周测评(十一)平面向量(概念、运算、基本定理及坐标表示)及复数-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（B版）

笔尖破混沌，每一步都算数 2025一2026学年度学科素养周测评（十一） 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 班级 爸题 数学·平面向量（概念、运算、 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 8 姓名 基本定理及坐标表示)及复数 答案 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 7.设1,2：为复数，则下列说法正确的是 得分 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 A.la+lz=l+ B.z1十z:=z1十z2 是符合题目要求的。 C.若{x1=x1,则x1=z D.若x子<0，则1为纯虚数 题号 1 2 8.已知0为△ABC内部的一点，且满足O店·O元=0,1O元1=21O店1=2,5OA+3O万+ 答案 20元=0，则 () 1.已知复数：满足（行一2）：=5，则：在复平面内对应的点位于 ( A.IOA=1 RD∠AOB=-号 A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C△ABC的面积为号 D.Ad=8a+号ad 2.已知向量a,b满足a=23,b在a上的投影向量为3a,则a·b= ( 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 A.123 B.63 C.12 D.6 9.若复数z■1-i是方程x2十ax十2■0(a∈R)的一个根，则a= 3.设复数x在复平面内对应的点为Z(x,y),若x一1=1，则 10.在△ABC中，点G,0分别是△ABC的重心和外心，且AG·A可=4，AG1=2,则BC A.(x-1)2+y2=1 B.(x+1)2+y2=1 的长为 C.x2+(y-1)8-1 D.x+(y+1)2=1 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 4.在平行四边形ABCD中，AB+AD|=|AB-AD1=4,且∠BAC=∠CAD,则四边形 11.(20分)已知复数z1,z:在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,O是坐标原点，M是复平 ABCD的面积为 () 面内一点，且OM=OZ+Z1Z(a,∈R). A.4 B.42 C.8 D.45 (1)若z1=2i,x=4十6i,OM⊥Z1Zt,求A与4的关系： (2)若OZ1,OZ:不共线，M,Z1,Z。三点共线，求a的值 5.已知向量a=(,3,5),且向量a与b的夹角为，则a-b1的最小值为 A.1 B.2 C.2 D.4 6.欧拉公式e=cos0+isi0是由瑞士著名数学家欧拉创立的，将其中的0取π就得到了 1 欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数：满足x=2,则|x一“ 的最大值为 () B.1 c 学科素养周测评（十一）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十一）数学第2页（共4页） 12.(20分)复数除了代数形式a+bi之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著 (3)在等边△ABC中，B(一1，一1)，A,C均在曲线xy=1上，求△ABC的面积. 名的欧拉公式e=cos0+isi0体现了两种形式之间的联系.利用复数的三角形式进 行乘法运算，我们可以定义旋转变换.根据(a十bi)e=(a十bi)(cos0十isin0)=acos0 一bsin0+(asin0+bcos0)i,我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向 旋转日的变换称为旋转角是8的旋转变换.设点A(α，b)经过旋转角是日的旋转变换得 a'acos 0-bsin 0, 到的点为A'(a',b),且旋转变换的表达式为 曲线的旋转变换也 b'=asin 8++bcos 0. 如此，比如将“对勾”函数y=x十上图象上的每一点绕原点逆时针方向旋转智得到双曲 线 =1. 2(2+1)2(2-1) ()求点（一1，一）经过旋转角是”的旋转变换得到的点的坐标： (2)求曲线xy=1经过旋转角是的旋转变换得到的曲线方程； B 学科素养周测评（十一）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十一）数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2025一2026学年度学科素养周测评（十一）】 数学·平面向量（概念、运算、基本定理及坐标表示）及复数 一、选择题 二、选择题 5(-2-i) B【解因为z三-2《-2C2)=一2-， 7.BD【解析】对于A,令1=1十i,z2=1-i,则 |x1十|x2|=2√2≠|z1十x2|=2,故A错误；对于 所以=一2十i,即乏在复平面内对应的点为（一2， C,令21=1，z2=i,满足z1=|z2|,显然z7≠x, 1),位于第二象限. 故C错误；对于B,令z1=a十bi,之2=m十ni,且 2A【解析】因为b在a上的授衫向量为治c a,b,m,n∈R,则z1=a-bi,z2=m-ni,所 126Q=3a,所以a·b=125. a·b 以之1十之2=(a十m)-(b十n)i=z1十z2,故B正 确；对于D,z=(a十bi)2=a2-b2+2abi<0,则 3.A【解析】由复数的几何意义可得之=x十yi,所 口-办<0可得a0即1为纯虚数，故D 以z-1|=|(x-1)+yil=√x-1)2+y2=1, ab=0, b≠0， 化简可得(x一1)2十y2=1. 正确， 4.C【解析】在平行四边形ABCD中，AB+AD 8.ABD【解析】对于A,由5OA+3OB+2O元=0， =AC,AB-AD=DB,因为AB+AD1= 可得-50A=30B+20心，两边平方，得 AB-AD|,所以|AC|=DB|,所以四边形 251OA12=91OB12+120B·OC+41OC12=9+ ABCD为矩形，又∠BAC=∠CAD,所以四边形 16=25,解得1OA|=1,故A正确；对于B,由 ABCD为正方形，所以四边形ABCD的面积为2 50A+30B+20C=0,可得-20C=50A+30B, 两边平方，得16=25+300A·0元+9，解得OA· ×4×4=8. 5.C【解析】因为a=(5,W5),所以a=√3+5 O丽=名得s∠A0B=故B正痛：对于C 22,由平面向量数量积的定义可得a·b=|a|· 由B可知m∠AOB=手，所以n∠A0C= 1b·c0s于=2b,所以a-612=b2-2a·b十 如(2x-∠A0B-∠BO0)=三，由三角形面积公式 a2=1b|2-4b|+8=(b|-2)2+4≥4，当且仅 当b|=2时等号成立，故a一b|的最小值为2. 可得△40B,△B0C,△C0A的面积分别为三1，， 6.D【解析】设之=x十yi(x,y∈R),则x2十y2= 故△ABC的面积为2，故C错误；对于D,因为 1 4,z-e*-x十yi-cos元-isin元=x十1+yi,所 -0成0成A心--ai,所以+心- 以|之-e|=|x+1+yi=√(x十1)+y2= 8-)+号元-a)=品oi-a+ 。1 （+1)2+1一x2=2x十A，由x十y2= (-d-)-ò故D确 1 1 1 4,可得-2≤x≤2，所以z一e|的最大值为 三、填空题 ,153 9.-2【解析】由题意可得，(1-i)2+a(1一i)+2= 22+4=2 a十2-(a十2)i=0,所以a十2=0，解得a=-2. 1 B 真题密卷 学科素养周测评 10.2√3【解析】延长AG交BC于点D,连接OD, 或1，所以入的值为1. (20分) 作OH⊥AC于，点H,则D,H分别为BC,AC的 12.解：(1)由题可设所求点的坐标为(xy), 中点，如图所示， π cos+√3sim4 则 y=-sin 4 -3 cos 4 故所求点的坐每为。疗 「6+2、 2 .(4分 易知AC·Aò=1AC1AO1cos∠OAC=AC1· (2)设曲线xy=1上任意一点(x,y)经过旋转角 A=专C,月现可得店·Ad=号 是平的旋转变换所得点的坐标为(x',y). 3,由重心性质可知店·0=号市· x=xcos 2 (x-y), 即 A0-号×号店+Ad·Ad-号（脑+A0)· y'=zsin +ycos, 2(x+y), Aò=6(A+AC2)=4,所以Ai2+A衣=24， (7分) 可得(y)2-(x')2=2xy=2, 又ò--3，所以ò-店+AC-3, 厅以所求曲线方程为2一， (10分) 可得1AB+AC|=6,所以AB+AC?=AB2 +AC2+2AB.AC=36,可得AB·AC=6,所以 (3)由题意得点B(-1,-1)在旋转角是不的旋 BC=AC-AB2=AB:+AC*-2AB. 转变换下所得的点为B'(0,一√2)， (11分) AC=12,即BC1=2√3 四、解答题 设A,C在旋转角是T的旋转变换下所得的点分 11.解：(1)由题意得，Z1(0,2),Z2(4,6),则0Z= 别为A'和C'. (0,2),Z1Z2=(4,4), (2分) 设曲线xy=1在旋转角是不的旋转变换下所得 所以OM=λOZ+Z1Z2=入(0,2)+u(4,4)= (4μ，2λ十4). 曲线为M,则由（公可知，M:苦-号-1 又OM⊥Z1Z2,所以OM·Z1Z2=0, 则B是M的下顶点。 即(4,4)·(4μ，2λ+4)=0， 由题知△A'BC'为等边三角形，△A'B'C'的面积 所以入十4=0. (8分) 即为△ABC的面积， 因为OM⊥Z1Z2,所以OM≠0 设△ABC的边长为t(t>0), 所以入与μ的关系为入=一4μ（μ≠0）. (10分) 由双曲线的对称性可知，当A'和C'同在M'的下 (2)若M,Z1,Z2三点共线，则有MZ=tZ1Z2, t∈R且t≠0或-1. 支时：有1(-台-号-). 所以Mò+OZ=t(Z10+OZ2) 代入M的方程，无解； (15分) 即OM=(t+1)0Z-t0Z①. (14分) 由oM=A0Z+uZ1Z, 当A和C同在M的上支时，有A(-台受一)， OM=OZ+(Z0+OZ:), 代入M'的方程得t=26,则△ABC的面积为2 1 即OM=(a-u)OZi+OZ2② (17分) +1=入-“，解得X=1∈R且≠0 X(26)x 2 =6W3 (19分) 由①②知 -t=μ， 综上所述，△ABC的面积为6√3. (20分) B ·2·