周测评(十四)数列的通项公式和求和-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（A版）

运气不够？以勇气破局 密 2025一2026学年度学科素养周测评（十四） 6.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出了长方台形垛积的一般求和公 班级 题 数学·数列的通项公式和求和 式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有αb个小球，第二层有 (a十1)(b十1)个小球，第三层有(a+2)(b十2)个小球，…，以此类推，最底层有cd个小 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 球，共有n层，由“隙积术"可得这些小球的总个数为[26+da十(2d+bc十(c一a)]m 6 得分 是符合题目要求的。 若由小球堆成的某长方台形垛积共8层，小球的总个数为240，则该垛积的第一层的小 球个数为 () 题号 1 2 3 5 6 答案 1.已知数列{a.m}满足a1=2,am+a,=a,一1，则a A名 B.2 A.1 B.2 C.3 D.4 C.3 D.-1 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 2已知数列a.的前n项和S.=n-2n十n2,则a4 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 7 8 A.66 B.77 答案 C.88 D.99 7.将自然数1,2,3,4,5，…按照如图排列，我们将2,4,7,11,16，…称为“拐弯数”，则下列数 3.若数列{an},{b.)满足a1一a2一1，b.=a.+1一n十1，b.+1=a。一n十3，则数列{an十b.}的前 字是“拐弯数”的是 () 50项和为 () A.2500 B.2525 10 .12 3 C.2550 D.3000 14 方 4.已知命题p:设等差数列(an)的前n项和为S。,若S,S:S:=0(伙∈N”且≥2)，则 a1ag…a:=0;命题q:设等比数列b.}的前n项和为T.,若T,T:…T:=0(使∈N"且 A.37 B.58 k≥2)，则bk-1十b:=0,则 () C.67 D.79 A.力是真命题，g是假命题 B.p是假命题，q是真命题 2a+4a.+1 8.已知正项数列(an)满足a。+1= n∈N·),则下列说法正确的是() C.p与q都是真命题 D.p与g都是假命题 am十2 A.{a.}为递增数列 5.若了)=-1D+2-0-1n2二十2，数列a.小的前n项和为5.，且S=16,25, 1 B.a.+1>2"a1 -a+t,则艺/a,)+fa0-】= () 1 1 C.若0<a<3,则存在大于1的正整数m,使得a.一a:≤后 A.76 B.38 n已知6，十名2a十写则3mEN使得6，- 1 C.19 D.0 学科素养周测评（十四）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十四）数学第2页（共4页）】 A 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 12.(20分)一个混沌系统通常用一个变量来描述其在某个特定时刻的状态，为了保持系统 9.已知数列a}的前n项和S.=n十m,当n=时，S,十9取得最小值 的不规则性和不可预测性，这个状态变量需要通过特定的数学规侧进行变换，以反映 系统内在的动态行为.这种变换通常涉及复杂的非线性函数，它们能够使得系统的微 10.已知数列(a。)满足a.=(一1)(2n一1)，其前100项中某项正负号写错，得前100项和 小变化在长时间内产生巨大的影响，这种现象被称为“蝴蝶效应”.已知数列{x,}总满 为一50，则写错的是数列中第项. 足x.+1=f(x.),并且f(x)=一ax2十(a十2)x. 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (1)当a=1时，对廿n∈N满足xn=f(xn+1),若x,≠0，求{x.}的通项公式. 11.(20分)已知数列{a}满足2·a.}是等差数列，但是等比数列. (2)当a=一1时，{x,}不是常数列，且x.≠0，{红}中是否存在连续的三项构成等差数 列？若存在，请求出：若不存在，请说明理由 (1)证明：a1=a2 (2)记(a,)的前n项和为S。,若对廿n∈N·,S.∈[1,6]，求a,的取值范围. 8者a-1时=2S.-证明：S+5+…+5.<号 A 学科素养周测评（十四）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十四）数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 1 (3)由(2)知6.--1+(m-1)1=n, 所以an=2am-1, 所以{am}是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以6，=1十，所以不等式26，≥a,即 所以an=2m-1,Sn=2m-1. (7分) 假设{am}是“H数列”，则对任意正整数n,总存 n(+是）≥2，即a+1≥2，即g1, 在正整数m,使得Sn=am, 当m=1时，若2m-1=1,则n=1,符合； (16分) 当m≥2时，若2”一1=2m-1,左边为奇数，右边 2,则c+1-c,=+2-n+1 令cm=n十1 2m-1 2n-2 为偶数，则该方程无解， 所以不满足对任意正整数n,总存在正整数m, 一2一<0，所以{c,}在n∈N·上单调递减，注意 n 使得Sm=am,所以{an}不是“H数列”.（12分) 到c=>16,=<1 (3)解：依题意，am=1+(n一1)d,Sn=n+ n(n-1)d 所以当n≥5时，cn≤c6<1,所以nmax=4. 2 (20分) 若{an}是“H数列”，则对任意正整数n,总存在 12.(1)证明：设公差为d,因为a1=0,所以Sm= 正整数m,使得Sn=am, n(n-1)d 即n+n,1Da-=1+m-1Dd, 2 2 令m=nn,1D+1,则m∈N,此时an=(m 所以m=”1土n(n-1） +1, (17分) 2 2 1d=nn,1)t-s., 又因为m∈N,nm-1) 2 ∈N,所以对任意的n∈ 2 即对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sn= N,”eZ且40，经险证d-日 am,所以{an}是“H数列”. (4分) 1 (2)证明：因为{an}的前n项和Sn=2am-1, 4,…均不成立， 当n=1时，a1=2a1-1,则a1=1; 所以d=-1. (20分) 当n≥2时，am=Sm-Sa-1=2an-1-2am-1十1， 2025一2026学年度学科素养周测评（十四）】 数学·数列的通项公式和求和 一、选择题 {am十bn}是首项为a1十b1=2,公差为2的等差数 1.A【解析】由题得am+1=1 a。,所以a2=1 列，则数列{am十bn}的前50项和为50×2十 11 50×49×2=2550. 2=2,0:=1-2=-1,a4=1-(-1)=2,所以 2 4.B【解析】对于p,在等差数列{am}中，若am= {am》是周期为3的周期数列，又32=3×10十2，所 2n-3,则a1=-1,a2-1,有S2=0,则S1S2… 以a32=a2=2 1 S。=0成立，但a1a2…a。≠0，所以a1a2…a。=0 不成立，故p是假命题；对于q,设等比数列{bn}的 2.C【解析】由题得S6=63-12+sin3π=216- 公比为q,若TT2…T。=0(k∈N*且k≥2)，则T1, 02=204,S5=53-10+sin号x=125-10+13 T2,…,T。中至少有一项为0，且q≠1，否则bm= 0,不符合题意，假设Tm=0(1≤m≤k且m 116,故a6=S6-S5=204-116=88. 3.C【解析】因为a2=1,bm=am+1一n十1，所以 ∈N),则Ta6109）=0,所以g°=1，由g 1一9 b1=a2-1+1=1,又am+1=bm+n-1,bm+1= ≠1，得m为偶数且q=一1，故b-1十b=0,所以 am一n十3，则a+1十ba+1=am十bn十2，所以数列 q是真命题. 。7· A 真题密卷 学科素养周测评 5.A【解析】因为f(x)=(x-1)3+2(x-1)- 增数列，故A正确；对于B,a1=2a.十1 4,+2> n2—z+2,所以fx)+f(2-x)=-1)+ 2a,则2+>2，因此a+1=a1.a2.02.…. 2-1)-l22+2+1-x)+21-x) an al a2 n2-工+2=4，所以f(x)的图象关于点（1,2)中心 +l>2”a1,故B正确；对于C,a2-a1=a1十 an 对称.因为2Sn=nan+1,所以2Sm-1=(n-1)an a2由9a1<行将2a+2<号有号 1 (n≥2)，所以2Sn-2Sm-1=nam+1-(n-1)an 11 1 (n≥2)，所以2am=nam+1-(n-1)am(n≥2)，所 。十2分显然号>日于是a:-01 a1+2> 1 3、1 1 以at-2(m≥2)，又51=10,2S.=a+1, 7>6,由A知，a+1-a1≥a:-a1>6,因此不 n+l n 所以2=，a2=1…,0=1 1 号0号-0…号=0所以a,=0又 存在大于1的正整数m,使得am一Q1≤6，故C a:十a20-:=2a10=2,所以f(a:)十f(a20-i)=4,所 错民；对于D,a1十1=20+4，+1十1= 以3[f(a:)+fa0-)]-是4=76. am十2 =1 (2an+3)(an+1) 1 1 6.B【解析】由题意知n=8,故可得最底层小球的数 a,+3)-a,十则21 an+1十1am+12an十3' 量为cd=(a十7)(b十7)，即c=a十7，d=b十7，从而 11 1 有8，[(26+6+7)a+(26+14+6)a+7)+7] 2am+3am+1a+1+1?则3， 即 '2a,+3 6 2(11 1 1 240,整理得(2b+b+7)a+(2b十14+b)(a+7)+7= a:+打a*1+=a1+1a+1+1,因此 180,即(3b+7)a+(3b+14)(a+7)=173,即3ab+ 7a+3ab+14a+21b+98=173,即6ab+21a+21b= 。十名21网不6在 75,即2ab十7a十7b=25,由于a,b均为正整数，所 no∈N‘,使得bm。=1,故D错误， 以(i)当a=1,b=1时，2·1·1+7·1+7·1= 三、填空题 16<25, 9.3【解析】因为Sn=n2十n,则当n≥2时，am= (i)当a=1,b=2时，2·1·2+7·1+7·2=25， Sm-Sm-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,又当 (i)当a=1,b=3时，2·1·3+7·1+7·3= n=1时，a1=S1=2,满足am=2n,故am=2n. 34>25, (iV)当a=2,b=2时，2·2·2+7·2+7·2= 9a+9-)+2g= an 2n 36>25,只有a=1,b=2符合题意，即ab=2. 9在1,3)上单调递减，在(3，十∞)上单调递增， 二、选择题 7.ACD【解析】不妨设第n(n∈N)个“拐弯数”为 数当n=3时，n十。取得最小值，即当=3时 am,不难发现a1=2,a2=4=a1十2，a3=7=a2十 Sm+9 3,a4-11-a3十4，…，所以an-am-1-n(n≥2)， 取得最小值. an 利用累加法，得am一a1=2十3十…十n= 10.38【解析】am=(-1)”(2n-1),设写错项为x, (n+2)(n-1) ，当n=1时，也 则其前100项和为S=-1十3-5十7-9+11- 2 2,故a=n十n十2 2 …+195-197+199=(-1+3)+(-5+7)+ 符合上式，所以a,=n+n+2(m∈N).代入选 2 (-9+11)+…+(-197+199)=2×50=100, 项验算可知A,C,D正确. 即S-x十x-100,某项正负号写错后得前100 8.AB【解析】数列{am}中，n∈N*,am>0,由 项和为-50，则S-x-x=-50,又100一 a+1=2a+4a.+1 1 （-50)=S-x+x-(S-x-x)=2x=150,解 .十2得a=2a.十a十2对于 得x=75.故写错的数为75，令am=(-1)” Aa41=2a,+。2>2a,>a,因此a}为远 (2n一1)=75，解得n=38,故写错的是数列中第 38项. A ·8· ·数学· 参考答案及解析 四、解答题 x1),所以x2=x1或x2十x1=4, (1分) 11.(1)证明：因为数列{2”·an}是等差数列，所以2 若x2=x1,代入x1=-x号+3x2,则x1=0或 X4a2=2a1+8a3. x1=2, 因为 是等比数列，所以an≠0，n∈N, 又xn≠0，所以x1=2,则x2=2; (2分) 若x2十x1=4,则x2=4-x1,代人x2=-x+ 且() =a1×3 3x1,得(x1一2)2=0，解得x1=2,则x2=2. 综上，x1=2,x2=2. (3分) 得a-4a1a2+3a号=0，解得a1=a2或a1= 3a2. (4分) 又f(2)=-22+3X2=2,xm+1=f(xm),所以 x3=f(x2)=f(2)=2,x4=f(x3)=f(2)=2,…, 若a1=3a,则a,-2,且数列{2·a,)的公差 由此可得xm=f(xw-1)=f(2)=2. (4分) d=2a1 证明：当n=k时，有xk=2, 3 当n=k+1时，有x+1-f(x)=f(2)=2, 所以16a4=8a3十d=0,即a4=0,矛盾； 所以{xm}为常数列，其通项公式为xm=2.(6分) 若a1=a则a,子a1,且数列2·a]的公差 (2)解：当a=-1时，f(x)=x2十x, 假设数列{xn}中存在连续的三项xm-1,xm, d=2a1,所以16a4=8a3+d=8a1,数列 an 的 xm+1,m∈N‘,m≥2构成等差数列，则2xm= n xm-1十xm+1, 公比为2，符合题意.综上，a1-a (8分) 又xm=f(xm-1)=x-1十xm-1,xm+1=f(xm)= (2)解：由(1)得2a.=2ma1,即a.=2, x品十xm,所以2xm=xm-1十x品十xm,即xm-1十 x一xm=0, 所以5.=a(1+号+是+…+2”， 1213 所以xm-1十(x-1十xm-1)2-（x-1十xm-1)= 0,整理得x-1十2x-1=0, 所以.=a(+…+》 解得xm-1=0(舍)或xm-1=一2，所以xm-1=-2, 则xm=2,xm+1=6, (10分) 假设xm-1不是第一项，则有xm-1=x品-2十 xm-2=-2(m∈N,m≥3)，则x-2十xm-2十 2=0, 又因为x2十x十2=0无实数解，即不存在xm-2 项，所以假设错误。 所以s=a4-+) 2n-1/ (15分) 所以当且仅当x1=一2时，存在连续的三项构成 由1≤Sn≤6，n∈N",易得a1>0, 等差数列， 所以an>0,{Sn}单调递增，(Snm)mim=a1 故存在连续三项x1,x2,x3成等差数列.(14分) (17分) (3)证明：当a=-1时，f(x)=x2十x, 又>0所以4一2<，即5，<a 又xm+1=∫(xm),x1=2,所以当x>0时， f(x)>0,所以xm>0, 所以a1≥1且a1<6,解得1<a,≤g, 所以Sn= +1(x片十xn) x4十2x+x员 放a,的取值范围是，引 1 1 1 (20分) x+2x十xnxn(xn十1)2xn(xn十1)(xn-1) 12.(1)解：因为a=1,所以f(x)=-x2+3x,所以 1「1 1 7 = 2xn(xn-1)xn(xn十1)J' (17分) x1=一x十3x2, 又x+1=f(xn),所以x2=一x十3x1, 因为xm+1一x名十xm,所以xn+1一xn一x名>0，所 所以x2-x1=（x2-x1)(x2十x1)-3(x2 以{xn}单调递增，且xm≥2，则xm一1≥1， A 真题密卷 学科素养周测评 1 所以Sa<2xn(x,-1)x(c。+ xtx龙+1 =1「1 心1111= 2 n(n-1) xn+1」 (18分) 故S+S:十…+S<4得证， (20分) 所以S1十S2+…+Sm 2025一2026学年度学科素养周测评（十五） 数学·立体几何初步—空间几何体 一、选择题 1.D【解析】设该圆锥的底面半径为r,母线长为1， 高为h,则πrl=3r2,可得l=3r,则h=√2-r2= √9r2-r2=2√2r,由圆锥的体积为18√2π，可得 D 3r2X22,=182元，解得r=3. 1 2.B【解析】平行六面体的六个面都是平行四边 6.B【解析】设该正方体为ABCD-A1B1C1D1,且 形，且相对的平行四边形全等，所以六个平行四边 棱长为a,若考虑4个平面中最中间的两个平面， 形中的矩形个数可能为0,2,4,6，所以各个表面中 共有两种情况.①若中间的两个平面为平面 的直角个数之和可能为0,8,16,24. A1BD和平面B1D1C,如图1所示，则过点A1, 3.C【解析】将两个相同的如图所示的几何体拼接 A,C作截面，截面如图2所示， 为圆柱，则圆柱的底面半径为2cm,高为l3cm,体 D 积为π×2×13=52πcm3,则所求体积为圆柱体 银的-丰，中52xX号-25xem 4.D【解析】如图，连接AB,AD,圆锥底面圆的周 长为2，母线为3，所以扇形展开用的属心角为 图1 图2 剥∠BAC-3,∠BAD=∠DAC-石，所以D成·元 其中E,F分别为AC,A,C中点，则AE= 2, (AB-AD)·AC-AD)=AB·AC-AD.AC AA:-a,A:E=V 2Q,设相邻两平面间的距离，即 -A店，A市+A市2=3×3×0s3-2×3×3 ×cas看+9-27-186 A到AE的距离为h,则.E。 22a· 2 h,解得五= 3a,由题意可知B。 a=1,解得 a=√3； ②若中间的两个平面如图3所示，过点B,C,C1 作截面，截面如图4所示， A D 5.A【解析】如图所示，在棱长为√2的正方体中构 造棱长为2的正四面体A-BCD,显然正四面体的 棱切球即为正方体的内切球，故球的半径为正方 体棱长的一丰，即，-则孩球的表西板为5 4π2=2元. 图3 图4 A ·10·