周测评(十八)直线与圆的方程-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（A版）

真题密卷 学科素养周测评 3 2(9λ+4) 25 (0<λ<1)， 25 9λ2+1 因为+≥2: =10(当且仅当t=5,即 令9入+4=(4<1<13)，则入=t一4 9， 入=时取等号)， 3 此时sin0=√'V1+ 18t 3 18√930 2-8t+25 sin0≤/3i√1+10-8= 31 (18分) 3 18 即直线CO1与平面BDE所成角的正弦值的最 =31 1+ 25 -8 大位为，比时入的值为) (20分) 2025一2026学年度学科素养周测评（十八）】 数学·直线与圆的方程 一、选择题 5.B【解析】如图所示： 1.B【解析】易得圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0), 半径r=2,圆O:(x-2)2+(y十2)2=20的圆心0 (2,-2),半径r=25,且1O0|=2√2∈(2√5-2， 2√5+2)，故圆O与圆O相交，其公切线条数为2. C A 2.B【解析】由题意得，圆C的圆心(2,3)，半径为 2,而点(2,3)到1的距离为6+12-5=13、 O外x 5 >2, 因为两圆C1,C2都过点（一1,2），且均与两坐标轴 故直线与圈和离：又吕<3，所以国C上到1的距 相切，所以C1,C2必在直线y=-x上，点A(一1， 2)关于直线y=一x的对称点为B(一2,1)，则线段 离为1的点有2个. AB即为圆C1,C2的公共弦，故|AB|= 3.A【解析】由题意知AB∥CD,可设CD:x √（-2+1)2+(1-2)2=√2. y十m=0且m≠1，又对角线的交，点为M(2,2), 6.C【解析】如图，设线段OC上的入射点为P1,依 A,C关于M对称，则C(4,3),由点C在直线CD: 次在BC,AB,OA上的反射，点为P2,P3,P4,最后 x-y十m=0上，故4-3十m=0,则m=一1，所以 射出的点为P6 CD:x-y-1=0. y 4.D【解析】根据题意，建立如图所示的平面直角 坐标系， P 1A P C、 OP(P)IP。 B 设P1关于BC对称的点为P6,P,关于OA对称 则A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4),设P(x,y), 的点为P,设P1(n,0),且n∈(0,1)，则P6(2 所以Ap-(x,y),B驴=(x-4,y),C市=(x-4, y-4),DP=(x,y-4),所以AP+BP+C2 n,0》,P,P∥s,可得==m,所以直线 +DP=(4x-8,4y-8),因为1AP+BP P1P2:y=m(x-n),由对称性可得P2P,=-m, +CP+DP1=√(4x-8)2+(4y-8)2=4, 又直线P2P3过P。(2-n,0),所以直线P2P3: 即(x一2)2+(y-2)2=1,故，点P在圆心为（2， y=-m(x-2+n,则P,(2-n-是，1)，所以直 2),半径r=1的圆周上运动，所以AP|的最大值 为√22+22+1=2W2+1. 线PP4y=m(x-2+n十)+1，故P,(0,2- A ·20· ·数学· 参考答案及解析 2m十mn),所以P4P。:y=-mx+2-2m+mn, 对于B,如图2所示，当MB与圆C相切时， 收r(层-2+ao, ∠MBA取得最大值或最小值，因为|BC|=5,MC 1 0<2-n一 =4,MB⊥MC,所以MB|=3,SR△MBc=2X4X 3=6,故B错误； 由题可得0<2-2m+mn<1, -2+n<1, m （1∠m<1-n' 1 2-n 1 所以2一n 1 2 ≤m<2-n,又12 2-n 2 2 图2 3n<m<2n, 对于C,因为N(s,t)在直线AB:2x十y-2=0 2-n-2(1-n)_ n 1 (1-)(2-n)=1-n)(2-m)>0,所以1-元 > 上，所以t=-2s+2,由于圆C:x2+y2-10x 4y+13=0,且N(s,t)为圆外一点，则直线ST: 21 30=321-28-) 2 2-n’2-n xs+y-5(x+s)-2(y+t)+13=0,即(s-5)x+ (2-n)(3-n) (t-2)y+13一5s-2t=0,将t=-2s十2代入并 豆--0所以写<名所以不华式 n-1 整理得s(x-2y-1)-5x+9=0,所以直线ST 组解得写品。<m<2品。国为E(0,1,通发 2 过定点号，》故C错误： 2 ,2在n∈(0,1D上均为增函数，所 对于D,设|NC|=p(p≥2√5)，在Rt△NSC中， y=3ny2n 以号<m<2,故m的取位龙周是（行2） INS1=VD-16,所以1ST1=8VD-I6_ 二、选择题 .所以尝力取最小值2,5时，1ST1最 7.BCD【解析】对于A,很明显L1的方程无法表示 8, 直线x=一1，故A错误；对于B,l2的方程可化为 x-y-3十a(y+2)=0,易知L2过定点A(1,-2), 小，最小维为85，花D正确 当l2⊥OA时，原点O到l2的距离最大，最大距离 三、填空题 为|OA=√2+(-2)7=√5，故B正确；对于C, l1⊥l2的充要条件为a×1十2(a-1)=0,解得 9.4红-y->首且x≠)【獬标】设P… a-号，故C正确；对于D6的无麦条件为 yo),则过点P的切线方程为y一yo=(x一xo), 即x一y十，一。=0，由二5l=1,得 a(a-1)-2=0且a(2a-3)-(a-1)≠0，解得 √k2+1 a=-1或a=2,故D正确. (x号-1)k2一2x0yok十y一1=0，则kPA,kB是 8.AD【解析】对于A,如图1所示，直线AB的方 此方程的两根，则x号-1卡0，△=4xy一4(x号一 程为2x十y一2=0，圆心C(5,2)到直线AB的距 1)(y8-1)>0,即x8+y8>1,所以kPAk PB= 离d=12X5+2-2到=25>4，所以M和N两 √22+1 名4，得488=3，又x+8>1,所以 成之间距离的最小位为2行-4<分，故A正确， >即C4r-=3(e>号且x≠). 10.9【解析】由P为圆A:(x-1)2+y2=4上一动 点，得A(1,0),1AP|=2,由Q为圆B:(x 3)2+(y-4)2=1上一动，点，得B(3,4),|BQ= 1,又1A01-1hAc-4,加l-Ae-2 又∠PAO=∠CAP,所以△ACP∽△APO,于 图1 是|PC|=2|PO.当P,Q,B三点共线且PQ ·21· A 真题密卷 学科素养周测评 <|PB|时，|PQ|+|PB|取得最小值，即|PQ 因为l过点P(1,1),则xM+(yM一1)-4一 +|PB≥21PB|-1,所以|PC|+|PQ|+|PBI yM=0,所以xM=5, (19分) ≥2|PO|+2|PB1-1≥2|OB|-1=2× 所以点M在直线x=5上. (20分) √/(3-0)2+(4-0)2-1=9，当0，P,Q,B四点 共线时，等号成立 12.解：(1)令P(x,y),则d(0,P)=x|+|y1=1, 故P的轨迹如下， 当x≥0，y≥0时，轨迹为x十y一1=0； 当x<0,y≥0时，轨迹为x-y+1=0; 四、解答题 当x<0,y<0时，轨迹为x十y+1=0; 11.(1)解：设A(x1y1),B(x2y2), 当x≥0，y<0时，轨迹为x一y一1=0， 当1的斜率不存在时，l:x=1, 所以P的轨迹图形如图1所示，是顶点在坐标轴 联立/1， 解得y1=3,y2=-1,则 上且边长为√2的正方形 (4分) x2+(y-1)2=5, y |AP|=|PB|,不符合题意； (2分) 当l的斜率存在时，设l:y=k(x-1)+1, 由0得-席则3-… (4分) 图1 联立P,=(x一1)+1， x2+(y-1)2=5, 根据图形，[D(O,P]=(V+)- 21 可得(1十k2)x2-2k2x十k2-5=0, (5分) (4=(-2k2)2-4(1+k2)(k2-5)=16k2+20>0, (2)令N(x,y),则D(O,N)=√x2+y=2,即 2k2 x2+y2=4, 则工十x=1十2， 所以N在以原点O为圆心，2为半径的圆上； k2-5 红x-1+ 而M(3,2),则d(M,N)=|x-3+|y-2, 令d(M,N)=t(t≥0)，则N的轨迹如下， 3+k2 x1-1+k2’ 当x≥3，y≥2时，轨迹为x十y-5-t=0; 又x2=3一2x1,解得 当x<3,y≥2时，轨迹为x一y+t一1=0； k2-3 (7分) x2=1十k2 当x<3,y<2时，轨迹为x十y+t-5=0; 所以3+A.3-一3-5 当x≥3，y<2时，轨迹为x一y-1-t=0. 1+21+2-1+,解得=士1，(9分) (8分) 对于M,N两点间的曼哈顿距离，N的轨迹为正 故1的方程为x一y=0或x+y一2=0.(10分) 方形， (2)证明：设M(xM,yM),圆C:x2+(y-1)2=5 所以只需研究N在上述两种情况下，轨迹交点 的圆心为C(0,1), 到M的曼哈顿距离的范围， 则以线段CM为直径的圆的方程为(x一)'十 如图2所示，M位于圆x2十y2=4的右上方，则 (y-yw2+]2-zw-02+(0yw-1D 只需确定直线x十y十t一5=0与该圆相切时参 2 4 数t的范围， 化简可得x(x-xM)十(y-1)(y一yM)=0, 若圆x2+y2=4与直线x+y十t一5=0相切，则 (15分) 有-5=2，可得=5士22，满足题设， 上述方程与圆C的方程相减得L:xMx十(yM √2 1)y-4-yM=0, (17分) 所以d(M,N)∈[5-2√2,5+2√2]，即最大值 ·22· ·数学· 参考答案及解析 为5+22. (11分) 1 1 -m十n=0;当x<m,y<-二时，轨迹为x十 m 1 y+ -m+n=0;当x≥m,y<-1 时，轨迹为 m m x-y-2m-n=0, (15分) 问题可转化为h(x)上仅有一点A,g(x)上仅有 一点B,使d(A,B)=n=4, 图2 1 (8)由怒意，令=m<0,则A(m,一品》， 首先，求平行于x一y一m一m一n=0且与h(x) 相切于点A的直线， 若B(x,y),则dA,B)=|x-m+y+1| 由A)是期m) m-1,可得m=一1 由于g(x)=alnx-x,定义域为(0，+o∞)， 或m=1(舍去)，故A(-1,1), 则gx)=“o>0, 所以所求切线为x一y+2=0. 1 当x∈(0，a)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x 其次，保证x一ym一m一4=0，即x一y一2= ∈(a,十∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减. 0恰好与g(x)相切，求a, 综上，h(x)与g(x)的大致图象如图3所示， h(x)在g(x)的左上方位置， (13分) 此时，若切点B(b,alnb-b),则g'(6)=a-b b y=h(x) 1,即6=受放B(受an受-受)， a 代人x-y-2=0,a-aln2=a-ana-ln2) =2. (18分) y=g(x) 令p(a)=a-a(lna-ln2)且a>0, 图3 Wg/(a)-1-(lna-ln2)-axI-ln2-ln4, a 令dA,B)=x-m+y+=a≥4，则N 当0<a<2时，p'(a)>0,p(a)单调递增； 当a>2时，p'(a)<0,p(a)单调递减， 的轨迹如下， 所以p(a)mx=p(2)=2,故a=2, 当x≥m,y≥- 二时，轨迹为x十y十 m 综上，当a=2时满足题设要求，故a的值为2. (20分) n=0;当x<m,y≥- 时，轨迹为工一)一 m 2025一2026学年度学科素养周测评（十九） 数学·椭圆 一、选择题 (x-1)2+y2=3, 1.A【解析】若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 √5，得(x-1)2+y2=3,由3 得 t-2>4一t>0,解得3<t<4,结合选项可知，C x2+y2=3, 是焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是 x2-8x十4=0，且-2≤x≤2，解得x=4-2V3, 名<4 当x=4一2√3时，对应的y值有2个，即E上满 足|PF|=√3的，点P有2个. 2.B【解析】由题意得F(1,0),设P(x,y),由PF= ·23· A站过低谷，便是星辰坦途 2025一2026学年度学科素养周测评（十八） 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 班级 卺题 数学·直线与圆的方程 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 7 8 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 答案 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 7.已知直线l1:a.x十2y+a-1=0,l2:x+(a-1)y+2a-3=0,则 得分 是符合题目要求的。 题号 2 3 5 A.的方程可以表示过点（一1,2）的任意一条直线 答案 B.原点O到1：的距离的最大值为√⑤ 1.圆O:x2十y24与圆O':(x一2)2十(y十2)2■20的公切线条数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 C4:山上的宠要条件为a=号 2.已知圆C:(x一2)2+(y一3)2=4，直线l:3x+4y-5=0,则圆C上到直线1的距离为1 D,l1∥l的充要条件为a=一1或a=2 的点有 () 8.已知点A(1,0),B(0,2),M(m,n)是圆C:(x一5)2+(y一2)2=16上的一个动点，点N A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (s,)是直线AB上的动点，过N作圆C的两条切线，切点分别为S,T,则() 3.已知平行四边形ABCD的顶点A(0,1),边AB所在直线的方程是x一y十1=0，对角线 的交点为M(2,2),则边CD所在直线的方程为 () AM与N两点之间距离的最小值小于号 A.x-y-1=0 B.x-y+2=0 C.x+y-1=0 D.x+y-3=0 B.当∠MBA最大时，△MBC的面积是6√2 4,已知四边形ABCD是边长为4的正方形，P是正方形内的一点，且满足AP+BP+CP +DP1=4,则A户的最大值是 () C.直线sT过定点(2,2) A.2+1 B.2-1 C.22-1 D.22+1 5,已知不重合的圆C1,C1都过点（一1,2），且均与两坐标轴相切，则圆C1,C,的公共弦长为 D.ST的最小值是8 () 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 A.1 B.2 C.22 D.3,2 9.过曲线C上一点P作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A,B,若kakg=4,则C 6.已知点O(0,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0),平面上仅在线段OA,AB,BC所在位置分别 的方程为 放置一个双面镜.现有一道光束沿向量8=(1，m)(m>0)的方向从线段OC上某点（不 10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐 含端点)射人，若光束恰好依次在线段BC,线段AB,线段OA各反射一次后从线段OC 上某点射出，则m的取值范周是 () 名，著有《圆锥曲线论3八卷，已知平面内两个定点M,N及动点P,者PW=A(A>0 A.(2) 引 且入≠1)，则点P的轨迹是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿被罗尼斯 圆.P为圆A:(x-1)2+y2=4上一动点，Q为圆B:(x-3)2+(y-4)2=1上一动点， c(2 n后引 点C(一3,0)，则|PC+|PQ+|PB|的最小值为 学科素养周测评（十八）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十八）数学第2页（共4页）】 A 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 12.(20分)定义：如果在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(x1,y1),B(x2,y2),则称 11.(20分)已知圆C:x2+(y-1)2=5,过点P(1,1)的直线1交圆C于A,B两点. d(A,B)=|x1一x:|+|y1一y:|为A,B两点间的曼哈顿距离，D(A,B)= (1)若1AP1:|PB=1:2,求1的方程. √(x1一x2)+(y1一y2)严为A,B两点间的歌几里得距离. (2)过A,B分别作圆C的切线l1,2,设直线1和2的交点为M,证明：点M在定直 (1)已知d(O,P)=1,求D(O,P)的最小值： 线上. (2)已知M(3,2),D(O,N)=2,求d(M,N)的最大值 （③)已知a>0,点Az11)在两数Ax)=-是<0)的图象上，点Bxy)在函数 g(x)=alnx一x的图象上，且y1≠yg,点A,B有d(A,B)的最小值为4，求实数a 的值 A 学科素养周测评（十八）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十八）数学第4页（共4页）