+11 又n+2 2>0,所以4-”+2 2n-1 4,即Sn<4a1, ·+195-197+199=(-1+3)+(-5+7)+ (-9+11)+…+(-197+199)=2×50=100, 所以a1≥1且4a1≤6，解得1≤a1≤，) 即S-x十x=100,某项正负号写错后得前100 项和为-50，则S-x-x=一50，又100- 故a1的取值范围是1,2] 13 (20分) (-50)=S-x+x-(S-x-x)=2x=150,解 12.(1)证明：因为a1=0,设公差为d, 得x=75.故写错的数为75，令am=(-1) (2n一1)=75，解得n=38,故写错的是数列中第 则Sn=n(m-1)d 2 38项. 四、解答题 令m=n(n-1) 2 1，则m∈N*,am=(m-1)d= 11.(1)证明：因为数列{2·a}是等差数列，所以2 X4a2=2a1+8a3. nn,1Dd,这时S.=aa, 2 因为侣是等比数列，所以a.≠0，n∈N 即对Vn∈N,存在正整数m,使得Sm=am,所 以{am}是“H数列”. (6分) (2)证明：当n=1时，a1=2a1-1,所以a1=1, 得a?-4a1a2十3a号=0，解得a1=a2或a1= 当n≥2时，am=Sm-Sw-1=2am-1-2aw-1十1， 3a2 (4分) 所以an=2am-1, 若a:=3a,则a:-2,且数列2·a,}的公差 所以{am}是以1为首项，2为公比的等比数列，所 以am=2m-1,Sn=2”-1. (10分) 3 假设数列{am}是“H数列”，则对Hn∈N·,总 所以16a4=8a3十d=0,即a4=0,矛盾； ]m∈N,使得Sn=am, 若01=a则a,-0,且数列2·a,的公若 当n=1时，有2m-1=1,则m=1; 当n≥2时，有2m-1=2"-1,左边为偶数，右边为 d=2a1,所以16a4=8a,十d=8a1,数列2的 奇数，该方程无解. n 所以对Hn∈N*,不存在m∈N',使得Sn=am, 公比为2，符合题意.综上，a1=a2: (8分) 所以数列{am}不是“H数列”. (14分) B ·8 ·数学· 参考答案及解析 (3)解：依题意，am=1+(n一1)d, 所以m=n一1+nn-1) 1， S.=n+u(n-1)d d 2 2 又因为m∈Nm1DENy 若{am}是“H数列”，则对Vn∈N·,都3m∈ N*,使得Sn=am, 质厅以对n∈N,”Z,且d<0,则d= 即1+(m-1)d=n+nn1)d 2 (20分) 2025一2026学年度学科素养周测评（十五） 数学·立体几何初步—空间几何体 一、选择题 90,则 x十y=32, 解得y=20,即有20个六元 1.D【解析】设该圆锥的底面半径为r,母线长为L, 5x+6y=180, 高为h,则πrl=3πr2,可得l=3r,则h=√-r2= 环， √9r2-r2=2√2r,由圆锥的体积为18√2π，可得 6.A【解析】如图所示，在棱长为√2的正方体中构 3r2×22,=182π，解得r=3. 1 造棱长为2的正四面体A-BCD,显然正四面体的 棱切球即为正方体的内切球，故球的半径为正方 2.B【解析】平行六面体的六个面都是平行四边 形，且相对的平行四边形全等，所以六个平行四边 体機长的一本，即=别这球的衣西京为S 形中的矩形个数可能为0,2,4,6，所以各个表面中 4πr2=2π. 的直角个数之和可能为0,8,16,24. 3.C【解析】将两个相同的如图所示的几何体拼接 为圆柱，则圆柱的底面半径为2cm,高为13cm, 体积为π×22×13=52πcm3,则所求体积为圆柱 1 体积的-半，即52π×2=26rcm3. 4.D【解析】如图，连接AB,AD,圆锥底面圆的周 二、选择题 7.ABD【解析】对于A,若圆柱的底面直径为8，则 、长为2x,母线为3，所以扇形展开图的圆心角为红， 半径为4，此时球心到圆柱底面的距离为 则∠BAC-3,∠BAD=∠DAC=石，所以D市.D √5一4=3，故圆柱的高可以为6，故A正确；对 于B,若圆锥的底面直径为8，则半径为4，此时球 AB-AD)·AC-AD)=AB·AC-AD.AC 心到圆锥底面的距离为√52一4？=3，故圆锥的高 -店AD+A市=3×3×c0s号-2X3X3 最大为3十5=8，故B正确；对于C,若圆锥的底面 ×cos看+9-27-188 直径为7，则半径为？，此时球心到圆锥底面的距 2 离为一（写厂-红<号=4，收圆缘的高量 大为V厅十5<9，故C错误；对于D,将棱长均为8 2 的四面体放到棱长为4√2的正方体中，则正方体 5.D【解析】根据题意，设五元环的个数为x,六元 外接球的直径为√3×4√2=4√6<10，故D正确. 环的个数为y,又碳60(C60)的顶，点数为60，面数 8.AD【解析】对于A,考虑正方形的一条边与x 为32，且顶点数一棱数十面数=2，可得棱数为轴重合，由斜二测画法的性质可知，另一条边与y 。9· B运气不够？以勇气破局 2025一2026学年度学科素养周测评（十四） 6.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出了长方台形垛积的一般求和公 班级 卺题 数学·数列的通项公式和求和 式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有αb个小球，第二层有 (a十1)(b十1)个小球，第三层有(a+2)(b+2)个小球，…，依此类推，最底层有cd个小 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 球，共有n层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为[26+da十(2d+bc十c一a)]n 6 得分 是符合题目要求的。 若由小球堆成的某长方台形垛积共8层，小球的总个数为240，则该垛积的第一层的小 题号 球个数为 () 答案 1.已知数列{an}满足a1=2,a+1a,=a,-1,则aa= ( A号 B.2 A.1 B.2 C.3 D.4 C.3 D.-1 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 2.已知数列{a,}的前n项和S。=”3-2n十sin2x,则as () 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 8 A.66 B.77 答案 C.88 D.99 7.将自然数1,2,3,4,5，…按照如图排列，我们将2,4,7,11,16，…称为“拐弯数”，则下列数 3.在数列{an},{b.}中，a1=2,b1=6,aw+1=2a。,b.+1=2b。一a。,若am=bm,则m= 字是“拐弯数”的是 () () 11 A.4 B.5 C.6 D.7 12 13 4 4.已知等比数列{a.)的前n项和为S.,且S,=ma1,则“m=7”是“{a.}的公比为2”的 6 () A.37 B.58 A,必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.67 D.79 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知数列{a.}的前n项和为S。,且满足2S,=3+1一3，数列b.}的前n项和为T。,且满 5.若f红)=红-1)+2x-1)-lh2+2,数列a.的前n项和为S.且S1i025. 足子动，+1，则下列说法正确的是 () =a41,则2[Ua:)+fa0-】= () A.a=3b B.数列{a.}是等比数列 A.76 B.38 C.19 D.0 C.数列{b.}是等差数列 D者-3周点e品 9 学科素养周测评（十四）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十四）数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 12.(20分)设数列{a.}的前n项和为S.若对Vn∈N“,总3m∈N”,使得S.=am,则称 9.已知数列a.小的前n项和S.=n2十n,当n=时，S+ 二取得最小值」 {an}是“H数列”. (1)已知数列(a.)是等差数列，且a1=0,求证：数列{a.}是“H数列” 10.已知数列(a.)满足a。=(一1)n(2n一1)，其前100项中某项正负号写错，得前100项和 (2)若数列(a.}的前n项和S。=2a.一1(m∈N·),证明：数列(a.}不是“H数列”. 为-50，则写错的是数列中第项. (3)设{an}是等差数列，其首项a1=1,公差d<0.若{a.}是“H数列”，求d的值. 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 山.(20分)已知数列a满足2·a.}是等差数列，片是等比数列 (1)证明：a1=a2 (2)记{a.)的前n项和为S.,若对Vn∈N·,S.∈[1,6]，求a1的取值范围. B 学科素养周测评（十四）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十四）数学第4页（共4页）