周测评(二十)双曲线与抛物线-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（A版）

考场地战场，笔作剑，心为盾 2025一2026学年度学科素养周测评（二十） 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 班级 卺题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 数学·双曲线与抛物线 题号 7 8 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 答案 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 7.已知双曲线E:x2一y2=4的左、右焦点分别为F,,F2,右支上有点M,△F,MF:的面 得分 是符合题目要求的。 积为4，则 () 题号 1 2 3 4 5 6 A.E的渐近线的斜率为士1 答案 B.MF-MF:=2 C.∠FMF2=90 1.已知双曲线 E- 方厅=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为，3x-y=0,则该双曲线的离 D.△FMF,外接圆的半径为2② 心率为 () 8.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C:y=2px A.2 B.3 C.2 D.5 (p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270后所得三条曲线与C围成（图中阴影区 2.已知点M(1,2)为抛物线E:y2=2px上一点，则点M到E的焦点的距离为() 域)，A,B为C与其中两条曲线的交点，若p=2,则 () A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知点A(4,4)在抛物线x=2py(p>0)上，点B(0,3),若点P是抛物线上的动点，则 IPB|的最小值为 () A.8 B.2② C.9 D.3 4我们初中所学的反比例函数图象其实是一种典型的双曲线者公)-士则：)图象 A.开口向上的抛物线的方程为y=4x B.1AB|=8 的焦距为 () C.直线x十y=t截第一象限花瓣的弦长的最大值为2 A.22 B.2 C.4 D.42 D.阴影区域的而积不大于32 5.已知抛物线C:x2=12y的焦点为F,点P是C上的一点，点M(1,2),则△PMF周长 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 的最小值是 () A.4+2 B.4+22 C.5+2 D.5+22 ®关于双曲线C,号-片二1(a>0,b>0),四位同学给出了四个说法 小明：双曲线C的实轴长为8；小红：双曲线C的焦点到新近线的距离为3： 6.已知双曲线C:了一y=1的右焦点为F,过原点0的直线与C交于P,Q两点，若PF 小强：双曲线C的离心率为：小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1. ⊥QF,则△PFQ的面积为 () 若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是 (横线上填“小明”、 A号 B.1 c D.2 “小红”、“小强”或“小同”)。 学科素养周测评（二十）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（二十）数学第2页（共4页） A 10.已知A,B为抛物线y=4x上两点，∠A0B=不，F为焦点，0为坐标原点，A在第一 12.(20分)已知双曲线n. a一京=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为1，右顶点到 象限，且点A的以坐标大于点B的版全标，若二子号则点A的坐标为 点P(1,1)的距离为√2.动圆P(点P为圆心)与2交于四个不同的点A,B,C,D,且直 线AC,AD的斜率分别为k1,k. 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (1)求n的方程 11.(20分)已知A(6,m+2),B(24,m十8)是抛物线C:y=2px(p>1)上的两点. (2)设直线AB:y=x十m. (1)求C的准线方程， (1)判断点(2k,m)是否在双曲线x2-y2=1上，并说明理由. (2)若直线y=kx十1(k≠0)经过C的焦点，且与C交于P,Q两点，求PQ|十k2的最 (i)若k=4,求直线AB的一般式方程. 小值. (m)试间kkk2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由. A 学科素养周测评（二十）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（二十）数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 2025一2026学年度学科素养周测评（二十） 数学·双曲线与抛物线 一、选择题 |PM+|PP'|+√2≥|MP'|+√2≥5+√2，当且 1.C【解析】由题意得，双曲线的焦点在x轴上， 仅当M,P,P'三点共线时取得最小值，故△PMF 白=5，则双曲线的离心率e= a2+b2 a-v 周长的最小值是5+√2. a2 6.B【解析】由题意得a=√5，b=1,c=2,设左焦 +(T-1+-2. 点为F1,连接PF1,QF1,又PF⊥QF,P,Q关于 原点0对称，所以|PQ|=2|OF|=2c=4,由双曲 2.B【解析】因为点M(1,2)为E:y2=2px上一 点，所以2p=4,解得p=2,设，点M到E的焦，点 线的对称性可得|QF|=|PF,|,由双曲线的定义可 的距离为d,则由抛物线的定义得d=2. 得IIPF|-|PFI川=2a=23,所以|PF|-|QFI|= 3.B【解析】因为点A(4,4)在抛物线上，所以42= 23,即|PF2+|QF12-2IPF1IQF|=12,又PF2+ 2p·4,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y, QF2=|PQ2=16,所以IPF||QF|=2,所以 设P(xo,yo),由于P在抛物线上，故x日=4yo 则|PB2=x8+(yo-3)2=x+y一6y0+9= △PFQ的面家为S=号PFHIQF1-=1, y-2y0+9=(y0-1)2+8≥8，所以|PB|的最小 值为2√2 4,C【解桥】在同一坐标系内作出y=和y=x的 图象，它们的交点分别为A,B,联立y=币和y=, 二、选择题 Aa.8C-1- 7.ACD【解析】由题意得，E:4-=1,所以a 以AB|=√1+1)2+(1+1)严=2√2，根据双曲线的 2,b=2,c=2W2,|F1F2|=2c=4√2，F1(-22, 定义可知，实轴长为|AB|=2a=2√2，即a=√2， 0),F2(2√2,0)，则E的渐近线方程为y=士x,即 又g(x)的渐近线是两坐标轴，它们互相垂直，所 斜率为士1，故A正确； 以g(x)是等轴双曲线，即b=√2，所以c2=a2十 由双曲线的定义可得|MF1|一|MF2|=2a=4,故 B错误； b2=(W2)2+(2)2=4,所以g(x)的焦距为2c=4. 不妨设M(xoyo)(x0,yo>0),因为△F1MF2的面 V=Y 积为4，所以Sag,=号F,F·=号×4E ×yo=4,解得y0=√2，又x8-y=4,故x0=√6， 故M(W6,W2),所以MF1=(-2√2-√6，-√2)， MF2=(22-√6，-√2)，则MF1·MF2=(-22 5.C【解析】由题知F(0,3),准线方程为y=一3， √6)(22-√6)+(-√2)2=0，所以MF⊥MF2, 过点P作直线y=一3的垂线，垂足为P', 即∠F1MF2=90°，故C正确； 因为O为F1F2的中点，∠FMF2=90°，所以O 为△FMF2外接圆的圆心，所以△F,MF2的外 接圆半径为|OF1|=c=2√2，故D正确. 8.BCD【解析】对于A,由题意得，C:y2=4x,顶点 在原点，焦点为F1(1,0),将其逆时针旋转90°后 得到的抛物线开口向上，焦点为F2(0,1),则其方 由抛物线的定义知|PF|=|PP'|,又|MF| 1 √12+(2-3)z=√2，所以|PM+|PF|+|MF|= 程为x2=4y,即y= 4x,故A错误； ·27· A 真题密卷 学科素养周测评 三、填空题 对于B,根据A的分析，联立 y2=4x’解得x=0 x2=4y, 9.小强【解析】假设小明的说法正确，则2a=8,即 或x=4,即xA=4,代入可得yA=4,由图象的对 x2 称性可得A(4,4),B(4,一4)，则|AB=8,故B a=4,又小红说法正确，则6=3，此时C:1 正确； y2 对于C, 0=1,则c=a2士中b=5,C的离心率为名，C上 的点到焦点距离的最小值为c一a=1.故小明、小 红、小同的说法正确，小强的说法错误 10.(36,12)【解析】设A(a2,2a),B(b2,2b),a> 0,则0m-，k-，结合抛物线的定义得 2 二一（侣查A,B位千：轴的两州时。 设直线y=x十m1与抛物线y2=4x相切，联立 tan∠AOx=koA,tan∠BOx=-koB(b<0),由 y=工十m1'整理得y2-4十4m1=0,由△= kOA一koB- an∠AOB=tam(∠AQx+∠B0x)=1+kaA·koe y2=4x, 16-16m1=0,可得m1=1,则方程y2一4y+ 4m1=0即为y2-4y+4=0,解得y=2,x=1,即 1,整理得2。 -8,所以4-2a一a2 切点坐标为(1,2)，设直线y=x十m2与抛物线 62+1 b=4+2a =4y相切，联立工十m'整理得r一4红 x2=4y, 0,将以号-（云}-是所以 4m2=0,由△=16十16m2=0,可得m2=一1，则方程 x2-4x-4m2=0即为x2-4x+4=0,解得x=2, 2-一解得a=6(负位合)，此时A36 4+2a y=1,即切点坐标为(2,1)，两切点连线的斜率为 2a-a23 2-1一1，即切点的连线与直线x十y=1平行或重 1-2 12),当A,B位于x轴同倒侧时，4+20=2，方程 无解.综上，点A的坐标为(36,12) 合，故当交点为M(1,2),N(2,1)时，弦长MN|取最 四、解答题 大值，且最大值为|MN|=√(1-2)2+(2-1)=√2， 1(m+2)2=12p, 11.解：(1)由题意得 故C正确； 1(m+8)2=48p, 对于D,根据对称性可知，每个象限花瓣的形状大 则，m+8) (m十2)=4，整理得m2=16,解得m=士4. 小相同且有对称轴，故可以先求号部分面积的近 (5分) 似值，如图，对通数y=子x求导得= 2x,则 当m=-4时，12p=(m+2)2=4,解得力=子 抛物线y= 1,不符合题意； (7分) 4x在点A(4,4)处切线的斜率为2 当m=4时，12p=(m+2)2=36,解得p=3>1, ×4=2,切线方程为y一4=2(x一4)，即y=2x- 符合题意， (9分) 4,该切线交x轴于点E(2,0),所以半个花瓣的面 故C的准线方程为x=一 2 (10分) 1 积必小于S△0E=2X2X4=4,故图中阴影区城 的面积必小于8S△A0E=8X4=32,故D正确. （2)由(1)蜘，C的焦点为(o）,设P(z19 Q(x2y2), y2=6x, 联立 得k2x2-(3k2+6)x+ 462=0. A ·28· ·数学· 参考答案及解析 则x1十x2=3张十6 2, (14分) 整理得4k3+4k2+(5m-1)k一1=0， 所以PQ=x1+x,十p=3张：+6 8=6, 当k=4时，m=一 6,满足4k2一m2<1 2 所以当=4时，直线AB的一般式方程为 (16分) 16x-4y-63=0. (14分) 6 所以PQ|+2=6++k≥6+25，当且仅当 ()由m=1-k红1，得十(1-号)k2+ 6 =2,即2=6时，等号成立， (19分) (3y-1)k-4=0, (15分) 所以|PQ|+2的最小值为6+2√6. (20分) 12.解：(1)令2的右焦点为(c,0),又其渐近线方程 又直线AC,AD过点A(x1,y1),故+（1 为bx士ay=0, 放、bc a2+6=6=1, x)好+(-)：--0， 又右顶点(a,0)到点P(1,1)的距离√(a-1)+1 好+(1-)好+(-)：--0， =√2，且a>0,解得a=2, (17分) 所以n行-y-1 (5分) 因此，1k是关于z的方程x十(1-)x (2)(1)点(2k,m)不在双曲线x2-y2=1上. 证明如下： +(?)上一子=0的三个不同实根， 联立=x十m, x2-4y2=4, 即此方程可化为(x一k)(x一k1)(x一2)=0，对 得(1-4k2)x2-8km.x-4m2-4=0, (7分) △=64k2m2+16(1-4k2)(m2+1)=16(m2+ 比常数项得一kk,=一4， 1 1-4k2)>0,因此4k2-m2<1, 所以点(2k,m)不在双曲线x2-y2=1上. 即k:=子 (9分) 所以：为定值，谈定值为宁 (20分) （i)设A(x1y1),B(x2y2), 8km 由(1)知，x1十2=1-4k2, 2m 则y1十y2=(x1十x2)十2m= 1-4k2 则线段8中点M(装16，Q1分 m m 由AB⊥MP,得k· 1-42-1 -=一1， Akm 1-462-1 2025一2026学年度学科素养周测评（二十一）】 数学·圆锥曲线综合（含直线与圆的方程） 一、选择题 r1=2.因为C2与C1外切，且半径为3，所以C1C2 1.C【解析】C1:x2十y2一2x=3的标准方程 =5.设P(x,y)在C2上，则√(x-1)2十y2=5, 为(x一1)2+y2=4,所以C1的圆心C1(1,0),半径 化简得x2+y2-2x=24. ·29· A