周测评(十二)平面向量的应用(含正、余弦定理)-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（B版）

草稿纸的厚度，文量梦想高度 密顶 2025一2026学年度学科素养周测评（十二） 5.铜钱，中国古代铜质辅币，特指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方 班级 形ABCD的边长为2，圆O的半径为3，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点 爸题 数学·平面向量的应用 P在圆O上，则PA·PB的最小值为 () 姓名 (含正、余弦定理) 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 得分 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 A.1 B.2 C.3 D.4 是符合题目要求的。 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2-b2-c2=28,点O在 题号 2 △ABC所在的平面内，满足2Oi+O成+0C=0,且c0s∠0AC=3,则。() 答案 A.有最大值10 B.有最小值10 1.在外接圆半径为4的△ABC中，∠ABC=30°，若符合上述条件的三角形有两个，则边 C.有最大值8 D.有最小值8 AB的长可能为 () 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 A.2 B.3 C.4 D.5 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 2.平面上的三个力F,F4,R作用于一点，且处于平衡状态.若R1=1N,F,=5,N, 题号 7 8 2 答案 F:与F2的夹角为45°，则F,与F1夹角的余弦值为 () 7.如图，正方形ABCD的边长为2，E,F分别是边AB,BC的中点，则 ( ) A.-6+2 B6+2 4 4 C,-6-2 D6-2 4 4 3.一质点沿正西方向从点A到达点B,AB=6m,在点A处测得点P在其北偏西30°方 向，且PA=(3+5)m,则PB= () A.cos(FAAB)2/5 B.AB,A下=4 A.42m B.43m C.52m D.53m C.正-2A正+号d D.DE⊥AF 4.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2,AC=1,D是BC边上靠近B点的三等分 8.设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1e:是分别与x轴，y轴正方向同向的 点，E是线段BC上的动点，则AE·CD的取值范围为 () 单位向量.若O币=xe1十ye2,则把有序实数对(x,y)叫做向量O丽在斜坐标系Oxy中 的坐标，记作OP=(x,y),则下列说法正确的是 () A若0币=(2,1)，则101=7 A[-9 [-9 且若=(2D,C-(1,》则A,B,C三点共线 C.若OP=(3,2),OP=(2,-3),则OP⊥OP c[- n[- D,若0A=(2,0),0i=(0,3),OC=(4,1),则四边形OACB的面积为7 2 学科素养周测评（十二）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十二）数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 12.(20分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量m=(x1,y:),n=(x2, 9.已知向量a=(一2,1)在向量b上的投影向量为。b,则b的最大值为 y),且OM=m,ON=n,当m,n不共线时，记以OM,ON为邻边的平行四边形的面 积为S(m,n)=x1yg一xy1:当m,n共线时，规定S(m,n)=0. 10.如图，一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，图中实线部分为裁剪后的形状.已知 (1)根据下列已知条件求S(m,n): 这个圆的半径是13cm,AB=8cm,BC=6cm,且AB⊥BC,则圆心到点B的距离约 (1)m=(2,1),n=(-1,2): 为 cm(结果精确到0.1cm). (1)m=(1,2),n=(2,4). (2)若向量p=m十na∈R,A2+≠0)，证明：S(p,m)+S(p,n)=(入|+μ)· S(m.n). (3)记OA=a,Oi=b,OC=c,且满足c=Aa+ub(u>0,A,∈R),a⊥b,la=b= |e=1,求S(c,a)十S(e,b)的最大值. 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11.(20分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且3 asin B+bcos A=a +c,b=2,△ABC的面积为3. (1)求B: (2)若D为AC边上一点，且满足DC=2AD,求BD的长. B 学科素养周测评（十二）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十二）数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 2025一2026学年度学科素养周测评（十二） 数学·平面向量的应用（含正、余弦定理） 一、选择题 6.D【解析】由a2-b2-c2=28,得a2=b2+c2 1.D【解析】在△ABC中，∠ABC=30°，由△ABC 2bc cos A=b2+c2+28,bc cos A=-14, 有两解，得30r<C<150,且C≠90，则号<血C< a+o+号d=oi+2oi-a+ 1,由△ABC外接圆半径为4及正弦定理得，AB= AB,AC 8sinC∈(4,8)，所以边AB的长可能为5. 号@i+a0)-0,故ai- AB 111,由于 2.A【解析】因为三个力平衡，所以F1十F2十F3=0, a 所以F3=|E1+F2=√FP+2F1·F2+F2F= 苏④C b 都为单位向量，故AO平分∠BAC,故cOsA +x1xs5+(-g. 2 =s2∠0Ac=2og∠0AC-1=-子，则 设F3与F1的夹角为0，则|F2|=|F1十F3|= 14 F+F,+2FF,1os9,即62 bc=- c0sA=18,则a2=28+62+c2≥28十 2 2√6c2=28+36=64,当且仅当b=c=3√2时， √12+(W2)+2X1X2cos0,解得cos0= √6+2 等号成立，即a≥8，故a有最小值8. 4 二、选择题 3.A【解析】由题可知∠PAB=90°-30°=60°，在 7.BCD【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， △ABP中，由余弦定理可得PB2=62 +(3+√5)2-2×6X(3+√5)cos60°=32，故 PB=4/2 m. 4.C【解析】在△ABC中，由余弦定理可得BC2= |AB|2+|AC2-2AB|·|AC·cos∠BAC=7,所以 E B BC=7.设C龙=CB,0≤A≤1，则A正.CD 则A(-2,0),B(0,0),D(-2,2),E(-1,0), +G脑.市-（心+C·号成-d. F(0,1),所以FA=(-2,-1),AB=(2,0),所 成+号Ci-a心.a-AC)+兰 以cos(FA,AB)= FA.A店 4=_25 FA1IAB1√5X2 5 .病号心+草-音+尝 故A错误；AB·A下=AB·(-FA)=-AB· FA=-(-4)=4,故B正确；AE=(1,0),AD= 5.C【解析】如图，取AB的中点E,连接PE,则 PA·PB=(PE+EA)·(PE十EB)=PE· 0,2,所以2正+AD=21,0)+20,2) P2+P2·EB+EA·P2+EA.EB=P (2,1)=-FA=A京，故C正确；D它=(1，-2)，所 -EA2=PE2-1.因为正方形ABCD的边长为2， 以D尼.FA=-2X1+(-1)×(-2)=0,所以 圆O的半径为3，正方形ABCD的中心与圆O的 DE⊥AF,故D正确. 圆心重合，所以PE|m=2,所以(PA·PB)n= 8.ABD【解析】对于A,由题意得OP=2e1十e2,故 22-1=3. |OP|2=(2e1+e2)2=4e+4e1·e2+e号=4e1|2+ 41 o60+1e,3=4+4X1X1×2+ 1=7,故O护|=√7，故A正确；对于B,由题意得 -20十e:,成=-e:片以店=-成. ·3· B 真题密卷 学科素养周测评 所以A,B,C三点共线，故B正确；对于C,由题意 得OP1=3e1+2e2,OP2=2e1-3e2,所以OP1· OP,=(3e1+2e2)(2e1-3e2)=6e3-5e1·e2 6e=6-5X1×1×号-6=-8≠0，t0m 四、解答题 与OP2不垂直，故C错误；对于D,因为OA=(2, 11.解：(1)由已知及正弦定理可得√3 sin Asin B+ 0),0=(0,3),0元=(4,1)，所以AC=(2, sin Bcos A=sin A+sin C. (2分) 1),BC=(4,-2),又1OA1=√2)=2，Oi1= 又C=π-(A+B), √3e2)=3,1AC|=√7，lBC1=√J(4e1-2e2)z= 所以W3 sin Asin B+sin Bcos A=sinA+sin(A V16e-16e,·e2+4e=23,d=√4e1+e2)= 十B), 所以W3 sin Asin B+sin Bcos A=sinA+sinA· √16e1+8e1·e2+e=W2I,所以OB2十BC2= cos B+cos Asin B, OC2,即OB⊥BC,所以S△oBc= 2×3X25- 即√3 sin Asin B=sinA+sin Acos B.(7分) 因为A∈(0，x),所以sinA≠0， 3√5，在△OAC中，由余弦定理知cos∠OAC= 0A+AC2-OC2=4+7-21 27,所以 5 所以v5sinB=1+eosB,即sin(B-君）=2 2OA·AC 2X2×√7 (9分) sin/OAC=1-c0S LOAC=3 2√7 ,所以S△OAC= 又因为B∈0，，所以B-晋-合， ×2X7X33 1 27-?,所以四边形0ACB的面 所以B- (10分) 家为5+5ac-8g+9-7因长D正纯 C2②因为Ssc=名eesin∠ABC= 1 4ac=3, 所以ac=4. (13分) 三、填空题 在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2 9.2√5【解析】依题意，根据投影向量的定义有 2 ac cos.∠ABC,即a2+c2=8, (a·b)b =2b,则a·cosa,b》-1 -1b 即1b1= 所以a=c=2, 所以△ABC为等边三角形. (16分) 2a|·cos(a,b),又a=(-2,1),所以|a|=√5， 所以当cos(a,b〉取最大值时，|b|有最大值， 又D-A西，所以AD-子 又cosa,b）mx=1,所以|b|max=2|a|=2W5. 在△ABD中，BD=AB2+AD2-2AB·AD· 10.7.3【解析】如图所示，设圆心为D,AC的中点 o=4+号-2x2 2、128 3×2=g 为E,则AD=13cm,由题意知AC= AB+BC=10=2AE,则c0s∠DAC=A片 所以BD=2V7 3 (20分) 13,Cos∠BAC=AB4 12.(1)(1)解：因为m=(2,1),n=(-1,2),且m 12 =AC=5,所以sin∠DAC=i3, 与n不共线， sin∠BAC=3, ,所以cos∠BAD=cos(∠DAC 所以S(m,n)=|x1y2-x2y1|=|2×2-1X (-1)川=5. (2分) ∠RAC)×音+品×8g由会袋定宽可 (i)解：因为m=(1,2),n=(2,4),则2m=n,两 向量共线，以S(m,n)=0. (4分) 得BD2=AD2+AB2-2AD·AB·coS∠BAD (2)证明：设向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),且 =53.8,所以BD≈7.3cm. 向量p=入m十n(a,4∈R,λ2+μ2≠0)， B ·数学· 参考答案及解析 则p=(x1十x2,入y1十y2), 当a=灭时，S(c,a)+S(c,b)取得最大值V2; 所以S(p,m)=|(c1十x2)y1-(y1十y2)x1= 4 lux1y2-x2y1=lulS(m,n), (15分) 同理S(p,n)=|λx1y2-x2y1|=la|S(m,n), 所以S(p,m)+S(p,n)=(la|+lμ)S(m,n). 当e,b)--a时，5ca+5e.b (9分) -2,号ells+2:2le1lb1sin(3经-e） 1 3)解：设(a,c)=a,由aLb,得〈c,b)=2-9 -a -sin a+sina)-sin a-cos a 或e,b--。 a, (11分) =Esin(a-）, 当e,b>=-a时，sc,a)+5c,b) 当a音-含即a=时，5c,a)十5c,b)取 -2·2+2:2 i(管-e） 得最大值√2， (19分) =sine+cosa=厄sin(e+F）, 所以S(c,a)+S(c,b)的最大值为√2.(20分) 2025一2026学年度学科素养周测评（十三） 数学·数列的概念、等差数列与等比数列 一、选择题 6.B【解析】由于45个正奇数的和不小于1十3十 1.C【解析】因为对Vm,n∈N*,都有am·an= 5+·+(2×45一1)=2025，又A中有50个不同 am+m,所以a2=a1·a1=4,a4=a2·a2=16,所 的正整数，故A中的偶数一定超过5个.由于 以a6=a2·a4=4×16=64. S(A)=2025,故A中的奇数一定为奇数个，取 2.B【解析】因为{am}为等差数列，所以Sg= A={1,3,5,·,2×43一1,18,20,22,24,26,28， 38},则A中元素的个数为43十7=50，这50个数 9(a1+ag) 2 =90,所以a1十ag=20,所以a3十a,= 的和为43：+18+28)×6+38=1849十138十 2 a1+ag=20. 38=2025,故E(A)的最小值为7. 3.C【解标】在等比数列{a.}中，a1a;=a,由1十 二、选择题 7.ABD【解析】对于A,由于{am},{bm}是各项均为 ⊥+1=3，得a十a十a1=3a5,又a1+a:+ a3 as 正数的等差数列，若将{am},{bn}相等的项中最小 a5=9,所以a3=3,又a1十a3十a5>0,且a1,a3, 的一项记为a,且{an},{bn}的公差分别为d1,d2, 若d1,d2的最小公倍数为d,则a+dk,k=0,1, a5同号，所以a3>0,则a3=√5， 2,3,…均为{an},{bn}的相等的项，且构成等差数 4.B【解析】由题意得，由上至下每层的圆木根数 列，故A正确；对于B,由于{am},{bn}是各项均为 成等差数列，设为{am},则S5=100,d=5,所以 正数的等比数列，若将{am},{bn}相等的项中最小 S,=5a1+5X4×5=10,解得a1=10. 的一项记为a,且{an},{bn}的公比分别为q1,q2, 2 则a(q1q2),k=0,1,2,3,…均为{an},{bn}的相 5.D【解析】由am=n2-10n十21，得当n≤5时， 等项，且构成等比数列，故B正确；对于C,若am= 数列{am}单调递减；当n≥5时，数列{am}单调递 2n-1,bn=2m-1,则{am},{bn}只有1项是相等的 增.由am≤0，得3≤n≤7，因此S1=12,S2=S3> 项，故C错误；对于D,若am=2m-1,bn=一n十2， S4>S>S6=S,当n>7时，Sm>S,所以当该 由于am=2m-1≥1，bn=-n十2≤1，则{an},{bn} 数列的前n项和取得最小值时，n的值为6或7. 的相等的项只有a1=b1=1,故D正确. ·5· B