周测评(十一)平面向量(概念、运算、基本定理及坐标表示)及复数-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（A版）

·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2025一2026学年度学科素养周测评（十一）】 数学·平面向量（概念、运算、基本定理及坐标表示）及复数 一、选择题 厂红，所以∠ADC+∠ABC=元，以BC为直径作圈， 5(-2-iD 1B【解析】因为z=-2中仁212D一2-0 则A,B,C,D四点共圆，如图所示，故，点D的轨迹 所以之=一2十i,即之在复平面内对应的点为（一2， 1),位于第二象限. 是以AC为孩，国同角为暂的为弧（不合A,C两 2.A【解析】因为b在a上的投影向量为a:b。 ,点)，则AD·AB=AD|·|AB|·cos∠BAD= 2|AD1·cos∠BAD,又IAD|·cos∠BAD表示 a·b 12a=3a,所以a·b=128. AD在AB上的投影，由图可知，|AD|·cos∠BAD ∈[-1,0)，故AD·AB≥-2（当点D为劣孤AC 3.B【解析】由之一1一i=1,可得在复平面内之对 的中点时取等)，即AD·AB的最小值为一2. 应的，点Z的轨迹是以，点C(1,1)为圆心，1为半径 的圆，z十i的几何意义为点Z到，点A(0,一1)的距 离，而|AC|=√(0-1)2+（-1-1)7=√5，所以 z+i的最大值为√5+1. 4.C【解析】已知BD-号心，A正-号Ad,所以B时 二、选择题 -3-3(AC-AB)-3A6-3AB.#A.B 7.BD【解析】对于A,令之1=1十i,z2=1-i,则 x1+|x2|=22≠|z1十之2=2，故A错误；对于 错误；所以D庞=A店-(A店+B心)=)AC- C,令z1=1,z2=i,满足x1|=|z2|,显然x7≠x, 故C错误；对于B,令之1=a十bi,之2=m十ni,且 A店-（仔AG-号A)=子A店+行AC,故C正 a,b,m,n∈R,则之1=a-bi,之2=m-ni,所 确，D错误. 以x1+x2=(a十m)-(b十n)i=x1十z2,故B正 5.C【解析】因为x1十z2|2=(z1十之2)·x1十x2= 确；对于D,x?=(a十bi)2=a2一b2十2abi<0,则 (x1十x2)·（z1+z2),且|z1+之2|=4，之1|=3， a-6<0,可得a0即1为纯虚数，故D ab=0, b≠0， 即|z1十z2P=11十之122十z122十z222=9+z22十 正确. (x122+21之2)=16，得|之212+z1x2+z1之2=7；同理， 8.ABD【解析】对于A,因为1BC+BA1=AC= 因为z1一2212=（之1一x2)·21-之2=(x1一之2）· |BC-BA1,所以BC+BAI?=BC-BA12, (z1-z2),且|z1-之8|=10，即x1-z22= Ep BC2+BA2+2BC.BA =BC2+BA*-2BC. BA,所以BC·BA=0,即BC⊥BA,所以△ABC x121-2122-x122十2222=9十|之212 为直角三角形，故A正确；对于B,如图，取AB的 (x122十122)=10，得|212-x122-21之2=1，联 中点F,连接GF,GA,GB,GC, 立可得|2212=4，z2=2,所以之1·之2=|z1|· E 1z21=3×2=6. G 6.D【解析】由AB=2,AC=2√3，AC⊥AB,得 mLAC-S-5,k∠AC- 3,又∠ADC 1 A 真题密卷 学科素养周测评 由Gi+G成+GC-0,得G-号G+G) A0=6cA+AC)=4,所以A+AC=2. 号GC,周此点G是△ABC的心，则G 又ò-多-3，所以1-2恋+A-3, 萨-号x号d+)-号+防，故B 可得AB+AC|=6,所以AB+AC1?=AB +AC2+2AB·AC=36,可得AB.AC=6,所以 正确；对于C,过点B作BD⊥L2,BE⊥L1,则B, BC=AC-AB2=AB2 +AC2-2AB. D,E三点共线，BD=2,BE=1,设∠ABD=0 AC-12,即|BC1=23 (0<0<),丙BCLBA,则∠EBC=号-9，所 四、解答题 以AB cos 0 cos g BC-BE1 11.解：(1)由题意得，Z1(0,2),Z2(4,6),则OZ1= BD 2 sin0sing又点G (0,2),Z1Z2=(4,4), (2分) 为△ABC的重心，所以△GAB的面积S△GMB=3 所以OM=λOZ1+Z1Z2=λ(0,2)+μ(4,4)= (4μ，2λ+4μ). X SACAB=3×2·AB:BC=子 1.1 2 又OM⊥Z1Z2,所以OM.Z1Z2=0, 3×2cos0sin0 即(4,4)·(4μ，2入+4μ)=-0， 320≥号，当且仅当20=受，即0=时取等 2、2 所以入十44=0. (8分) 因为OM⊥Z1Z2,所以OM≠0， 号，故C错误；对于D,与B同理可得BC=3 1 所以入与μ的关系为λ=一4（μ≠0）.(10分) (2)若M,Z1,Z2三点共线，则有MZ1=tZ1Z2, (BA+BC,所以BG:-)(Bi+BC:= 9 t∈R且t≠0或-1. 所以M0+OZ1=t(Z1O+OZ2), 国+Bd+2B赋，Bd)-(0+sg） 即OM=(t+1)0Z,-0Z①. (14分) -(s+-器)≥号(s+2 由OM=λOZ+uZ1Z2, cos20 OM=AOZ+(Z0+0Z2), 4 sin20 cos20 即OM=(a-μ)OZ1+uOZ2②. (17分) Vcos20· sin20 =1,当且仅当4sin0_cos0 cos20 sin20' 由①②知{ 即tan0=2 时取等号，故BC≥1，故D正确 +1=入一'解得入=1，u∈R且μ≠0 一t=h, 或1，所以入的值为1. (20分) 三、填空题 12.解：(1)由题可设所求点的坐标为(x,y), 9.-2【解析】由题意可得，(1一i)2+a(1-i)+2= a十2-(a+2)i=0,所以a十2=0，解得a=-2. =-cos+3sin， 则 10.23【解析】延长AG交BC于点D,连接OD, 作OH⊥AC于点H,则D,H分别为BC,AC的 y=-sin3cos4, 中点，如图所示， 酸所求点的坐标为(。兰，6品 2 ).(4分) (2)设曲线xy=1上任意一点(x,y)经过旋转角 是工的旋转变换所得点的坐标为(x',y). 易知AC·AO=|AC|AO1cos∠OAC-=|AC1· '-scos 4-ysin 4 2(x-y), 则 即 A=2A,同里可得A店·A0=合· y'=xsin 4+ycos4’ 2(x+y), 1A,由重心性质可知A店，A0=号A市· (7分) 可得(y')2-(x')2=2xy=2, 0-号×分+d,d-3+ad): 所以所求商线方婴为号-营-引 (10分) A ·2… ·数学· 参考答案及解析 (3)由题意得点B(一1，一1)在旋转角是平的旋 由双曲线的对称性可知，当A'和C'同在M的下 转变换下所得的点为B'(0,一√2). (11分) 支时，有A(-一复-). 设A,C在旋转角是T的旋转变换下所得的点分 代入M的方程，无解； (15分) 别为A'和C. 当A和C同在M的上支时，有A(台 设曲线xy=1在旋转角是无的旋转变换下所得 ), 4 由线为M,则由②可知n,艺-号-1 代人M的方程得t=26,则△ABC的面积为) 则B'是M'的下顶点. 由题知△A'B'C'为等边三角形，△A'B'C'的面积 X(26)2x 2=63」 (19分) 即为△ABC的面积. 综上所述，△ABC的面积为6√3. (20分) 设△ABC的边长为t(t>0), 2025一2026学年度学科素养周测评（十二） 数学·平面向量的应用（含正、余弦定理） 一、选择题 所以OA⊥OB,取AB的中点D,则|ODI 1.D【解析】在△ABC中，∠ABC=30°，由△ABC 有两解，得30P<C<150,且C≠90，则号<mC< -号A81-,西0C1=1,如图所示， 1,由△ABC外接圆半径为4及正弦定理得，AB= 8sinC∈(4,8)，所以边AB的长可能为5. 2.A【解析】因为三个力平衡，所以F1十F2十F3=0, 所以F3=|F1+F2=√F1+2F1·F2十F2下= 0 √12+2X1x6-2 2 5+(y-2 c 设F3与F1的夹角为0，则F2|=|F1十F3|= √E+FP+2FF,cos0,即6，E 则|CA+CB1=21CD1,而|OD|-|OC|≤|CD 2 √12+(W2)+2X1X√2cos0,解得cos0=- 6+√2 ≤10D1+10c1,即2≤1cD1≤子，所以 4 CA+CB1的最小值是3. 3.A【解析】如图，由题知∠BAC=90°-30°=60°. 5.C【解析】如图，取AB的中点E,连接PE,则 在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AC2+ PA·PB=(PE十EA)·(PE十EB)=PE· AB2-2AC·ABcos60°=402+302-2×40X PE+P克·EB+EA·P2+EA·E3=PE 30c0s60°=1300，故BC=10√13海里，所以乙船 -EA?=PE2-1.因为正方形ABCD的边长为2， 至少需要航行10√13海里， 圆O的半径为3，正方形ABCD的中心与圆O的 AN 圆心重合，所以P2|min=2,所以(PA·PB)mn= 22-1=3. 4.D【解析】由题意得，A,B,C在以O为圆心，半 径分别为4,3,1的圆上运动，且OA·OB=0, ·3· A笔尖破混沌，每一步都算数 2025一2026学年度学科素养周测评（十一） 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 班级 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 爸题 数学·平面向量（概念、运算、 题号 7 8 姓名 基本定理及坐标表示)及复数 答案 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 7.设1，：为复数，则下列说法正确的是 得分 A.x1+|z2■x1+g B.x1十xgx1十z2 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 C.若11=，则x= D.若<0，则1为纯虚数 是符合题目要求的。 8.如图，已知直线l1∥l:,点B是1，l:之间的一个定点，点B到l1,l:的距离分别为1和 题号 1 2 3 4 2,点A是2上的点，点C是L上的点，且BC+BA1=|ACL,平面内一点G满足GA 答案 +GB+GC=0,则 () 1.已知复数x满足(i一2)z=5,则x在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a,b满足a=23,b在a上的投影向量为√3a,则a·b= A.123 B.63 C.12 D.6 A.△ABC为直角三角形 B.G-(CA+CB) 3.已知复数多满足|x一1一i=1,则1x+i的最大值为 A.2+1 B.5+1 C△GAB面积的最小值是号 D.|BGI≥1 C.22+1 D.25+1 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 4.在△ABC中，BD=BC,A正=2AC,则 9.若复数z=1一i是方程x十ax十2=0(a∈R)的一个根，则a= 10.在△ABC中，点G,0分别是△ABC的重心和外心，且AG.AO=4,AG=2,则BC AB丽-号A丽-号AC 的长为 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 RB币-名A店-子AC 11.(20分)已知复数x1,z:在复平面内对应的点分别为Z1,Z:,0是坐标原点，M是复平 cD元=号+ad 面内一点，且OM=OZ+Z1Z(a,∈R). (1)若1=2i,:=4十6i,OM⊥Z1Z:,求入与m的关系； DD呢-号A-名aC (2)若OZ,OZ不共线，M,Z1,Z:三点共线，求入的值. 5,已知z1z:是复数，满足z1十z2|=4,z1=3,z1一x=√10，则z1·z2|=（） A B.3 C.6 D.43 6.在平面四边形ABCD中，AB=2,AC=25,ACLAB,∠ADC-经则币·正的最 小值为 () A-3 B.-23 C.-1 D.-2 学科素养周测评（十一）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十一）数学第2页（共4页） A 12.(20分)复数除了代数形式a+bi之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著 (3)在等边△ABC中，B(一1，一1)，A,C均在曲线xy=1上，求△ABC的面积. 名的欧拉公式e=cos0+isin0体现了两种形式之间的联系.利用复数的三角形式进 行乘法运算，我们可以定义旋转变换.根据(a十bi)e=(a十bi)(cos9十isin0)=acos0 一bsin0+(asin0十bcos0)i,我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向 旋转0的变换称为旋转角是0的旋转变换.设点A(a,b)经过旋转角是0的旋转变换得 到的点为A'(a',6,且旋转变换的表达式为0acos0-bsin0, 曲线的旋转变换也 b'=asin 0+bcos 0. 如此，比如将“对勾”函数y=x十上图象上的每一点绕原点逆时针方向旋转智得到双曲 y2 线： -=1. 2(2+1)2(2-1) (1)求点（一1，一√3）经过旋转角是”的旋转变换得到的点的坐标： (2)求曲线xy=1经过旋转角是的旋转变换得到的曲线方程； A 学科素养周测评（十一）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十一）数学第4页（共4页）