周测评(十三)数列的概念、等差数列与等比数列-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（B版）

公式为刃，新断畏难心魔 2025一2026学年度学科素养周测评（十三） 7.已知无穷数列{a.}和{b.)的各项均为整数，{a.)和{b.}是非常数数列，且在{an}和{b.} 班级 卺题 中存在大小相等的项，则下列说法一定正确的是 () 数学·数列的概念、 A.若{a.}和{b,}是各项均为正数的等差数列，且相等的项不止一项，则这些项构成等差 姓名 等差数列与等比数列 数列 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 B.若(.}和(b,}是各项均为正数的等比数列，且相等的项不止一项，则这些项构成等比 得分 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 数列 是符合题目要求的。 C.若{a.}为等差数列，{b.}为等比数列，则相等的项不止一项 题号 D.若{4.}为递增数列，{b.}为递减数列，则相等的项可能只有一项 2 3 4 5 6 答案 8.已知数列(a.}满足a.+1一a.|=1(n∈N),且a1=1,S.为{a,》的前n项和，则下列说 1.在数列{an}中，对Vm,n∈N·,都有am·an=am+m,且a1=2,则a6= ( 法正确的是 () A.2 B.12 C.64 D.126 A.若a1<0,则存在k∈{2,3，…，99}，使得a4=0 2.设等差数列{a,}的前n项和为S,若S,=90,则aa十a B.若ao=100,则a1,ag,…,a1m成等差数列 A.10 B.20 C.30 D.40 C.存在数列{a.},使得St=1 3.在等比数列1a.中，a1十a+a,=9,+1+1=3,则a, D.存在k∈N”,使得S+1=100 a ax as 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 A.3 B.士3 C.3 D.土3 9.等差数列(a,}按照如图所示的方式排列成一个n×n的方阵，并从里到外分为n层.设 4.现需要把粗细均匀的100根圆木排成5层梯形形状，由上至下从第二层起，每层比上一 第n层内的所有数字之和为S.,且S,=8m3一12n2十10m一3，则{am}的公差 层多排5根，则最上面一层的圆木根数为 () 为 A.8 B.10 C.11 D.12 ①2④D 5.已知数列{a.}的通项公式为a.=n2一10n十21，则当该数列的前n项和取得最小值时， 4|a4a n的值为 () A.5 B.7 C.7或8 D.6或7 16a44 6.已知由正整数组成的集合A=(a1,a:,as,…,a0},S(A)表示集合A中所有元素的和， E(A)表示集合A中偶数的个数，若S(A)=2025,则E(A)的最小值为 () 10.某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：把100名学生从左到右按照序号1至 A.5 B.7 C.9 D.10 100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步：把向前一步的50名同学从左到右 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步：把向前一步的25名 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步，依次类 题号 8 推，直到剩下一名同学为止，问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这 答案 名同学把每次的序号记住，则这名同学的所有序号之和是 学科素养周测评（十三）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十三）数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 12.(20分)定义：对于任意n∈N°，满足条件.十a≤a+1且a.≤M(M是与m无关的 2 3 1.(20分)已知数列(a:}的前n项和为S.,a1-2且S.=2an一3. 常数)的无穷数列{a.}称为T数列. (1)求{a.)的通项公式： (1)若a.=1一n2(n∈N·),证明：数列(a.是T数列. 公者6，=“，求使6，取得最大值的：的值 (2)设数列b.}的通项为b。=24n一3°，且{b.}是T数列，求M的取值范围. (3)设数列c,=gn-Da∈N),判断c.}是否是T数列？请说明理由。 女 学科素养周测评（十三）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十三）数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 则p=(x1十x2,入y1十y2), 当a=灭时，S(c,a)+S(c,b)取得最大值V2; 所以S(p,m)=|(c1十x2)y1-(y1十y2)x1= 4 lux1y2-x2y1=lulS(m,n), (15分) 同理S(p,n)=|λx1y2-x2y1|=la|S(m,n), 所以S(p,m)+S(p,n)=(la|+lμ)S(m,n). 当e,b)--a时，5ca+5e.b (9分) -2,号ells+2:2le1lb1sin(3经-e） 1 3)解：设(a,c)=a,由aLb,得〈c,b)=2-9 -a -sin a+sina)-sin a-cos a 或e,b--。 a, (11分) =Esin(a-）, 当e,b>=-a时，sc,a)+5c,b) 当a音-含即a=时，5c,a)十5c,b)取 -2·2+2:2 i(管-e） 得最大值√2， (19分) =sine+cosa=厄sin(e+F）, 所以S(c,a)+S(c,b)的最大值为√2.(20分) 2025一2026学年度学科素养周测评（十三） 数学·数列的概念、等差数列与等比数列 一、选择题 6.B【解析】由于45个正奇数的和不小于1十3十 1.C【解析】因为对Vm,n∈N*,都有am·an= 5+·+(2×45一1)=2025，又A中有50个不同 am+m,所以a2=a1·a1=4,a4=a2·a2=16,所 的正整数，故A中的偶数一定超过5个.由于 以a6=a2·a4=4×16=64. S(A)=2025,故A中的奇数一定为奇数个，取 2.B【解析】因为{am}为等差数列，所以Sg= A={1,3,5,·,2×43一1,18,20,22,24,26,28， 38},则A中元素的个数为43十7=50，这50个数 9(a1+ag) 2 =90,所以a1十ag=20,所以a3十a,= 的和为43：+18+28)×6+38=1849十138十 2 a1+ag=20. 38=2025,故E(A)的最小值为7. 3.C【解标】在等比数列{a.}中，a1a;=a,由1十 二、选择题 7.ABD【解析】对于A,由于{am},{bm}是各项均为 ⊥+1=3，得a十a十a1=3a5,又a1+a:+ a3 as 正数的等差数列，若将{am},{bn}相等的项中最小 a5=9,所以a3=3,又a1十a3十a5>0,且a1,a3, 的一项记为a,且{an},{bn}的公差分别为d1,d2, 若d1,d2的最小公倍数为d,则a+dk,k=0,1, a5同号，所以a3>0,则a3=√5， 2,3,…均为{an},{bn}的相等的项，且构成等差数 4.B【解析】由题意得，由上至下每层的圆木根数 列，故A正确；对于B,由于{am},{bn}是各项均为 成等差数列，设为{am},则S5=100,d=5,所以 正数的等比数列，若将{am},{bn}相等的项中最小 S,=5a1+5X4×5=10,解得a1=10. 的一项记为a,且{an},{bn}的公比分别为q1,q2, 2 则a(q1q2),k=0,1,2,3,…均为{an},{bn}的相 5.D【解析】由am=n2-10n十21，得当n≤5时， 等项，且构成等比数列，故B正确；对于C,若am= 数列{am}单调递减；当n≥5时，数列{am}单调递 2n-1,bn=2m-1,则{am},{bn}只有1项是相等的 增.由am≤0，得3≤n≤7，因此S1=12,S2=S3> 项，故C错误；对于D,若am=2m-1,bn=一n十2， S4>S>S6=S,当n>7时，Sm>S,所以当该 由于am=2m-1≥1，bn=-n十2≤1，则{an},{bn} 数列的前n项和取得最小值时，n的值为6或7. 的相等的项只有a1=b1=1,故D正确. ·5· B 真题密卷 学科素养周测评 8.ABC【解析】设a,为{an}中第一次取负值的项， 则a-1=0,否则|a:-a-1|≥2，与题设矛盾，所以 所以血，是首项和公比均为的等比数列， 一定存在k∈{2,3，…，99}，使得a=0,故A正 故am=a1Xq"-1 (10分) 确；因为a1o一a9≤1，a99-a98≤1，…，a2一a1≤ 1,所以a1o0-a1≤99，所以a10≤100，当且仅当 (2)由(1)可得，6.=m+)(号）， a+1一a:=1,i=1,2,3,…,99时等号成立，所以 a1,a2,…,a1oo成等差数列，故B正确；取a1= 2(n2+n)2(n+1) 当n≥2时，由6,1-3(n2-n) 3(n-1)>1,可 a5=…=a101=1,a2=a6=…=a102=0,a3=a7= 得n<5, (14分) …=ag9=-1,a4=ag=…=a10=0,则S102=1, 故当n=5时，b4=b5; 故C正确；由于a2-1(k∈N)一定是奇数，a2一 当n>5时，b5>b6>b,>…; 定是偶数，所以S4+1必为奇数，因此不存在k∈ 当n<5时，b1<b2<b3<b4, N*,使得S4+1=100,故D错误. 所以b1<b2<b3<b4=b5>b6>b,>…, 三、填空题 9.4【解析】由题意得，a1=S1=8-12+10一3=3， 综上，当n=4或m=5时，6.取得最大值20. 81 设等差数列{am}的公差为d,则S2=a2十a3十 (20分) a4=3a3=9+6d=8×23-12×22+10×2-3,即 12.(1)证明：由an=1-n2得am十am+2-2am+1 9+6d=33,解得d=4. =-2<0, 10.64;126【解析】依题意，第一次报数后向前一步 的同学的原序号为2n1,n1∈N",n1≤50，n1为 所以数列a}满足.十a+≤a+1 (3分) 2 第二次报数时的新序号；第二次报数后向前一步 又am=1一n2单调递减， 的同学的原序号为2n2,n2∈N",n2≤25，n2为 所以当n=1时，am取得最大值0，即an≤0. 第三次报数时的新序号；第三次报数后向前一步 所以，数列{am}是T数列. (5分) 的同学的原序号为2n3,n3∈N",n3≤12，n3为 (2)解：由bn=24n-3”, 第四次报数时的新序号；第四次报数后向前一步 得bm+1-bn=24(n十1)-3m+1-24n+3"=24- 的同学的原序号为2n4,n4∈N*,n4≤6，n4为第 2·3”, 五次报数时的新序号；第五次报数后向前一步的 令24-2·3"≥0，解得n≤2，所以当n≤2时， 同学的原序号为2m5,n5∈N*,n5≤3，ns为第六 bm+1一bm>0,{bn}单调递增； 次报数时的新序号，显然第六次报数时向前一步 当n≥3时，bm+1一bnm<0,{bn}单调递减，(9分) 的同学的序号为2，因此走到最前面的同学各次 因此{bn}中的最大项是b3=27×3一33=45， 编号按报数由后向前排列为2,22,23,24,25,26， 所以M的取值范围是[45，十∞]. (12分) 所以走到最前面的同学第一次的序号是64，这名 (3)解：假设数列{cm}是T数列，依题意有： 2(1-2） 同学的所有序号之和为1一2 1 =126. Cn t entz 2cn+i mn+p-(m+2) 四、解答题 、2 2 1.解：1)因为S=2a,-3且S,=a,-号 p-(n+1)(p-n)(-n-1)(p-n-2)' 2’ (15分) 所以a:=是 因为n∈N',所以当且仅当p小于n的最小值 (2分) 由Sn=2am+1-3,可得Sm-1=2am-3(n≥2)， 时，++：一c+1<0对任意n恒成立， 2 故当n≥2时，an=Sn-Sm-1=2am+1-2am, 故p<1. (18分) 因为an≠0，所以21=3 1 an 2 (5分) 又当p<1时，n一p>0,则c.=gn=D<q,故 又？3 M≥q, a12, 综上所述：当p<1且M≥q时，{cm}是T数列. 所以当≥1时，-名 (20分) B ·6