周测评(二十四)概率-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（A版）

概率由天定，满分由我争 密真 2025一2026学年度学科素养周测评（二十四） 6.有6个质地形状相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中随机有放回的取两个球，每 班级 卺题 次取一个球，事件M=“第一次取出的球标的数字为奇数”，事件N=“第二次取出的球 数学·概率 标的数字为偶数”，事件S=“两次取出的球标的数字之和为5”，事件T=“两次取出的 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 球标的数字之和为6”，则 () A.M与N互斥 B.S与T相互独立 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 C.M与N相互独立 D.M与S互斥 得分 是符合题目要求的。 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 题号 2 4 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 答案 题号 7 8 1.一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充 容案 分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，经过足够多次的重复摸球后发现， 7.某冷饮店为了保证顾客能买到当天制作的双皮奶，同时尽量诚少滞销，统计了30天的 摸到黑球的频率稳定在0.1左右，据此可以估计盒子中红球的个数约为 () 销售情况，得到如表所示的数据，用样本估计总体，用频率代替概率，则 () A.40 B.45 C.50 D.55 日销售量/杯[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75] 2.从一个容量为m(m≥3，m∈N)的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随机抽 天数 4 6 9 6 样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则当选取分层随机抽样方法 A.估计平均每天销售50杯双皮奶（同一组区间以中点值为代表） 抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是 () B若当天准备55杯双皮奶，则售馨的概率为 0 A号 B月 c C.若当天准备45杯双皮奶，则卖不完的概率为3 3.已知古典概型的样本空间0=(1,2,3,4}，事件A={1,2},若甲：事件B=2,乙：事件 D.这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65 A,B相互独立，则甲是乙的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 8,对于随机事件A,B,若P(A)= 5P(B)=3 (BIA)-1. 则 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A.P(AB)=20 BPAB)-号 4若随机事件A发生的概率为号，随机事件B发生的概率为号，则事件A,B同时爱生的 C.P(A+B)-10 9 .1 D.P(AB)=2 概率的取值范围是 () 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 A[别 B[品剖 9.用0与1两个数字随机填入如图所示的3个格子里，每个格子填一个数字.若从左到右 数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为一· c[品1 n[层] 5.现有5个正整数x1,x2,x8x4,x5,若这组数据的和为10，方差为0,4，从这组数据中随 10.一个正八面体的八个面分别标有数字1,2，…，8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它 机取1个数，则该数超过众数的概率为 与地面接触的面上的数字.事件A=(2,4,6,8},事件B=(5,6,7,8},若事件C满足 B号 c P(ABC)=P(A)P(B)P(C),P(BC)≠P(B)P(C),则满足条件的事件C的个数为 D.s 学科素养周测评（二十四）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（二十四）数学第2页（共4页） A 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 12.(20分)甲、乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积 11,(20分)从甲、乙两名同学中选派一人代表班级参加学校活动，制定如下规则：将大小、 1分，答错不得分，然后换对方抽题作答，甲，乙两人各完成一次答题记为一轮比赛，比 材质相同的1个红球和2个黑球放人抽签箱中，由班长随机摸出2个球，若颜色相同， 赛过程中，领先2分者立即晋级，比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）.已知甲答对题 则甲得1分：若颜色不同，则乙得1分，每次摸球记录结果后将小球放回，重新摸取，首 先得3分的一人将被选派. 目的概率为行，乙答对愿目的概率为P,甲，乙两人答对与否相互独立，抽签决定首次答 (1)求每次摸球甲得分的概率。 题方，已知第一轮答题后甲，乙两人各积1分的概率为行记比赛结束时甲，乙两人答题 (2)现有两个方案：①增加1个红球：②增加1个黑球.为了使选派结果更加公平，应选 的总次数为n(n≥2) 择哪个方案？ (1)求p; (2)求在n=4的情况下，甲晋级的概率； (3)由于比赛时长关系，比赛答题不能超过3轮，若超过3轮没有晋级者，则择期再进行 比赛，求甲在3轮比赛之内成功晋级的概率。 学科素养周测评（二十四）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（二十四）数学第4页（共4页）真题密卷 学科素养周测评 又因为n=200-m,所以160≥2√mn=2· 所以甲分类器的ROC曲线与x轴、直线x=1所 √m(200-m),即m2-200m十6400≥0， 围封闭图形的面积为32： ,21 (11分) 解得m≤40或m≥160， 又因为1≤n≤m≤200且m+n=200,所以160 0.9 ≤m≤199，所以实数m的最小值为160. 解 5 (20分) 0.6 12.解：(1)当概率阈值为0.47时， 0.3 ROC曲线 真正例为2,5,8，假反例为1，假正例为4,6，真反 例为3,7， 0.5 则n1=3,n2=1,n3=2,n4=2. (2分) 假正例率 图b甲分类器的ROC曲线 所以横坐标p2= n321 n3十n42+22’ 作出如图c所示的辅助线，同理可得所求面积为 m1=3=3 1×5- 27 (14分) 纵坐标1一， n1十n23+14, (4分) 故当概率阈值为0.47时，甲分类器的ROC曲线 y 0.9 中的对应点为(0.5,0.75). (6分) (2)乙分类器对应的ROC曲线如图a所示 y 0.3 0.9 ·-ROC曲线 0.6 0.5 1x 假正例率 0.3 ·-ROC曲线 图c乙分类器的ROC曲线 0.5 所以乙分类器的ROC曲线与x轴、直线x=1所 假正例率 图a乙分类器的ROC曲线 周封闭图形的面积为品 (15分) 由题意可得，甲、乙分类器的ROC曲线都经过 (3)乙分类器的预测效果更好. (0,0),(1,1), 由(2)可知，乙分类器的ROC曲线与x轴、直线 作出如图b所示的辅助线，每个小直角三角形的 x=1所围封闭图形的面积较甲的大些，故可认 .1111 面积都等于2×4X4=321 为乙分类器的预测效果更好. (17分) 充要条件：所有真实属性为正例的样例的预测正 大直角三角形的面积等于2，故所求面积为号十 1 例概率的最小值大于所有真实属性为反例的样 例的预测正例概率的最大值. (20分) 品×5-品 1 (9分) 2025一2026学年度学科素养周测评（二十四） 数学·概率 一、选择题 3.A【解析】若B=2,A∩B={1,2},则P(A∩B) 1.B【解析】设红球的个数为a,由题意可得 5 号，而PA)-P(B)=1,所以PA)P(B) a十5=0.1，解得a=45. P(A∩B),所以事件A,B相互独立，充分性成立； 2.A【解析】因为随机抽样每个个体被抽到的概率 相等，所以选取分层抽样抽取样本时，总体中每个 若B=1,3,AnB-1,此时P(AnB)-是 个体被抽中的概率仍为方· P(A)=P(B)=号，满足P(A)·PB)=P(An ·36· ·数学· 参考答案及解析 B),事件A,B相互独立，所以B=不一定成立， 二、选择题 必要性不成立，所以甲是乙的充分不必要条件. 7.BCD【解析】对于A,平均每天双皮奶的销售量为 4.C【解析】饺题高，P(A)=台，P(B)=亏，由 30×4+40×6+50X9+60×5+70X6=51杯，故 30 P(A十B)=P(A)十P(B)-P(AB)≤1，得 A错误；对于B,日销售量不小于55杯的概率为 7 P(AB)2≥P(A)+PB)-1=5+3-1=53 5+611 30 一30，故B正确；对于C,日销售量小于45杯的 P(A)>P(B),则当B二A时，P(AB)=P(B)= 概率为4十6一，故C正确对于D,1一30=0.8，因 3,所以事件A,B同时发生的概率的取值范围是 此这30天双皮奶日销售量的80%分位数是65，故 「727 D正确. 15'3」 5.A【解析】由题意可知x1十x2十x3十x4十x5= 8.BCD【解析】对于A,因为P(B1A)=PAB) P4),所 10,设平均数为，方差为，则云-吕-2，则 以PCAB)=PAP(BA)-号X0放A特 s2=号[x1-22+x:-22+(x:-22+(4 1 2)2+(x5-2)2]=0.4,即(x1-2)2+(x2-2)2 误；对于B,P(AIB)=P(AB)_101 P(B) 3=6,故B正 十(x3一2)2十(x4-2)2十(x5一2)2=2，整理得 5 x2十x号十x十x十x号=22，显然最大的数不可能为 确；对于C,因为P(A十B)=P(A)十P(B)一 5;若最大的数为4，剩余的四个数均为1，此时42十 nA-号-8-0-0故C五项：对于D 12+12十12+12=20，不符合要求；若最大的数为4， 剩余的四个数分别为1,1,1,2，此时4+12+12+ P(B)=P(A)·P(B|A)+P(A)·P(B|A),即 12十22=23，不符合要求，故该组数据中最大的数不 -号x}+P(BA)所以PBA=号 5=5X4 可能大于等于4，且这5个数也不可能都是2，经验 证，1,1,2,3,3也不符合要求，则这5个数只可能是 所以P(AB)=P(A)·P(BA)=3X5-1 5×6=2 3,2,2,2,1,其众数为2，所以从这组数据中随机取1 故D正确 个数，该数超过众数的概率为 三、填空题 3 6.C【解析】如表所示为对应（第一次，第二次）取出 9.8【解析】基本事件的总数为2=8，由题意，1 球标的数字， 的个数为2或3，且0不能在第一个格子，所以满 1 2 3 4 5 6 足条件的基本事件有(1,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)， 1 (1,1)(1,2) (1,3)(1,4)(1,5)(1,6) 共3种，所以概率P=3 2 (2,1)(2,2) (2,3)(2,4) (2,5)(2,6)》 8 3 (3,1)(3,2) 10.16【解析】样本空间2={1,2,3,4,5,6,7,8}， (3,3)(3,4) (3,5)(3,6) 4 (4,1)(4,2) (4,3)(4,4) (4,5)(4,6) 可得P(A)-安P(B)-日即P(ABC) 5 (5,1)(5,2) (5,3)(5,4) (5,5)(5,6) 6 (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) P(C),P(BC)≠ 2P(C),从而n(C)= 由题设及表格可知，M和N和S三者均可以同时 4n(ABC)且n(C)≠2n(BC).由n(C)≠2n(BC), 发生，如(1,4)，故它们均不互斥，故A,D错误；由上 可得事件C≠☑，又因为n(AB)=2,所以 .5 n(ABC)=1或2.(1)若n(ABC)=2,则n(C)= 表知PM)=PN)= 2,P(S)=1」 9P(T)=36: 8,即C={1,2,3,4,5,6,7,8},BC={5,6,7,8}, 此时不满足n(C)≠2n(BC);(2)若n(ABC)= PMN)=4,P(ST)=0,所以P(MN)=P(M)· 1,则n(C)=4,n(BC)≠2且BC≠，又因为 P(N),P(ST)≠P(S)P(T),故M与N相互独 AB={6,8},所以ABC={6}或ABC={8},即 立，S与T不相互独立，故B错误，C正确. n(BC)=1或3.①若n(BC)=1,ABC={6},此 ·37· A 真题密卷 学科素养周测评 时C={1,2,3,6}或C={1,2,4,6}或C={1,3, P(AB)= 1、1、1、,1、.11 4,6}或C={2,3,4,6},也就是从事件{1,2,3,4} 2×2×3X2×3=72 中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本 点，即有C=4个满足条件的事件C；②若 P(AB)721 则P(A|B)= (10分) P(B) 551 n(BC)=1,ABC={8},同理有4个满足条件的 72 事件C;③若n(BC)=3,ABC={6},此时C= (3)若甲在3轮比赛之内成功晋级，则两人的答 {1,5,6,7}或C={2,5,6,7}或C={3,5,6,7}或 题总次数n可能为3,4,5,6， C={4,5,6,7},即从事件{1,2,3,4}的四个样本 设这四个事件分别为C,D,E,F, 点中选1个，再加入5,6,7这三个样本点，即有4 若n=3,则甲先答题，两人答题情况一定为： 个满足条件的事件C;④若n(BC)=3,ABC= 甲对，乙错，甲对， {8},同理有4个满足条件的事件C.综上，满足 条件的事件C共有4×4=16个. (12分) 四、解答题 若n=4,则乙先答题，两人答题情况一定为： 11.解：(1)设甲得分为事件C,则P(C)= C?1 乙错，甲对，乙错，甲对， C3 1、 11 (5分) 则PaD)=×号××2×：13分 (2)设甲得分为事件A,乙得分为事件B, 若n=5,则甲先答题，两人答题情况可能为： 方案①：每次摸球甲得分的概率为P(A)= 甲错，乙错，甲对，乙错，甲对； C+C号_1 甲对，乙错，甲错，乙错，甲对； C 3 甲对，乙对，甲对，乙错，甲对， 每次摸球乙得分的概率为P(B)= CC2 2 1 1 1 C￥-3 3 故方案①不公平. (12分) 2.1、,1,1、 1 1 1 方案②：每次摸球甲得分的概率为P(A)= C%1 2×3×2×3+2×3×2×3×2× C-2' 15 CC 1 32161 (15分) 每次摸球乙得分的概率为P(B)= C2， 若n=6,则乙先答题，两人答题情况可能为： 故方案②公平. (19分) 乙错，甲对，乙错，甲错，乙错，甲对； 综上，为了使选派结果更加公平，应选择方案②， 乙错，甲错，乙错，甲对，乙错，甲对； (20分) 乙错，甲对，乙对，甲对，乙错，甲对； 1 12.解：(1)由题意可得3力=6，即p=2 (4分) 乙对，甲对，乙错，甲对，乙错，甲对， (2)当n=4时，甲、乙两人各答两题，由于比赛 结束， 故有一人两题全对，另一人两题全错， 且第四题答题人必须答对才能结束， 11111111×☒ 故当n=4时，后答题的人晋级. (6分) X3×2X3+2×2×3X豆X3 (例：若甲先答题，若甲对，乙错，甲对，此时比赛 11 结束，不符合要求) 3-721 (18分) 设甲晋级为事件A,n=4为事件B, 故甲在3轮比赛之内成功晋级的概率P= 36+ 1,5,117 72+216+72-216 (20分) 1、15 2×3-72 A ·38·