周测评(十五)立体几何初步---空间几何体-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（A版）

真题密卷 学科素养周测评 1 所以Sa<2xn(x,-1)x(c。+ xtx龙+1 =1「1 心1111= 2 n(n-1) xn+1」 (18分) 故S+S:十…+S<4得证， (20分) 所以S1十S2+…+Sm 2025一2026学年度学科素养周测评（十五） 数学·立体几何初步—空间几何体 一、选择题 1.D【解析】设该圆锥的底面半径为r,母线长为1， 高为h,则πrl=3r2,可得l=3r,则h=√2-r2= √9r2-r2=2√2r,由圆锥的体积为18√2π，可得 D 3r2X22,=182元，解得r=3. 1 2.B【解析】平行六面体的六个面都是平行四边 6.B【解析】设该正方体为ABCD-A1B1C1D1,且 形，且相对的平行四边形全等，所以六个平行四边 棱长为a,若考虑4个平面中最中间的两个平面， 形中的矩形个数可能为0,2,4,6，所以各个表面中 共有两种情况.①若中间的两个平面为平面 的直角个数之和可能为0,8,16,24. A1BD和平面B1D1C,如图1所示，则过点A1, 3.C【解析】将两个相同的如图所示的几何体拼接 A,C作截面，截面如图2所示， 为圆柱，则圆柱的底面半径为2cm,高为l3cm,体 D 积为π×2×13=52πcm3,则所求体积为圆柱体 银的-丰，中52xX号-25xem 4.D【解析】如图，连接AB,AD,圆锥底面圆的周 长为2，母线为3，所以扇形展开用的属心角为 图1 图2 剥∠BAC-3,∠BAD=∠DAC-石，所以D成·元 其中E,F分别为AC,A,C中点，则AE= 2, (AB-AD)·AC-AD)=AB·AC-AD.AC AA:-a,A:E=V 2Q,设相邻两平面间的距离，即 -A店，A市+A市2=3×3×0s3-2×3×3 ×cas看+9-27-186 A到AE的距离为h,则.E。 22a· 2 h,解得五= 3a,由题意可知B。 a=1,解得 a=√3； ②若中间的两个平面如图3所示，过点B,C,C1 作截面，截面如图4所示， A D 5.A【解析】如图所示，在棱长为√2的正方体中构 造棱长为2的正四面体A-BCD,显然正四面体的 棱切球即为正方体的内切球，故球的半径为正方 体棱长的一丰，即，-则孩球的表西板为5 4π2=2元. 图3 图4 A ·10· ·数学· 参考答案及解析 其中M,N分别为BC,B1C1中点，则BM=号a 2a, D BB:=a,BAM-。,设相尔两平面间的距高，即 B到BM的距离为d,则，大。。 三、填空题 9.28【解析】如图，令四棱锥的底面边长为a,高为 义d,解得d三5a,由题意可和5 5a=1,解得a= ,三棱柱的高为0，则四枝维的体积为了ah=1, √5.综上，正方体的棱长为√3或√5 二、选择题 即a2h=3,三棱柱的体积为2ahb=3,即abh=6, 7.ABD【解析】对于A,若圆柱的底面直径为8，则 因此b=2a,于是长方体的体积V=b2h=4a2h= 半径为4，此时球心到圆柱底面的距离为 12,所以该正四棱台的体积为12+4+12=28. √52一4=3，故圆柱的高可以为6，故A正确；对 于B,若圆锥的底面直径为8，则半径为4，此时球 心到圆锥底面的距离为√52一42=3，故圆锥的高 最大为3十5=8，故B正确；对于C,若圆锥的底面 a 直径为7，周半径为？，此时球心到圆维底面的距 b 离为，-(T-<8,故国维的高是 4W/3π 10.75π； 【解析】由题中数据可得EF= 3 22 大为 2+5<9,故C错误；对于D,将棱长均为8 V6+6+63)=53,则球0的半径R=5y5 2 则表面积S=4πR2=75π.由题意可知，以EF为 的四面体放到棱长为4√2的正方体中，则正方体 直径的球的球心O是长方体ABCD-A1B1C1D1的 外接球的直径为√3×4√2=4√6<10，故D正确. 8.AD【解析】对于A,考虑正方形的一条边与x 中心，则点0到年而A,ADD,的距离d=2AB 轴重合，由斜二测画法的性质可知，另一条边与y 3 轴重合，如图所示，由于对称性与旋转可换性，图 2,如图，设0在平面A1ADD1的投影为O, 中∠ACB与∠BDC均等价为所求角，而由斜二 则O'为正方形A1ADD1的中心，设点P在球O 测图性质可知，AB=CD=√2，BC=AD=2√2， 与正方形A1ADD1的交线上，则O'P= ∠ACB+∠CAB=01=45°，过A作BC的垂线， √R一d=2√3，故以EF为直径的球与正方形 则tan∠ACB= 1 1 A1ADD1的交线是以O'为圆心，2√3为半径的 =tan15°，即 2√2+12+√3 圆在正方形A1ADD1内的曲线. ∠ACB<15°，故∠ABD的最小值小于15°，故A 设圆O'与A1D1的一个交点为M,作O'H⊥ 正确；对于B,过D作BC的垂线，易得02=45°， A,D,垂足为H,则0H=号A:=3,0M= 且tan0,=2,2-1-22-1>1=tan45,故 1 2B,所以∠MO'H=,所以以EF为直径的球 03>45°，则∠BDC>90°，即∠BDC的最大值大于 与侧面A1ADD1的交线长为2π×2√3X 90°，故B错误；对于C,D,设图形绕C点逆时针旋 转a,则CA=(4cosa十√2sina,W2sina), 2元-4×红×2 6 43π 即CA=√(4cosa+√2sina)+(W2sina) 2π 3 M D =10+27sin(2a+g),其中anp=3y2 4,则 最小值为√10-2√7<2，最大值为 √/10+2√17>4，故C错误，D正确. ·11· A 真题密卷 学科素养周测评 四、解答题 11.解：(1)在△OA1B1中，由余弦定理得A1B= OA?+OB?-2OA1·OB1cos∠A1OB1, 即1=OA?十OB-OA1·OB1,整理得OA? OB1·OA1+OB-1=0, (2分) 设OA1=x,则x2-OB1·x十OB-1=0, 由题可知该方程有实根，则△=OB?一4(OB?一 12.解：(1)D(A,B)=2-3+1+3=5.(3分) (2)设P(x,y),则D(A,P)=|x-2|+|y-1= 1)≥0，解得OB1≤3， (6分) 2(0≤x≤4，-1≤y≤3)， 则BB,=1-0B:≥4-25，当且仅当OB, 当2≤x≤4,1≤y≤3时，x十y=5; 当2≤x≤4，-1≤y<1时，x-y=3; 3,0A1= 2V 当0≤x<2,1≤y≤3时，x-y=-1; 3时，等号成立， 当0≤x<2,-1≤y<1时，x+y=1. 所以BB:的最小值为4-2 所以动点P围成的图形是正方形，边长为2√2， (8分) 面积为8. (11分) (2)因为V0-BA,C,=VBoA,C,且点B到平面OAC (3)动点P围成的几何体为八面体，每个面均为 的距离为定值， 边长√2m的正三角形， 所以三棱锥O-BA1C1体积最大时，即S△oA,C 最大， (10分) 其体积V-8×行m-32v5,解得m=25。 由(1)得OA?-OA1·OB,+OB-1=0,且 证明如下： 0B,<9 不妨将A平移到A'(0,0,0)处，设P(x,y,之)， (12分) 若D(A',P)=m(m>0),则|x|+|y+|z=m, 由于该方程中OA1,OB1地位等价， 当x,y,之≥0时，即x十y十之=m(0≤x,y,之 ≤m), 放同Q少可得0A≤23当且仅当A,B1LOB 设M1(m,0,0),M2(0,m,0),M3(0,0,m), 时，等号成立， (13分) 由OP=λ1OM1+λ2OM+λ3OM,得入1+入2+ 23 由OB,0C地位等价，同理可得0C,≤g,当 λ3=1 所以P,M1,M2,M3四点共面， (14分) 且仅当CB1⊥OB时，等号成立， (14分) 所以当x,y,x≥0时，P在边长为W2m的等边三 1 5 则SaAG,=20A·0Csin∠A10C1≤3，当 角形M1M2M3内部（含边界）， 同理可知等边三角形内部任意一点Q(x',y, 且仅当0A1=0C,-2时，等号成立， 2W3 z),均满足x'十y'十z'=m(0≤x,y,之≤m). 所以满足方程x十y十之=m(0≤x,y,之≤m)的 2√3 此时△OA1C1为等边三角形，且A1C1= 点P,构成的图形是边长为√2m的等边三角形内 3 部（含边界）， (18分) A1B1=B1C1=1, 由对称性可知，动点P围成的图形为八面体，每 作BDLA,G于D,则A,D-A,B=, 个面均为边长为√2m的等边三角形. 所以BD=A1B-A,D= 故该几何体体积V=8X 6m3=32,3,解得m= 3 25. (20分) 此时△A,B,C的面积为号B,D·A,C-号 31 (20分) A ·12·今日埋头演算，明朝碧霄展翼 2025一2026学年度学科素养周测评（十五） 5.若正四面体的棱长为2，且各棱均与同一球面相切，则该球的表面积为 () 班级 爸题 数学·立体几何初步—空间几何体 A.2x B.π c肾 姓名 6.正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为 () 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 得分 A.2或5 B.5或5 C.3或2 D.2或5 是符合题目要求的。 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 题号 1 2 3 5 6 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 答案 题号 8 1.已知某圆锥的侧面积是底面积的3倍，体积是18,2π，则该圆锥的底面半径为() 答案 A.2 B.3 C.2 D.3 7.将一个直径为10的铁球磨制成一个零件，则磨制成的零件可以是 2.在平行六面体中，各个表面中的直角个数之和不可能为 () A,底面直径为8，高为6的圆柱体 A.0 B.4 C.8 D.16 B.底面直径为8，高为8的圆锥体 3.在如图所示的斜截圆柱中，圆柱底面的直径为4cm,母线长最短为5cm,最长为8cm, C.底面直径为7，高为9的圆锥体 则该斜截圆柱的体积为 (） D.棱长均为8的四面体 8.已知水平放置的正方形的边长为2，√2，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的 直观图四边形ABCD,则 () A.∠ABD的最小值小于15 B.∠BDC的最大值小于90 C.AC的最小值大于2 D.BD的最大值大于4 A.20x cm' B.24x cm3 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 C.26x cm D.30x cm 9.中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积 4.图1所示的圆锥的母线长为3，底面圆直径BC=2,点D为底面BC的中点，则在该圆锥 的计算公式.例如，在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切制成九部 的侧面展开图（图2）中D店·DC () 分进行求解.图1为俯视图，图2为立体切面图，其中E对应的是正四棱台中间位置的 长方体，B,D,H,F对应四个三棱柱，A,C,I,G对应四个四棱锥.若四个三棱柱的体积 之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为 图 图2 A.-2 B.-93 C.993 D.27-185 2 图1 图2 学科素养周测评（十五）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十五）数学第2页（共4页）】 A 10.如图，在长方体ABCD-A1B1C,D中，AD=AA1=6,AB=33,点E,F分别在棱 12.(20分)曼哈顺距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场 A1B1,CD上，且A,E=CF=√，则以EF为直径的球的表面积S= ,该球与 景，如无人驾驶出租车行驶、物流配送等.在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图象处 侧面A1ADD1的交线长为 理和路径规划等问题.曼哈顿距离用于标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对 轴距总和.例如，在平面直角坐标系内有两个点A(x1,y1),B(x,y2),它们之间的曼 哈顿距离D(A,B)=|x1一xz|十|y一y2. (1)已知点A(2,1),B(3,一3)，求D(A,B)的值： (2)已知平面直角坐标系内有一定点A(2,1),动点P满足D(A,P)=2,求动点P围 成的图形的面积： 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (3)已知空间直角坐标系内有一定点A(2,1,3),动点P满足D(A,P)=m(m>0),若 11.(20分)如图所示，正四面体O-ABC的棱长为4，A1,B1,C1分别在棱OA,OB,OC 动点P围成的几何体的体积是32,3，求m的值. 上，AB,=B,C1=1 (1)求BB,的最小值： (2)求当三棱锥O-BA:C1体积最大时，△A,B,C1的面积. A 学科素养周测评（十五）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十五）数学第4页（共4页）】