周测评(六)一元函数导数的综合应用-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（B版）

笔尖刻下的不是字，是未来的轮廓 2025一2026学年度学科素养周测评（六） 5.赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如图，分别以OA,O店的方向为 班级 卺题 x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与x轴，y轴均相切，A,B两点 数学·一元函数导数的综合应用 间的曲线可近似看成函数f(x)的图象，f(x)的导函数为f'(x),为了让雨水最快排出， 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 f(E) fx)需要满足螺旋线方程∫'(x)=a√中bf)其中a,b为常数，则 得分 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 答案 1.若函数f(x)满足f(x十1)=(e'一er)sinx,则f'(1)= ( A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 A.0 B.1 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 C.2 D.-1 8 In a 7 Inb 6 In c 6.已知abc∈a,+o),an10'6n,-n12则 ( 2.若1为函数f(x)■(x一1)2(x一a)的极大值点，则实数a的取值范围是 () A.c>b>a B.a>b>c A.(-∞，0) B.(-∞，1) C.b>c>a D.c>a>b C.(1,+o∞) D.(0,1)U(1,+∞) 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 3.已知命题p:Hx∈(0，+oo),e>lnx,则 ( 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 Ap是真命题，p:3x∈(0，十∞)，e≤lnx 题号 7 8 Bp是真命题，p:3x∈(-∞，0)，e≤lnx 答案 C.p是假命题，p:3x∈(0，十o),e≤lnx 7.设函数f(x)=e一e一2x,x∈R,则 () D.p是假命题，7p:3x∈(-∞，0)，e≤lnx A.f(x)是奇函数 B.f(x)在R上是单调函数 4.已知函数f(x)=3x2一21nx+(a一1)x十3在区间(1,2)上有最小值，则实数a的取值 C.f(x)的最小值为1 D.当x>0时，f(x)>0 范围是 () 8.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,函数g(x)=f'(x),对Hx∈R, B(9-10) f(x)=f(6-x),g(4十x)=g(4-x),则 () A.(-3,十∞) A.f(-2)=f(8) B.g(-1)+g(3)=2 c(9-) D.(-10,-3) c骂g)=0 D.f(0)+f(4)=2 学科素养周测评（六）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（六）数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 12(20分尼知fa)=e+4e-ar-5. 9.已知P为函数f(x)=x-3 3x 象上一点，则曲线y=f(x)在P点处切线斜率的最小值 (1)当a=3时，求f(x)的单调区间. 为· (2)若f(x)有两个极值点x1,x:,证明：f(x1）十f(x:)十x1十x2<0 10.在数学建模探究课上，某小组同学将一张矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落 在矩形的左边上（如图所示），其中AB=12cm.若∠FEB=吾，则△FAP的面积 是cm2.随着点P的位置不同，折痕EF的长度在改变，其最小值是cm. 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11.(20分)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”，现代建筑讲究线条感，曲线之 美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f‘(红)是 f(x)的导函数，f”(x)是f'(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率 f"(x) K 1+[f'(x)])F (1)求曲线f(x)=lnx十x在(1,1)处的曲率K,的平方： (2)求余弦曲线h(x)=cosx(x∈R)曲率K:的最大值. 2 学科素养周测评（六）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（六）数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 故e"e"=a,em+e=a+1,即m十n=lna.(14分) 1 1 h(a)-2(a+l):+a-alna-6. 故g(m)+g(n)=- ,(e2m十e2m)+ 当a≥2时，h'(a)=a-lna+l>0,所以h(a)在 (a+1De+e)-a(m+m）-6=- 2[(a+1D2 [2,十∞)上单调递增， 1 -2n2, 所以h(a)的最小值为h(2)=2 -2a]+(a+1)2-alna-6=2a+1)2+a aln a-6, (16分) 即g0m)十8(a)的最小值为号-2h2.(20分) 2025一2026学年度学科素养周测评（六） 数学·一元函数导数的综合应用 一、选择题 6 In c 1.A【解析】由f(x十1)=(e一ez)sinx两边分别 C=n12,所以alna=8ln10,blnb=71n11, 求导，得f'(x+l)=(e十ex)sinx+(e-ex) clnc=6ln12,即f(a)=g(10),f(b)=g(11), cosx,当x=0时，f'(1)=(e°+e)sin0+(e°- e)cos0=0,所以f'(1)=0. f(c)=g2),g(z)=-lnx十-1，显然 2.C【解析】由函数f(x)=(x一1)2(x一a),可得 g'(x)在[10，+∞)上单调递减，g'(x)≤ f'(x)=(x-1)(3x-2a-1),令f'(x)=0,可 g'(10)<0,所以g(x)在[10，十∞)上单调递减， 3,因为x=1是f)的极大 2a+1 所以g(10)>g(11)>g(12),即f(a)>f(b)> 得x=1或x= f(c),又f'(x)=lnx+1,当x>1时，f'(x)> 位点，则清尼20>1，解得a>1,印突数a的取 0,所以f(x)在(1，十∞)上单调递增，所以a> b>c. 值范围为(1，十∞). 二、选择题 3.A【解析】设函数f(x)=e一x(x>0),则 7.ABD【解析】对于A,f(x)的定义域为R,且 f'(x)=e2-1>0,所以f(x)=e2-x在 f(一x)=ex一ex十2x=一f(x),故f(x)为奇 (0,十∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=1,所以 函数，故A正确；对于B,f'(x)=e2十e一2≥ e>x,x>nx,所以命题p:Hx∈(0，十o∞)，e> 2√e·ex一2=0，故f(x)在R上单调递增，故 lnx为真命题.p:3x∈(0，十∞)，e≤lnx. B正确；对于C,由B知，f(x)在R上单调递增，无 D【解折】r)是+a1-C十aa名， 最小值，故C错误；对于D,由B知，f(x)在R上 单调递增，当x>0时，f(x)>f(0)=0,故D 由f(x)在区间(1,2)上有最小值，得f'(x) 正确. 在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函 8.AC【解析】因为f(x)=f(6-x),所以f(x)的 数值为左负右正，令h(x)=6x2+(a-1)x- 图象关于直线x=3对称.令x=一2，得f(-2)= 2,h(0)=-2<0,则h(x)在区间(1,2)上有 f(8),故A正确；因为f(x)=f(6一x),所以 变号零点且在零点两侧的函数值为左负右正， f'(x)=-f'(6-x),即g(x)=一g(6-x),所以 4=(a-1)2+4×6×2>0, g(4+x)=-g(2-x),因为g(4+x)=g(4-x), 因此h(1)=6+a-1-2<0, 解得一10<a 所以g(4-x)=-g(2-x),即g(x+2)=-g(x), h(2)=6×4+2(a-1)-2>0, 所以g(x+4)=-g(x十2)=g(x),则g(x)的 <-3. 一个周期为4.因为f(x)的图象关于直线x=3 5.D【解析】观察图象知，函数f(x)单调递减，即 对称，所以x=3是f(x)的一个极值点，所以 f'(x)<0,于是a<0,又f(x)的图象与y轴相 g(3)=f'(3)=0,所以g(-1)=g(3)=0,则 切，则当x从大于0的方向趋于0时，f'(x)趋于 g（-1)+g(3)=0,故B错误；由g(x+2)= 负无穷大，即1十bf(0)趋于0，又f(0)>0,因此b -g(x),得g(1)+g(3)=0,g(2)+g(4)=0,即 <0.综上，a<0,b<0. 6.B【解析】设f(x)=xlnx(x>1),g(x)= g1)+g2)+g(3)+g④)=0，所以骂g()= 18-x)lnzc≥10)，图为8-ha,7=lhb 506[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)=g(1) a-1n10'b1n11' =0,故C正确；设h(x)=f(x)十c(c为常数)， ·9 B 真题密卷 学科素养周测评 定义域为R,则h'(x)=f'(x)=g(x), cos2x cos2x 则K= (1+sin'z)(2-cos)3, (12分) h(3+x)=f(3+x)+c,h(3-x)=f(3-x)+ c,又f(3+x)=f(3-x),所以h(3十x)= h(3-x),显然h(x)=f(x)十c也满足题设，即 令t=2-cos2x,则t∈1,2，K=2‘ t3 f(x)上下平移均满足题设，显然f(0)+f(4)的 ,则b0=-t-32-0 设p)=2-1 值不确定，故D错误. 三、填空题 2t-6 9.2【解析】由f(x)=3,求号得f'(x)= t4, 3x 当t∈1,2]时，p'(t)<0,p(t)单调递减， 488-》-x+,周为x>0,故士 所以p(t)mx=p(1)=1,即K经最大值为1， 9x2 所以K2的最大值为1. (20分) 2≥2，当且仅当x=士1时等号成立，即当P 2.(1)解：当a=3时，f(x)=-2e十4e-3x-5 点生标为1，-号)或(1，号）时，曲线y=x) 则f'(x)=-e2x+4e2-3=-(e-1)(e2-3), 当e2∈(0,1)U(3,+∞)，即x∈(-∞，0)U 在P点处切线的斜率取得最小值2. In3,+o∞)时，f'(x)<0; 10.83;9√3【解析】设∠FEP=∠FEB=O,EF 当e2∈(1,3)，即x∈(0，ln3)时，f'(x)>0, =l,则FP=BF=lsin0,又因为∠AFP=20,所 故f(x)的单调递减区间为（一∞，0）， 以AF=FP·cos20=lsin0cos20.又由AF+ (n3,十∞)，单调递增区间为(0，ln3).(6分) BF=lsin0cos20+lsin0=12,解得l= (2)证明：f'(x)=一e+4e-a,令t=e,即 sn01十cs20若0=百，则1=16，所以FP 12 f'(x)=-t2+4t-a, 令t1=e1,t2=e?,则t1,t2是方程t2-4t十a= 16sin6=8,所以AF=4,AP=4V3,所以 0的两个正根， 则△=(-4)2-4a=16-4a>0,即a<4, △FAP的面积为4X4v5×2=85em.周为L 有t1+t2=4,tt2=a>0,即0<a<4,(8分) 12 12 则fx:)+f)+x,+x=- 2e21+4e =sin901十cos20,所以1=sin9X2cos9 1 6 sin0X(1-sin0)令y=t-t(0<1<1),则y -ax1-5-2e2+4e-ax?-5+x1+xg =1-3r(0<1<1.当e6,）时y>0y 2)+4(+iz)-(a-1)(t+t2) -10=- 1 [1+2)2-2t2]+4(+t2) 单消诞缩当G停，)小时<0y单调成， a-1ha-10=-号a6-2a)+16- 所以当t= 3时y9,故lmn=9V3cm. (a-1)lna-10=a-(a-1)lna-2,(12分) 四、解答题 要证f(x1)+f(x2)+x1+x2<0,即证a- (a-1)lna-2<0(0<a<4), 11.解：1)因为f)=nx十x,则f'(c)=1+1, 令g(m)=m-(m-1)lnm-2(0<m<4), f 则a)=1-仙0）。-u, 所以K1= |f"(1) y (1+2)25 则gcm)三2-0，则g(m)在(0,4)上 (1+[f'(1)]2) 故K= (112 11 单调递减， 5=53=1251 (8分) 又g'a=}-a1-1>0,g'2)=}-h2×0, (2)因为h(x)=cosx(x∈R),则h'(x)=-sinx, h"(x)=-cosx, 故3mo∈(1,2)，使g′(mo)= 1-1nmo=0,即 m |h"(x)| 所以K2= -cos x (1+h'(x)]2)(1+sin2x)' 1=Inmo (16分) mo B ·10· ·数学· 参考答案及解析 则当m∈(0，mo)时，g'(m)>0;当m∈ (mo,4)时，g'(m)<0, 又m∈，2则m+记∈2，》，故gm) 故g(m)在(0，mo)上单调递增，在(mo,4)上单 1 -3<0, 调递减， mo 则g(m)≤g(mo)=mo-(mo-1)lnmo-2=mo 即g(m)<0,即f(x1)十f(x2)+x1十x2<0. -0m。-1D×-2=m6十 1 (20分) -一3， (18分) mo mo 2025一2026学年度学科素养周测评（七） 数学·三角函数的概念及诱导公式 一、选择题 sin(90°+24.6)=cos24.6°. 1.C【解析】周为A=a0<a<x,B={日9- 6.D【解析】先证明：当a∈(0，）时，sina<a< +2k∈Z,所以AnB= ππ5π tana.如图，角a的终边为OP, 626 2.C【解析】若。为第二象限商，当0-行时，可得 2a-7在第四象限，此时n2a<0,60s2a>0,故 A,B错误当a-3时，可得ina十eosa √2 2 (一会》=0，故D错误：白。为第二象限角可 其中点P为角&的终边与单位圆的交点，PM⊥x 轴，垂足为M,点A为单位圆与x轴正半轴的交 得sina>0,cosa<0,所以sina-cosa>0,故C 点，AT⊥x轴，交角Q的终边于点T,则有向线段 正确. MP为角a的正弦线，有向线段AT为角a的正切 3.A【解析】在△ABC中，若A=石，则sinA= 线，设孤PA长l=aX1=a,由图形可知，S△oAP< 反之，若nA=2且A∈0，，剩A=日或 1 <Sar,即7X0 AXMP<-号×0AX1K 6 1 A-放A=日”是“如A=}”的克分不必要 号×0A×T,所以x0AXna<日×OAXa< 1 条件. 2 XOA X tan a,即sina<a<tana,则sin3< 4.D【解析】因为cosa-sina= 2,所以(cosa 1 6 1 1 tan3,所以b<c.而。=3tan3>3×3=1,所 1 sina)2-⊥，g即12 sin acos a=4,所以sin acos a 以b>a,所以c>b>a. 二、选择题 g,所以sin ac0s。3 3 tan a 3 ina十cosa一8，得i十tana8,解 7.ACD【解析】对于A,am暂-，故A正确；对于 得ana=4十 3或tana=47 3,因为。∈(0， -一5，故B错误；对于C,a(骨+) B,tan 3 0,且cosa-e-分>0，所以u∈b,》,所以 万，故C正确：对于D,am(2x-）=,故D 0<tana<1,所以tana=47 正确， 3 8.BC【解析】对于A,角0的终边经过，点P(xo, 5.D【解析】由题意得，原式=sin2≈sin(2×57.3)= y0),则角0十π的终边经过点P(一x0,一y0),所以 ·11· B