周测评(十二)平面向量的应用(含正、余弦定理)-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（A版）

·数学· 参考答案及解析 (3)由题意得点B(一1，一1)在旋转角是平的旋 由双曲线的对称性可知，当A'和C'同在M的下 转变换下所得的点为B'(0,一√2). (11分) 支时，有A(-一复-). 设A,C在旋转角是T的旋转变换下所得的点分 代入M的方程，无解； (15分) 别为A'和C. 当A和C同在M的上支时，有A(台 设曲线xy=1在旋转角是无的旋转变换下所得 ), 4 由线为M,则由②可知n,艺-号-1 代人M的方程得t=26,则△ABC的面积为) 则B'是M'的下顶点. 由题知△A'B'C'为等边三角形，△A'B'C'的面积 X(26)2x 2=63」 (19分) 即为△ABC的面积. 综上所述，△ABC的面积为6√3. (20分) 设△ABC的边长为t(t>0), 2025一2026学年度学科素养周测评（十二） 数学·平面向量的应用（含正、余弦定理） 一、选择题 所以OA⊥OB,取AB的中点D,则|ODI 1.D【解析】在△ABC中，∠ABC=30°，由△ABC 有两解，得30P<C<150,且C≠90，则号<mC< -号A81-,西0C1=1,如图所示， 1,由△ABC外接圆半径为4及正弦定理得，AB= 8sinC∈(4,8)，所以边AB的长可能为5. 2.A【解析】因为三个力平衡，所以F1十F2十F3=0, 所以F3=|F1+F2=√F1+2F1·F2十F2下= 0 √12+2X1x6-2 2 5+(y-2 c 设F3与F1的夹角为0，则F2|=|F1十F3|= √E+FP+2FF,cos0,即6，E 则|CA+CB1=21CD1,而|OD|-|OC|≤|CD 2 √12+(W2)+2X1X√2cos0,解得cos0=- 6+√2 ≤10D1+10c1,即2≤1cD1≤子，所以 4 CA+CB1的最小值是3. 3.A【解析】如图，由题知∠BAC=90°-30°=60°. 5.C【解析】如图，取AB的中点E,连接PE,则 在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AC2+ PA·PB=(PE十EA)·(PE十EB)=PE· AB2-2AC·ABcos60°=402+302-2×40X PE+P克·EB+EA·P2+EA·E3=PE 30c0s60°=1300，故BC=10√13海里，所以乙船 -EA?=PE2-1.因为正方形ABCD的边长为2， 至少需要航行10√13海里， 圆O的半径为3，正方形ABCD的中心与圆O的 AN 圆心重合，所以P2|min=2,所以(PA·PB)mn= 22-1=3. 4.D【解析】由题意得，A,B,C在以O为圆心，半 径分别为4,3,1的圆上运动，且OA·OB=0, ·3· A 真题密卷 学科素养周测评 6.D【解析】由a2-b2-c2=28,得a2=b2+c2 与OP2不垂直，故C错误；对于D,因为OA=(2, 2bc cos A=62+c2+28,bc cos A=-14, 0),OB=(0,3),O元=(4,1)，所以AC=(2, oi+o+号d-oi+o+a+ 1),BC=(4,-2),又1OA|=√/(2e1)2=2,1OB1 AB AC √(3e2)=3,lAC1=√7,1BC1=√/(4e1-2e2)F= 弓O+C)=0,女0耐= .AB √16e-16e,·e2+4e=23,=√4e1+e2)2= +6+ √16e1+8e1·e2+e=√2I,所以OB2+BC2= a 无A 都为单位向量，故AO平分∠BAC,故cOsA 0C,中0B1BC所以Sam=3×3X25= =cos2∠0AC=2cos2∠0AC-1=-9,则 7 3√3，在△OAC中，由余弦定理知cos∠OAC= 0A+AC-0C=4+7-21=- 5 2OA·AC2×2X,7 ,所以 bc=14 c0sA=18,则a2=28+b2+c≥28十 27 2√62c-28+36=64,当且仅当b=c=3√2时， sin∠0AC=V1-cos∠OAc=V3 2V万，所以Saac= 等号成立，即a≥8，故a有最小值8. 二、选择题 ×2X7×3B 1 2√7=2，所以四边形0ACB的面 7,BCD【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 积为Sa08c+SA0c-35+3_7V3 2=2,故D正确 三、填空题 9.2√5【解析】依题意，根据投影向量的定义有 1b2 ,则a·cosa,b》-1 (a·b)b=1b b ,即1b1= E B 则A(-2,0),B(0,0),D(-2,2),E(-1,0), 2a·cos(a,b),又a=(-2,1),所以|a|=√5， F(0,1),所以FA=(-2,-1),AB=(2,0),所 所以当cos〈a,b〉取最大值时，|b|有最大值， 以c0sF,A店)=·A店 2√5 又cos(a,b)max=1,所以|b|mx=2a=2W5. ΓFA1IAB1W5×2 5， 10.12-6√3【解析】由题可知∠BCD=90°+45°= 故A错误；AB·AF=AB·(-FA)=-AB· 135°，设AC=m,则CD=,BC=,由余孩定 FA=-(-4)=4,故B正确；AE=(1,0),AD= √2 3 0,2》.所以2证+2d-21.0)+20,2) 理得BD2=CD2+CB2-2·CD·CBcos135°，即 (2,1)=-FA=A京，故C正确；D=(1,-2),所 10-(爱+(g-2·gg(-号》. 以DE·FA=-2X1+(-1)X(-2)=0,所以 DE⊥A下，故D正确. 解得AC=m=2√3，所以CD=√6，BC=2,则 8.ABD【解析】对于A,由题意得OP=2e1十e2,故 AD=√6，AB=4,sin∠DAB=sin(30°+45°)= |Op|2=(2e,+e2)2=4e+4e1·e2+e号=4|el2+ V6+√ 2.由SAA0十SAA0=S△ABD,可得2AD· 4ee:cos60+1e:P=4+4X1×1×+ AOsn∠DA0+2AB·A0sin∠BA0=7AD· 1=7,故OP|=7,故A正确；对于B,由题意得 -20+e,成-ec,所以店-2B成. ABsin∠DAB,即5，A0,2+4A0·2 所以A,B,C三点共线，故B正确；对于C,由题意 6X4×6+ 得OP1=3e1+2e2,OP2-2e1-3e2,所以OP1· 4 ,解得A0=6一2√3，则C0= OP2=(3e1+2e2)(2e1-3e2)=6e-5e1·e2 4√3-6，所以A0-C0=12-6√5. 60=5-5x1X1xg-6=-2≠0，故0m 四、解答题 11.(1)证明：若cosA=0,则cosB=0,则A=B= A ·4· ·数学· 参考答案及解析 召，不符合题意，所以c0sA≠0， (i)因为m=(1,2),n=(2,4),则2m=n,两向 量共线，所以S(m,n)=0. (4分) 同理cosB≠0. (2分) (2)证明：设向量m=(x1,y1),n=（x2,y2),且 因为cosA(sinB+1)=cosB(sinA+1), 向量p=λm十n(入，H∈R,入2+r2≠0)， 所以sinA十1_sinB+1 则p=(x1十x2,入y1十y2), cos A cos B 所以S(p,m)=|(1+x2)y1-(y1+4y2)x1= A12 B B)2 【sin2+co92sn2cos2 lμllx1y2-x2y1=lμ|S(m,n), 则 cos2 A 2-sin:A 2B 同理S(p,n)=a|x1y2-x2y1|=λS(m,n), 2 cos:B -sin 所以S(p,m)+S(p,n)=(|a|+lul)S(m,n). (9分) sin 则一 2十cos 2 sin 2+cos 2 AA=B.B (3解：设a,c=a,由aLb,得c,b》=受-a cos 2-sin 2 cos 2 度c,b--a, (11分) AB 整理得sin2cos2-cos2sin2 一0， 即sn(含2)=0， 当c,b>--a时，Sc,a)+Sc,b) (8分) 因为A,BE(0,0所以号号0，即A-8, lllalsinel sin) 所以△ABC为等腰三角形. (10分) -sin a+cos a-/Zsin(a+), (2)解：cos∠CBD= BC2+BD2-CD2 2BC·BD 当。=牙时，S(c,a)+S(c,b)取得最大值E; BC2+BD2 BC2 3BC2 4 4+BD2 (15分) 3π 2BC·BD 2BC·BD 当c,b)=-a时，5c,a)+s(c,b) 3BC,BD、 3BCBD√5 8BD+2BC≥2，√8BD·2B品=2，(17分) =2·2 ellas+2·2lc1lb1sn(竖-） 所以∠CBD≤行当且仅当C-停时，等号皮 /3π -sin a+sin(2-a)-sin a-cos a 立，放∠CBD的最大值为行 (20分) -厄sim(a-), 12.(1)解：(i)因为m=(2,1),n=(-1,2),且m 当a- -音即。=经时，Sc,e)十5e,b)取 与n不共线， 所以S(m,n)=|x1y2-x2y1|=|2×2-1X 得最大值√2， (19分) (-1)=5. (2分) 所以S(c,a)+S(c,b)的最大值为√2.(20分) 2025一2026学年度学科素养周测评（十三） 数学·数列的概念、等差数列与等比数列 一、选择题 a1十ag=20. l.C【解析】因为对Hm,n∈N*,都有am·am= am+m,所以a2=a1·a1=4,a4=a2·a2=16,所 3.C【解析】在等比数列{a,}中，a1a,=a,由1十 以a6=a2·a4=4X16=64. 1+1=3,得a5十a十a1=3a3,又a1+a:+ 2.B【解析】因为{an}为等差数列，所以Sg= a3 as 9(a十ag）=90,所以a1十a,=20,所以a十a1 a5=9,所以a3=3,又a1+a3十a5>0,且a1,a3, 2 a5同号，所以a3>0,则a3=√5. ·5· A草稿纸的厚度，文量梦想高度 2025一2026学年度学科素养周测评（十二） 班级 爸题 数学·平面向量的应用 姓名 (含正、余弦定理) A.1 B.2 C.3 D.4 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2-b2-c2=28,点0在 得分 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 △ABC所在的平面内，满足O+O丽+名0C-0,且cos∠0AC-则a（) 是符合题目要求的。 A.有最大值10 B.有最小值10 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C.有最大值8 D.有最小值8 1.在外接圆半径为4的△ABC中，∠ABC=30°，若符合上述条件的三角形有两个，则边 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 AB的长可能为 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 () A.2 B.3 C.4 D.5 题号 8 答案 2.平面上的三个力F,F,R作用于一点，且处于平衡状态.若R,=1N,F,=5,区N. 2 7.如图，正方形ABCD的边长为2，E,F分别是边AB,BC的中点，则 F1与F:的夹角为45°，则F,与F1夹角的余弦值为 () A-6+2 B.+ 4 4 C.-6-2 D.6-2 4 4 3.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险后抛 人oFi-2看 B.AB.AF=4 错等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东30°方向且与甲船相 距30海里的C处的乙船，让乙船也前往救授，则乙船至少需要航行 () C.A=2A正+2AD D.D正⊥AF A.1013海里 B.5/13海里 8.设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e:,e是分别与x轴，y轴正方向同向的 C.10√37海里 D.537海里 单位向量.若OP=xe1十ye2,则把有序实数对(x,y)叫做向量OP在斜坐标系Oxy中 4.已知平面向量1OA=4,OB1=3,O元1=1，OA·OB=0,则1CA+CB1的最小值是 的坐标，记作OP=(x,y),则下列说法正确的是 () () A.若OP=(2,1),则1OP1=7 A.1 B.2 c D.3 且若A正=2，D,BC-(←1，-》则A,B,C三点共线 5.铜钱，中国古代铜质辅币，特指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方 C.若OP1=(3,2),OP=(2,-3),则OP⊥0P 形ABCD的边长为2，圆O的半径为3，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点 P在圆O上，则PA·PB的最小值为 () D.若0A=(2,0),0正=(0,3)，O心=(4,1，则四边形OACB的面积为7,3 学科素养周测评（十二）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十二）数学第2页（共4页）】 A 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 12.(20分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量m=(x1,y:),n=(x2, 9.已知向量a=(一2,1)在向量b上的投影向量为。b,则b的最大值为 y),且OM=m,ON=n,当m,n不共线时，记以OM,ON为邻边的平行四边形的面 积为S(m,n)=x1yg一xy1:当m,n共线时，规定S(m,n)=0. 10.将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板（△ABC)的长直角边与含45° (1)根据下列已知条件求S(m,n): 角的三角板（△ACD)的斜边恰好重合.AC与BD相交于点O,若BD2=10+43,则 (1)m=(2,1),n=(-1,2): AO-CO- (i)m=(1,2),n=(2,4). (2)若向量p=m十na∈R,A2+≠0)，证明：S(p,m)+S(p,n)=(a+μ)· S(m:n). (3)记OA=a,OB=b,O元=c,且满足c=Aa十b(u>0,A,∈R),a⊥b,la=b= 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 |c|=1,求S(c,a)+S(e,b)的最大值. 11.(20分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosA(sinB+1)=cosB· (sin A+1). (1)证明：△ABC为等腰三角形. (2)若D是AC的中点，求∠CBD的最大值. A 学科素养周测评（十二）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十二）数学第4页（共4页）