周测评(十九)椭圆-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（A版）

·数学· 参考答案及解析 为5+22. (11分) 1 1 -m十n=0;当x<m,y<-二时，轨迹为x十 m 1 y+ -m+n=0;当x≥m,y<-1 时，轨迹为 m m x-y-2m-n=0, (15分) 问题可转化为h(x)上仅有一点A,g(x)上仅有 一点B,使d(A,B)=n=4, 图2 1 (8)由怒意，令=m<0,则A(m,一品》， 首先，求平行于x一y一m一m一n=0且与h(x) 相切于点A的直线， 若B(x,y),则dA,B)=|x-m+y+1| 由A)是期m) m-1,可得m=一1 由于g(x)=alnx-x,定义域为(0，+o∞)， 或m=1(舍去)，故A(-1,1), 则gx)=“o>0, 所以所求切线为x一y+2=0. 1 当x∈(0，a)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x 其次，保证x一ym一m一4=0，即x一y一2= ∈(a,十∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减. 0恰好与g(x)相切，求a, 综上，h(x)与g(x)的大致图象如图3所示， h(x)在g(x)的左上方位置， (13分) 此时，若切点B(b,alnb-b),则g'(6)=a-b b y=h(x) 1,即6=受放B(受an受-受)， a 代人x-y-2=0,a-aln2=a-ana-ln2) =2. (18分) y=g(x) 令p(a)=a-a(lna-ln2)且a>0, 图3 Wg/(a)-1-(lna-ln2)-axI-ln2-ln4, a 令dA,B)=x-m+y+=a≥4，则N 当0<a<2时，p'(a)>0,p(a)单调递增； 当a>2时，p'(a)<0,p(a)单调递减， 的轨迹如下， 所以p(a)mx=p(2)=2,故a=2, 当x≥m,y≥- 二时，轨迹为x十y十 m 综上，当a=2时满足题设要求，故a的值为2. (20分) n=0;当x<m,y≥- 时，轨迹为工一)一 m 2025一2026学年度学科素养周测评（十九） 数学·椭圆 一、选择题 (x-1)2+y2=3, 1.A【解析】若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 √5，得(x-1)2+y2=3,由3 得 t-2>4一t>0,解得3<t<4,结合选项可知，C x2+y2=3, 是焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是 x2-8x十4=0，且-2≤x≤2，解得x=4-2V3, 名<4 当x=4一2√3时，对应的y值有2个，即E上满 足|PF|=√3的，点P有2个. 2.B【解析】由题意得F(1,0),设P(x,y),由PF= ·23· A 真题密卷 学科素养周测评 3.D【解析】根据椭圆的定义可得|PF|十PF2= 以 +x6=1,即4x6=4-y8, 2a,又PF=PF,kPF- 5,因此 则|MN|=√(x1-x2)2+(y1-y2) 1PR,=号∈a-ca+e1,部得长名=e,故号 -四+-一，又0≤4，所以当 ≤e<1. y8=4时，有|MN|min=1. 4.C【解析】由题可知C1(一3,0)，r1=9,C2(3,0), 二、选择题 r2=1,且|C1C2|=6,又动圆P与圆C1内切，与 7.AD【解析】对于A,根据椭圆的定义，|PA|十 圆C2外切，所以PC1|=r1-rp=9-rP,|PC2|= PB=4a>|AB|,所以，点P轨迹为椭圆，故A r2十rp=1十rp,所以|PC1|+|PC2|=10>|C,C2|, 正确；对于B,设P(x,y),则有(x十a)2十y2 所以，点P的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，且长 十(x-a)2十y2=4a2,整理得x2十y2=a2,所以 轴长2a=10,焦距2c=6,即a=5,c=3,所以b= 点P轨迹为圆，故B错误；对于C,由于ax-y十 V@2。=4,所以点P的轨远方程为5十6=1. √a2+1 5.B【解析】依题意得|PF1+|PF2=6,设F1F2 laztyl=4a,az-y+l ax+y= w√a2+1 =n,不妨设点P在第一象限，若|PF1|=|F1F2 4a√a2十1，分情况去掉绝对值符号，可知，点P的 =n,则有|PF2=6-n(0<n<6),故cos∠PF1F2= 轨迹为4条线段，不是椭圆，故C错误；对于D,由 n2+n2-(6-n)2 2n2 8或cos∠PF2F1= ax-yl）2/ax+yl小2 a+)+a) =4a2,整理得a2x2+ n2+(6-n)2-n27 2n(6-n) 3,解得n=4或n=24,又m y2=2a2(a2+1),因为a>1,所以，点P轨迹为椭 圆，故D正确. ∈Z,m+(g)”=9,所以n=4,m=5若PF,= 8.ACD【解析】设点P(x,y)在C2上，将其关于 |F1Fz|=n,则有PF1|=6-n(0<n<6),同理 y=x的对称点P1(y,x)代入C2有y2+x2- 可得n=4,m=5.此时|PF2|=4,|PF1|=2,不 yx=6,即x2十y2一xy=6,则点P1在C2上，同 符合，点P在第一象限，所以m=5. 理将点P关于y=一x的对称点P2(-y,一x)代 入C2,有(-y)2+(-x)2-(-y)(-x)=6,即 6,A【解析】设过点P分别与直线l1,l2平行的直 x2+y2-xy=6,则点P2在C2上，则x2十y2- 线为l3,14,如图所示： y=6关于y=士x对称，所以0=开，故D正确： 将y=x代入x2十y2一xy=6,可得x2=6,所以 C2长轴的顶，点分别为（√6，√6），（一√6，-√6），所 以a=√6十6=2√3，故A正确；将y=一x代入 x2+y2-xy=6,可得x2=2,所以C2短轴的顶，点 分别为(W2,一√2)，(-√2，√2)，所以b=√2+2= 2,则c=√12一4=2√2，则e= 后* 设M(x1y1),N(x2y2),P(x0yo),则y=一2x1, B错误；所以焦点坐标为(2,2)或（一2，一2），故C y2=2x2,显然四边形PMON为平行四边形，故 正确. MN的中点与OP的中点重合， 1 则2+0=x十x:=2（02一y), y0+0=y1+y2=2(x2-x1), 即x2一x1=2,又因为P为C上任意一位。 y2-y1=2x0, A ·24· ·数学· 参考答案及解析 三、填空题 四、解答题 a=2, 【解析】由题意得，a=2,b=√3，c=1,由椭圆 11.(1)解：由题意可得 3 定义得，PF1|+|PF2|=2a=4,|F1F2|=2c= 屏得b23 a=2, 3 1 1 a2=b2+c2, 2,则Sam,=2FF,·h=2X2(a+c)·T, c 2√6 3, (5分) 。十。=3要使r最大，则=6=5，故 故r ch h 所E的方用为要-1 (6分) (2)证明：设点M(xo,yo),则N(-xo,一yo),且 r max- 3 x6+3y=4,x0≠0. 直线PM:y-2=y0-2 10.【解析】设A(c1y),B(-x1,-y),C(x2y2 x0-0x-0), 由OP12=2OA.O驴，得OP12=2·OA11O1. 即y=y。二 x+2. (8分) cos∠AOP,所以|OP|=2|OA|·cos∠AOP,所 y0-2 联立 x+2, 得[x8+3(y-2)2]x2+ 以2x1=xP,所以P的坐标为(2x1,0).因为A x2+3y2=4, （x1,y1),C（x2,y2)在T上，所以 12xo(y0-2)x+8.x8=0. 8x8 2.x8 两式相减得+一y 所以x0·xA=x8+3(0-2)24-3y0’ 62 =0 2x0 xiy 则xA=4-3y0 (12分) (a2+=1 即z1-x)x1+x)+y1-y2)(y1+y2) 所以yA=。二 x4十2=。-2 2×2+2= 4-3yo a2 62 =0, 4-4yo 所以0-)0+y〉=- 4-3y0 (x1-x2)(x1十x2) a2,又kAc= 所以A( 2x04-4yo) 4-3y'4-3y0, y1-y2 x1-x2 kc=当+y b2 -2x04十4y0 x1十x2 ,所以kAC·kBC=一 a2, 同理可得B(4+3y,’4+3y0 (15分) wAC 又kAB=2xE1x1 依题意xA≠xB,所以想=yB二4 CB一xA 4+4y04-4y0 AB,所以ABk AC=一1，所以kAC=一 4+3y。4-3y0=-0 -2x0 2xn (17分) 2x0 1 4+3y04-3y0 4-4y=-y0（x 时以经-日所以r的离心奉。一日 所以直线AB的方程为y一4-3y。= a 2）,整理得y=一 4-3y0 y0x+1 -- 116 所以直线AB过定点(0,1). (20分) M ·25· A 真题密卷 学科素养周测评 12.解：(1)由d(M,N)=1,可得b=1, 由(1)可知，直线AB的方程为x=士3， 又因为离心率e=C=22 a=3,所以c2= 8 9a2 x=士3， 联立 得AB=2√7， (13分) x2+y2=16, 8 8 (b2+c)=91+c2), .1 所以S△PAa≤2X2W7X(3+4)=77, 所以c2=8,a2=9, (4分) 所以C的方是为写+y-1。 由于12√3>7√7，所以△PAB的面积最大时， (5分) d=2. (2)设圆心O到直线AB的距离为d. 对于线段AB上任意一点E,连接OE并延长与 (ⅰ)当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为 圆O交于点F,则F是圆O上与E最近的点， y=kx+m, 2 当E为线段AB的中点时，EF取得最大值2，所 联立9十y=1·得（9k十1）x十18kmz十 以d(G,H)=2. (15分) y=kx+m, (ⅱ)对于线段AB上任意一点E,连接OE并延 9m2-9=0, (6分) 长与圆O交于点F,则F是圆O上与E距离最 由直线AB与C相切，得△=(18km)2-4(9k2+ 近的点， 1)(9m2-9)=0,整理得m2=9k2+1, 当E为线段AB的中点时，EF取得最大值4一 m 9k2+1 8 则d= V2+√k2+1-√9 k2+1’ d,所以d(G,H)=4-d; (16分) (8分) 对于圆O上任意一点R,由R向线段AB引垂 线，垂足为S, 因为k≥0，所以1≤9<9，所以1≤ 6<3即4e1.3 则△PAB的面积SaB≤}AB1·a+4) √/16-d2·(d+4)=√16-d)(d+4)z= √(4-d)(d+4)3, (10分) 设f(d)=(4-d)(d+4)3,d∈[1,3)， 则f'(d)=4(2-d)(d+4)2, 当S在线段AB上时，S是线段AB上与R距离 当1≤d<2时，f'(d)>0,f(d)单调递增；当 最近的点； 2<d<3时，f'(d)<0,f(d)单调递减， 当S不在线段AB上时，线段AB上的点与点R 因此当d=2时，f(d)取得最大值432，即S△AB 距离最近的点的距离小于2d, 的最大值为12√3； (11分) 所以当线段RS经过圆心O时，RS取得最大值 当直线AB的斜率不存在时， 4+d, 所以d(H,G)=4+d, (19分) 所以d(G,H)+d(H,G)=8. (20分) A ·26·夜越漆黑，星越璀撵 2025一2026学年度学科素养周测评（十九） 6.已知椭圆C:苦+=1，P为C上任意-点，过点P分别作与直线：y=2:和：y 班级 题 数学·椭圆 一2x平行的直线，分别交12，l,交于M,N两点，则|MN|的最小值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 得分 是符合题目要求的。 题号 7 8 题号 1 2 3 4 5 6 答案 答案 7.已知点A(一a,0),B(a,0),直线l:ax-y=0,l2:ax+y=0,其中a>1,点P为平面 1.已知曲线C:4二，2—：-1，则C为焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是 内一点，记点P到L1,l:的距离分别为d1,d:,则下列条件中能使点P的轨迹为椭圆的 () 是 () 7 A.PA+PB=4a A2<<4 B.3<t<4 C.3<t<5 D.23 B.|PA12+|PB|8=4a 2已知椭圆E,行+号三1的右焦点为F,则E上满足PF=3的点P () C.d+d:=4a A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D.d月十d号=4a2 z:y: r:y 3.已知椭圆C:。十云=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F:,若C上存在一点P,使 &将椭圆C:云十后-1a>6>0)上所有的点绕原点旋转00<0<》得到椭圆C:z 3 +y2一xy=6,则 () 得PF,|=2PF,,则C的离心率的取值范围是 () A.a=25 A(o剖 B.(o.] BC,的离心率为号 c[分) n[后 C.(2,2)是C2的一个焦点 4.已知圆C1:(x十3)2+y2=81和C:(x一3)2+y2=1,若动圆P与圆C,内切，同时与 圆C2外切，则点P的轨迹方程为 () D.0-1 后+号 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 x2,y8 9.已知椭圆P:十3=1的左，右焦点分别是FF,点P是D上一点，则△PFF,内 切圆半径的最大值为 5已知椭圆C号+君 =1(0<m<9,m∈Z)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上但 10.已知A,B为精圆n后+若-1a>60上关于原点O对孩的两点C异于暖点，点C 不在坐标轴上，且△PF,F是等樱三角形，其中一个内角的余弦值为g则m=（) 在T上且AC⊥AB,设直线BC与x轴的交点为P,若1OP2=2OA·OP,则P的离 A.4 B.5 C.6 D.8 心率为 学科素养周测评（十九）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十九）数学第2页（共4页） A 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 12.(20分)在平面直角坐标系xOy中，对于给定的点集M,N,若M中的每个点在N中 都存在点使得两点间的距离最小，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为 11.(20分)已知椭圆E:。+6-1(a>6>0)的离心率为3，右顶点为(2,0)，. (1)求E的方程. dM.N.已知桶圆C号+后-1a>6>0)的离心率为2. 3,其短轴上的点的集合 (2)过原点O且不与y轴重合的直线L与E交于M,N两点.已知点P(0,2),直线 记为M,C上的点的集合记为N,且d(M,N)=1. PM,PN与E的另一个交点分别为A,B.证明：直线AB过定点. (1)求C的方程； (2)已知直线1与C相切，且与圆O:x+y2=16交于A,B两点，线段AB上的点的集 合记为G,圆O上的点的集合记为H. (I)若点P为圆O上的一个动点，当△PAB的面积最大时，求d(G,H): (i)求d(G,H)十d(H,G)的值. A 学科素养周测评（十九）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十九）数学第4页（共4页）