周测评(十)函数的应用-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（B版）

把答景受给时间，把行动留给自己 2025一2026学年度学科素养周测评（十） 班级 爸题 数学·函数的应用 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 . a传劉 得分 是符合题目要求的。 c D.(2x,3π) 题号 1 3 6 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 答案 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有迭错的得0分。 1.下列函数中，在区间(0，十∞)上是增函数且存在零点的是 题号 7 8 A.y=e B.y=√E+2 C.y=-logix D.y=(x-2)2 答案 2.“a>3”是“函数f(x)=ax+3在区间(-1,2)内存在零点”的 () 7.已知函数f(x)=x,x∈[-1,1]，g(x)=2x2-1,x∈[-1,1]，则 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A.方程f[g(x门=0无实数解 B.方程f(x)十g(x)=0有且仅有两个解 3.方程sin(一智）=snx一s如营在区间o,2幻内根的个数为 ( C.方程f(x)·g(x)=0有且仅有三个解 A.0 B.1 C.2 D.3 D.方程g[f(x)门=0有且仅有四个解 S-1 4.生物丰富度指数=nN是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中生物 8.半径长为1m的车轮匀速在水平地面上向前滚动（无滑动），轮轴每秒前进2m.运动的 种类数和生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好，如果某河流治理前后的生 车轮着地点为A,若车轮滚动时点A距离地面的高度h(m)关于时间t(s)的函数记为 物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N:,生物丰富度指数由2.85提高到 h=f(t)(t≥0)，则 () 3.8,则 () A.对V≥0，都有ft+2)=fu) A.3N1=4N: B.3N:=4N1 B.h=f(u)在区间[4k,4k+2](k∈N)上为增函数 C.N=N D.NI=N Cf(7.5)=2+ 5.已知函数f(x)=cosx一a(x2十1)，若f(x)在x∈（一1,1）上有唯一的零点，则a= 2 () D.对Ht∈[2,4]，都有f(6-t)+f()=2 A.1 B.2 C.3 D.4 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 6.已知甲、乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是f(x)=cosx(0≤x≤3π)的图 9.若函数)=十，手的图象与直线y=4最少有两个交点，则口的最小值为 象.某日小明和小红分别从甲，乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时， x2+2x+3,x≤0， 小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为(a,b),小红行走轨迹的点记为(c,d),且 10.已知函数f(x)= 若存在实数x1,x:,x1且x1<x2<x,使得 lIn z,z>0, 满足g+c=3m,函数ga)=b-2d,则g(a)的一个单调递减区间为 () f(x:)=f(x2=f(x)=a,则xg(x1十x2十lnx)的最大值为 学科素养周测评（十）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十）数学第2页（共4页】 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 12.(20分)已知函数f(x)=e2-x-2x十a. 11.(20分)某制药厂临床试验一批新药的疗效（α因子是主要成分），根据国家规定：服用 (1)证明：f(x)有两个极值点，且分别在区间（一1,0）和(2,3)上， 新药后100mL血液中a因子含量达到20~79mg认定为有效I级，80mg及以上认 (2)若f(x)有3个零点，求整数a的值. 定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效.经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中 参考数据：e≈4.11，e3≈5.65,3≈1.73，√2≈1.41. :因子的浓度呈线性增长，当其上升到1.2mg/mL时，血液中r因子的浓度将会以每 小时20%的速度减少（函数模型如图）. ↑mgl山 0.3A 0625十2 (1)请写出服用该药后血液中c因子浓度y(单位：mg/mL)随时间x(单位：小时)变化 的关系式. (2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中α因子才能降至无效？（结果取整数）. 参考数据：1g2≈0.30,1g3≈0.48 学科素养周测评（十）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十）数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 2025一2026学年度学科素养周测评（十） 数学·函数的应用 一、选择题 1.C【解析】对于A,因为y=e>0,所以不存在零 单羽道减且y=c0s受∈(-？1)，此时外函数单 点，故A错误；对于B,令y=√元+2=0，解得√元 调道增y=c0s2在（售，2）上单洞递减且y =一2，没有实数解，所以不存在零，点，故B错误； 对于C,令y=一log5x=0,解得x=1,所以零点 c0s2∈(1，-)，此时外画数单羽道减y 为1，又y=-log5x=log2x,所以y=-log影x在 (0,十∞)上为增函数，故C正确；对于D,y= c0s号在(2m,8）上单调通增且y=c0s2∈ (x-2)2在(2，十∞)上单调递增，在（一∞，2)上 单调递减，故D错误. (1,-2),此时外画数单调递减：y=c0s受在 2.A【解析】由f(x)=ax+3在区间(-1,2)内存 在零点，得f(-1)·f(2)=(3-a)(2a十3)<0， (3小上单调递增且y=ms号(2o0小，此 解得a>3或a<号，所以a>3”是“函效f(z) 时外函教单润递增，所以ga)在区间(b,智）， ax十3在区间（一1,2）内存在零点”的充分不必要 条件. (ex,)上单羽适减。 3.D【解折】南题意e）-如- 二、选择题 7.BC【解析】对于A,由题可知f(0)=0,故 =sin z 2,则 2cosx,即sin(x+ f[g(x)]=0等价于g(x)=0,即2x2-1=0,解 》-号可搭十管-号+2刀成+号 得=±要∈【-1，山，故方于[se门=0有 实数解，故A错误；对于B,方程f(x)十g(x)= 3+2kπ（∈ZD,解得x=2km(k∈D或x=交+ 2 3 0,即2x2十x-1=0,故(2x-1)(x+1)=0,解得 2kxk∈D,又z∈0,2，所以x=0或或2元 x=2∈[-1，]，x2=-1∈[-1,1，故B正确；对 S-1 于C,方程f(x)·g(x)=0,即x(2x2-1)=0,解得 In N:2.85 In N2 3 4.C【解析】由题意得5--3,8，即nN- =0或x=士号∈[-1山，放C正确：对于D,周为 In N2 即4lnN2=3lnN1,即lnN经=lnN,即N=N. 5.A【解析】由于f(-x)=cos(-x)-a[(-x)2 8(±号）=0，方程ga门=0￥价于fc) 十1]=cosx-a(x2+1)=f(x),所以f(x)是偶 函数，要使f(x)在x∈（一1,1）上有唯一的零点， 2,解得r=±2∈ 2∈[-1,1，故D错误。 则f(0)=0,即f(0)=1-a=0,解得a=1. 6.A【解析】依题意得b=cosa,d=cosc= 8.BD【解析】因为车轮的半径为1m,则周长为 0a3π， eos8x-2）=-os受，且0 解得 2m,又轮轴每秒前造2m,所以f)的最小正 0<3x-<3， 周期T=2红=4，所以对t≥0，都有f《十4) a 0≤a≤3π，所以g(a)=b-2d=cosa+2cos2= π 2 f(t),故A错误；记车轮运动时着地，点为P,则ts 2os2号+2cos号-1.令t=cos7,则e[-1,11, 时∠A0P=受，所以九=f)=1-c0s8: 国为y=22+21-1在(-1，-号)上单调递减， ≥0)，令2k≤受≤元+2kπ，k∈N,解得4级≤1 在(-上单调递增，又y=c0s号在(6，智）上 ≤2+4k,∈N,所以f(t)在区间[4k,4k+2](k ·17· B 真题密卷 学科素养周测评 ∈N)上为增函数，故B正确；f(3)=1-cos2 π 则当x>1时，y=1.2(1-0.2)x-1=1.2× 0.8x-1, (9分) 1,所以在区间[2,4幻内图象关于(3,1)对称，即对 故所求关系式为y= |1.2x,0≤x≤1， Ht∈[2,4幻，都有f(6-t)+f(t)=2,故D正确； 1.2×0.8x-1,x>1. -1--1号 (10分) 又f(7.5)=1-cos (2)设至少要经过x小时血液中a因子降至无 C错误. 效，即1.2×0.8x-1<0.2, (13分) 整理得0.8-1< 6,两边取对数，得1g0.81< g6_1g3+1g20.48+0.30 lg6则x1g0.81=3lg21-3X0.30 三、填空题 7.8,解得x>8.8, (18分) 4 所以至少要经过9个小时血液中因子才能降至 9.3【解析】由题意f(x)是偶函数，且x2 x2+1 无效. (20分) 12.(1)证明：f(x)=e-x2-2x十a,求导得f(x)= 4 4 =(x2+1)++11≥2√x2+1)·x+1 1 ex-2x-2, 令g(x)=f(x)=e-2x-2,则g'(x)=e-2, 4 =3,当且仅当x2十1= 2+1?即x=士1时等号 (2分) 由g'(x)<0,得x<ln2,g(x)单调递减；由 成立，因为f(x)的图象与直线y=3有两个交点， g'(x)>0,得x>ln2,g(x)单调递增， 所以a的最小值为3. 10.e3【解析】根据题意作出函数y=f(x)的图象 且g(-1)=。>0,go)=-1<0: 如图所示： 所以g(x)在(-1,0)内有且仅有一个零点，设为x1: (5分) 又g(W2)=e5-22-2≈-0.71<0，g(3)= V=3 e5-2W3-2≈0.19>0， =2 -2 所以g(x)在(W2,5)内有且仅有一个零点，设 为x2 (8分) =fx) 当x1<x<x2时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当 x<x1或x>x2时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 由题意可知y=a与y=f(x)有三个交点，则2 所以f(x)有两个极值点，且分别在区间 <a≤3，此时-2≤x1<-1<x2≤0<e2<x3≤ (-1,0)和(W2,3)内. (10分) e3,且x1+x2=-2,所以xa(x1十x2十lnx3)= f(x1)=e1-x-2x1+a>0, (-2十a)e,令g(a)=(-2+a)e(2<a≤3)， (2)解：依题意， f(x2)=e2-x-2x2+a<0, 则g'(a)=(-1十a)e>0恒成立，所以g(a)在 而x)=e-2x-2=0即 e=2x1+2, (2,3]上单调递增，则g(a)的最大值为g(3)= f'(x2)=e2-2x2-2=0, ez=2x2+2, e3,即x3(x1十x2+lnx3)的最大值为e3. (13分) 四、解答题 2x1+2-x1-2x1+a>0, 因此 11.解：(1)开始时，血液中因子的浓度呈线性增长 2x2+2-x3-2x2+a<0, 时，设y=kx十b(k≠0)， 解得 a>x-2, (16分) 0.3=0.25k+b, a<x号-2， 将(0,0)，(0.25,0.3)代入得 0=b, 由x1∈(-1,0)，x2∈(W2,W3),， 解得k=1.2,b=0, 得仁22-1且0为整数，则a=-1或0. 因此y=1.2x; (5分) 0<x2-2<1, 当y=1.2时，x=1,又当a因子浓度上升到 故整数a的值为-1或0. (20分) 1.2mg/mL时，以每小时20%的速度减少， B ·18·