周测评(四)幂函数、指数函数与对数函数-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（B版）

熬过无人问津的寒冬，自有素花似锦的盛夏 2025一2026学年度学科素养周测评（四） x(h)的函数关系式为y=1一0.5x.%,则当其记住的单词仅剩25个时，x≈ 班级 数学·幂函数、指数函数与对数函数 参考数据：1g2≈0.30,1g3≈0.48. 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 A.100 B.300 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 C.1000 D.2000 得分 是符合题日要求的。 6.已知函数fx)=(1-2a-x)(e-1),若fx)≤0恒成立，则ab的最大值为( 题号 2 A 答案 1.已知集合A=xx2-2x≤0)，B={x|1og(x-1)<1},则A∩B= ( c A.[0,2] B.[0,3) 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 C.(-∞，2] D.(1,2] 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 2.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，在区间(0，十∞)上单调递增，且对Hx1,x,均 题号 7 有f(x1xz)=f(x1)f(x:)成立，则下列函数中符合条件的是 () 答案 A.y=In z B.y=z 7.下列命题中，是真命题的有 () C.y=x3 D.y=2 A.3x∈(-∞，0)，3*>2 3.若函数f(x)=1n(x2一a:x)在区间(0,1)上单调递增，则a的取值范围是 () B.Hx∈(0，+0∞)，3r>2 A.[0,+∞) B.(0,1) C.3x∈(0,1)，x3>x C.(-o∞，0] D.(-∞，0) D.Vx∈(1，+co),x2>x 4.若正数a,b满是2+1cga=3+1ogb=lo,a+6).则日+号 ( 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)的图象关于直线y=x对称，且f(x十1)为奇函 A.128 B.108 数，则 () C.2 D.1 A.f(1)+f(0)=2 5.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的 B.f(x)+f(-x)=2 规律.某同学根据自己记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲 C.f(f(x))=x 线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）y与初次记忆经过的时间 D.f(2024)=-2024 学科素养周测评（四）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（四）数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 12.(20分)函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x) 9.已知点(a,27)在幂函数f(x)=(a-2)xm(a,m∈R)的图象上，则a十m= 为奇函数，可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充 n+ln n=3, 要条件是函数y=f(x十m)一n为奇函数.已知函数f(x)=a-1一a-2十2(a>1). 10.已知实数m,m满足 则mn=· l十lnn=e2-hm, (1)证明：f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称图形 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (2)判断f(x)的单调性，若f(2)+f(4一31)<4，求实数t的取值范围. 11.(20分)已知函数f(x)满足f(2x)=log(4x2-8x+m). (1)求f(x)的解析式 (2)若m=8,求f(x)的值域： (3)讨论f(x)的定义域. 学科素养周测评（四）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（四）数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 当x∈[3,4]时，f(x)=x-2∈[1,2]. 在上式中，令b=-1,得f(a)+f(-1)=f(-a), g(x)=mx2-2mx+1(m∈R,m≠0)的对称轴 即对Va∈R且a≠0，f(a)=f(-a)恒成立， 为x=1, 所以f(x)是偶函数， (9分) 若m>0,则g(x)在1,2]上单调递增， 故g(x)∈[g(1),g(2)]=[-m+1,1], （3)对V∈(0，十∞)且<，有>1， (12分) 但[-m+1,1]不会是[1,2]的子集，故舍去； 所以f()>0, (13分) 由2)知f)=f(爱×x)=f()+fc)> 当m<0时，则g(x)在1,2]上单调递减， 故g(x)∈[g(2),g(1)]=[1,-m+1], f(x1), (17分) 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增. (14分) 若[1，-m+1是1,2]的子集，则1<-m+1≤ 又f(2)=1,所以2=1+1=f(2)+f(2)=f(4), 2,解得-1≤m<0, (19分) 所以f(x+2)-f(x-1)<2,即f(x+2)< 综上，m的取值范围是[一1,0). (20分) f(x-1)+2=f(x-1)+f(4)=f(4x-4), 12.解：(1)因为对Hx,y∈R且x|≠|y,f(x+y) 因为f(x)是定义域为(-∞，0)U(0,十∞)的偶 十f(x-y)=f(x2-y2)恒成立， 函数，且在区间(0，十∞)上单调递增， 令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1), 所以原不等式转化为0<|x+2<|4x-4|, 所以f(1)=0, (2分) 解得x<-2或-2<x<号或x>2, 令x=-1,y=0,得f(-1)+f(-1)=f(1)=0, 所以f(-1)=0. (4分) 所以原不等式的解集为(-0，-2)U(-2,)U (2)对任意非零实数a,b,令x=a十b,) 2y= a-b 29 (2,+∞). (20分) 可得f(a)+f(b)=f(ab). 2025一2026学年度学科素养周测评（四） 数学·幂函数、指数函数与对数函数 一、选择题 1.D【解析】因为A=[0,2,B={x|0<x-1<2}= 为正数且单洞递增，因此g0)≥0且号≤0，解得 (1,3),因此，A∩B=(1,2]. a≤0，即a的取值范围是(-∞，0]. 2.B【解析】对于A,y=f(x)=lnx|的定义域为 4.B【解析】令2+log2a=3+log3b=log6(a+b) {xx≠0}，不符合题意，故A错误；对于B,y= =log2 4a =l0gs 276=t,4a =2',276=3',a+b f(x)=|x的定义域为R,且f(-x)= =6,因为2×3=6，所以4a×27b=a+b,所以 |一x=x|=f(x),即f(x)是定义域为R的 偶函数，当x>0时，f(x)=x,则f(x)在 (0,十∞)上单调递增，又f(x1x2)=|x1x2= |x1|x2=f(x1)f(x2),符合题意，故B正 5.C【解标】根据题意得=1一0.5r,娄理得 确；对于C,y=x3为奇函数，不符合题意，故C 所以0.08lgx=lg2中0.06gx- 到x0.6=3 错误；对于D,y=f(x)=211,则f(x1)f(x2) =2122=2x11+1x2≠f(x1x2),不符合题 1g3-1g2,又1g2≈0.30，lg3≈0.48，所以1gx 意，故D错误. ≈0.48-0.30_0：18=3，得到z≈100. 0.060.06 3.C【解析】函数y=lnx在(0，十∞)上单调递增， 6.C【解析】令1-2a-x=0,解得x=1-2a.令 而f(x)=ln(x2-ax)在(0，l)上单调递增，则有 8)=-a=(-）°-在区间0，D上征 e-1=0,解得z-名当1-2a> 2时，x∈ (台，1-2a),则1-2a-x>0,e-片-1>0，不符 ·5· B 真题密卷 学科素养周测评 合题意；当1-2a<合时，x∈(-2a,）,则1 f(-x+1)=0,得f(x+2)+f(-x)=0,而 f(x)十f(-x)=2,则f(x十2)-f(x)=-2,因 2a-x<0,e2--1<0,不符合题意，所以1 此f(2024)=f(2024)-f(2022)+f(2022) f(2020)+…+f(4)-f(2)+f(2)-f(0)+f(0) 2a=2,即6=2-4a,则ab=a2-a)= =-2×1012+1=-2023,故D错误. 46=1时等号成 三、填空题 9.6【解析】由题意口一2解得a3故a十m 立，故b的最大值为 am=27, m=3, =6. 二、选择题 10.e2【解析】由1十lnm=e2-am,可得1十lnm= 7.BD【解析】在同一坐标系内画出函数y=3与 e3-1+am》,由n十lnn=3得n=e3-".记g(x)= y=2的图象，如图所示. x一e3x,因为y=e在R上单调递增，t=3-x y个=3 在R上单调递减，根据复合函数性质可知y e3-x在R上单调递减，所以g(x)=x一e3-在 R上单调递增.由n=e3-m可得g(n)=n-e3-" =0,又g(1+lnm)=1+lnm-e3-1+m=0, 因此1+lnm=n,由n十lnn=3可得lnn=3- 0 衣 n,所以lnn十lnm=(3-n)+(n-1)=2,可得 显然当x∈（一∞，0）时，y=2的图象始终在y= mn=e2. 3x的图象的上方，故A错误；当x∈(0，十∞)时， 四、解答题 y=2的图象始终在y=3x的图象的下方，即对 Hx∈(0，十∞)，3>2，故B正确； 1.解：(1)令2z=,则x= 在同一坐标系内画出函数y=x3与y=x立的图 象，如图所示 则f)=log4(台)°-8x号+m-l1og2- 4t+m), 所以f(x)=log2(x2-4x十m). (5分) y=x3 (2)若m=8,则f(x)=log号(x2-4x+8), 令u=x2-4x+8=(x-2)2+4≥4，当且仅当x =2时，u取得最小值，最小值为4. 因为y=l1og号u(u≥4)为减函数，所以log;u 当x∈(0,1)时，函数y=x言的图象始终在y=x ≤log号4=-2，故f(x)的值域为(-∞，-2]. 的图象的上方，即x>x3恒成立，故C错误； (12分) (3)f(x)=log2[(x-2)2+m-4]. 当x∈(1，十∞)时，函数y=x3的图象始终在y= 当m=4时，f(x)=1og5(x-2)2,则f(x)的定 x豆的图象的上方，即x3>x言恒成立，故D正确. 义域为(-∞，2)U(2,+∞)； (14分) 8.BC【解析】对于A,由f(x十1)为奇函数，得 当m>4时，(x-2)2+m-4>0,则f(x)的定 f(x+1)+f(-x+1)=0,则f(1)=0,由f(x) 义域为R; (16分) 的图象关于直线y=x对称，得f(0)=1,因此f(1) 当m<4时，由(x-2)2+m-4>0,得x<2 +f(0)=1,故A错误；对于C,点(x,f(x)关于 √4-m或x>2+√4-m, y=x的对称点是(f(x),x),由f(x)的图象关于 y=x对称，得点(f(x),x)在f(x)的图象上，即 所以f(x)的定义域为(-o∞，2-√4一m)U(2 f(f(x)=x,故C正确；对于B,由A得f(x十 +√4-m,十∞). (18分) 1)十f(-x+1)=0,则f(2-f(x)+f(f(x)= 综上，当m>4时，f(x)的定义域为R; 0,于是f(2-f(x)=-x,即点(2-f(x),-x) 当m≤4时，f(x)的定义域为（一∞，2一 在f(x)的图象上，则点（一x,2-f(x)在f(x) √/4-m)U(2+√4-m,+∞). (20分) 的图象上，因此f(-x)=2-f(x),即f(x)十 12.(1)证明：令g(x)-f(x+1)-2=a-ax,定 f(-x)=2,故B正确；对于D,由f(x十1)十 义域为R, ·6 ·数学· 参考答案及解析 则g(-x)=ax-a”=-(a-ax)=一g(x), 故g(x)=ax-a=a2- 故g(x)为奇函数， 为定义玻内的精 因此f(x+1)一2为奇函数，故f(x)的图象关 函数， (11分) 于点(1,2)成中心对称图形 (7分) 由于f(x)=g(x-1)+2,f(t2)+f(4-3t)< (2)解：由于Q>1,y=a,y=-二均为R上的 4,可得g(t2-1)+2+g(3-3t)+2<4, a* 即g(t2-1)<-g(3-3t)=g(3t-3), 增函数， 故t2-1<3t-3,解得1<t<2. (20分) 2025一2026学年度学科素养周测评（五） 数学·一元函数导数及初步应用 一、选择题 件，故D错误。 1.B【解析】因为△，=2+△t十2十△ 1 5.D【解析】函数f(x)的图象上存在关于y轴对 -2-2 称的两点，则y=x+2与y=ln(a-x)在x<0 △t △s 1 422+A),所以 2(2+△)，所以在t= 上有交点，即x十2=ln(a-x)在x<0上有解，可 转化为a=x十e+2在（一∞，0）上有解.令g(x)= △s 2时的眸时速度为m立四1 1 x十e+2,x∈(-o∞，0)，则g'(x)=1十e+2>0,故 2(2+△t)] 1- g(x)在(-∞，0)上单调递增，所以g(x)<g(0)= e,且当x→-∞时，g(x)→一∞，所以g(x)∈ 2.B【解析】根据极值点的定义，由x。是函数y= (-∞，e2),则a<e2,又a-x>0恒成立，即a>x, f(x)的一个极值点可得f'(x)=0,但是当 x∈(-∞，0)，则a≥0，所以0≤a<e. f'(xo)=0时，x。不一定是函数y=f(x)的一 6.C【解析】设直线y=kx与曲线y=e2x相切，切 个极值点，如f(x)=x3,f′(x)=3x2,满足 点为(xo,y0).y'=2e24,则k=2e2o,e20-y0= f'(0)=0,但f(x)=x3在R上单调递增，即x= 0不是f(x)的极值，点，故“∫'(xo)=0”是“x0是函 kx。=2e2x。·x0,解得x。三2，所以=2e,所以切 数y=f(x)的一个极值点”的必要不充分条件. 3.B【解析】对于A,C,函数y=x2-lnx|的定义 点为（分），故将曲线y=e2绕坐标原点顺时针 域为(-∞，0)U(0,十∞)，故排除A,C;对于B, 旋转0后第一次与x轴相切，则tan0==2e D,当x>1时，y=x-lnx,则y=2z2-1 >0, x 二、选择题 故函数y=x2一lnx在(1，十∞)上单调递增，故 排除D,而B符合题意， 7.ACD【解析】对于A,因为a2+6≥2ab=分，当 4.C【解析】对于A,令x1=一元，x2=一2π，则 f(x1)十f(x2)=-3π，2x1十2x2=一6π，不满足条 且仅当a=6=时学号成立，故A正确；对于B。 件，故A错误；对于B,令x1=0,x2=1,则f(x1)十 f(x2)=3,2x1十2x2=2,不满足条件，故B错误；对 ga≥2√ga6- 6 4, ,当且仅当6=}a=3 34时 于C,令g(x)=2ln(x十1)-2x(x>-1),求导得 等号成立，故B错误；对于C,十1≥2 1 )=异-2=行当-1<<0时， a+6≥2√6=4， g'(x)>0,g(x)在(-1,0)上单调递增；当x>0 当且仅当a=6=2时等号成立，故C正确；对于D, 时，g'(x)<0,g(x)在(0，十∞)上单调递减，所以 g(x)≤g(0),即2ln(x+1)-2x≤2ln(0+1)-2 。+6=a+a设fa)=a+品则了a)= X0=0,所以2ln(x+1)≤2x,即f(x)= 8a3-1 2ln(x+1)≤2x,所以f(x1)+f(x2)≤2x1+ a,当0<a<号时，fa)<0;当2<a<1 2x2,满足条件，故C正确；对于D,令x1=0,x2= 3,则f(x1)十f(x2)=9,2x1十2x2=6,不满足条 时，fa)>0,数fa)在(0，)上单明通减，在 ·7 B