周测评(十)函数的应用-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（A版）

·数学· 参考答案及解析 又2-6+2,-=-×8=-，即+ π π 所以AB=OB-OA=30cosa-10√3sina. 则S(a)=BC·AB=30sina(30cosa-103sina) (18分) =3003(3 sin acos a-sin'a) 故f,+）=f(-）=n(否）十 =1503 (3 sin 2a+cos 2a-1) 37 =0o5停na+s2a》 2=4 (20分) 30,5sin(2a+君）-150F,0<a<5 即Sa)=30w3m(2a+）-150w3,0Ka<行 62 元2 (14分) y=3-2m y=sin x (3)由(2)知，S(a)=3003sin(2a+8)-1503, 12.解：(1)由题意，∠MON= 3,扇形半径即OM= 0<a< 30m, ×号×302-150xm. 1 故后<2a+<， 则扇形OMN的面积为 (6分) 则当2a+6=,即a=6时，Sa)a=150月m (2)在Rt△OBC中，BC=30sina,OB=30cosa, 故当a=时，Sa)取最大值，最大值为1503m. 在Rt△OAD中，AD=BC=30sina,则OA= 6 (20分) AD√3 3X30sin a-10/3sin a, (8分) 2025一2026学年度学科素养周测评（十）】 数学·函数的应用 一、选择题 1.C【解析】对于A,因为y=e>0,所以不存在零 3D【解折】由随意，m女》=如x-。 点，故A错误；对于B,令y=√x十2=0，解得√元 2cosx,即sin(x十 =一2，没有实数解，所以不存在零点，故B错误； 对于C,令y=一log5x=0,解得x=1,所以零点 为1，又y=一log5x=log2x,所以y=-log5x在 (0,十∞)上为增函数，故C正确；对于D,y= 红+2kπk∈D,解得x=2kπk∈ZD或x3 (x-2)2在(2，十∞)上单调递增，在(-∞，2)上 单调递减，故D错误. 2∈五，又x∈0,2，所以x=0减号或2x 2.A【解析】由f(x)=ax十3在区间(-1,2)内存 S-1 In N1 2.85 In N2 3 在零点，得f(-1)·f(2)=(3-a)(2a+3)<0, 4.C【解析】由题意得 -1=3,8,即nN,=4, 解得a>3或a<-,所以a>3”是“通数fc) In N2 即4lnN2=3lnN1,即lnN=nN,即N=N. ax十3在区间（一1,2）内存在零点”的充分不必要 5.D【解析】由题意，f(x)的图象上存在关于y轴 条件. 对称的点，则y=x十2与y=ln(a一x)的图象在 ·21· A 真题密卷 学科素养周测评 x<0上有交点，即x+2=ln(a-x)在x<0上有 C,因为f(-x)十f(x)=(-x+1)2· 解，可转化为a=x十e+2在(-∞，0)上有解.令 （一x-2)十(x十1)2(x-2)=一4，所以f(x)的图 g(x)=x+e+2,x∈(-o,0),则g'(x)=1十 象关于点(0，一2)中心对称，故C正确；对于D,当0 e+2>0,故g(x)在(-∞，0)上单调递增，所以 <x<1时，f(x)单调递减，又当0<x<1时，x> g(x)<g(0)=e2,且当x→-∞时，g(x)→ x2,所以f(x)<f(x),故D错误. -∞，所以g(x)∈(-∞，e2),故a<e2,又a-x 8.AD【解析】因为AM=3=5cosa+2.5sina >0恒成立，所以a≥0.综上，实数a的取值范围 2.5,所以10cosa十5sina=11,构造对偶式，可得 为[0，e2). 6.A【解析】依题意得b=cosa,d=cosc= (10cos a+5sin a=11, cos a=m+11 20 得 [0≤a≤3π， 10cos a-5sin a=m, 11-m easx-）=-cas 解得 sin a=10, 10<3x-≤3x, 由coa十sna=l,可得cosa-2或casa=台， 24、 0≤a≤3，所以g(a)=b-2d=cosa+2cos a 又aE(倍，》，所以csa=手，故A正璃B错 4 2cas2+2os2-1.令1=os2,则t∈[-1,1， 误；改造后停车位数为(80-3一2)÷名十1=25 因为y=22+21-1在(-1，-2)上单调递减， 改造前停车位数为80÷5=16，该路段改造后的停 在(-子，1上单调递增，又y=c0s号在(0，）上 车位比改造前增加9个， 三、填空题 单洞递减且y=c0s2∈(-2,1小，此时外函数单 9.3【解析】由题意f(x)是偶函数，且x2+十 4 调递增=c0s号在t(传，2x)上单调递减且y -1+-2e41·有- 4 c0s2∈(-1，-号)，此时外画教单调道减：y 一2+1即x=士1时等号 4 =3,当且仅当x2十1= c0s号在(2x,）上单词道增且y=c0 a 成立，因为f(x)的图象与直线y=3有两个交点， 所以a的最小值为3. (-1,-号)，此时外画数单调运减y=c0s2在 10.e3【解析】根据题意作出函数y=f(x)的图象 如图所示： (3)上单调递增且y=c0s号∈(-20小，此 时外函数单调递增，所以ga)在区间(0，智）， (包x,）上单调道流. =2 0 二、选择题 =/x) 7.BC【解析】对于A,令f(x)=(x十1)2(x-2)= 0,解得x=一1或x=2,所以f(x)有两个零点， 由题意可知y=a与y=f(x)有三个交点，则2 故A错误；对于B,由f'(x)=2(x+1)(x一2) <a≤3，此时-2≤x1<-1<x2≤0<e2<x3≤ +(x+1)2=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,解得x e3,且x1十x2=-2,所以x3(x1十x2十lnx3)= =-1或x=1.当x<-1或x>1时，f'(x)>0,即 (-2+a)e,令g(a)=(-2+a)e(2<a≤3)， f(x)在(-∞，-1)，(1，十∞)上单调递增；当一1< 则g'(a)=(-l十a)e>0恒成立，所以g(a)在 x<1时，f'(x)<0,即f(x)在（一1,1）上单调递 (2,3]上单调递增，则g(a)的最大值为g(3)= 减，所以x=1是f(x)的极小值点，故B正确；对于 e3,即x3(x1十x2十lnx3)的最大值为e3 A ·22· ·数学· 参考答案及解析 四、解答题 由g'(x)<0,得x<ln2,g(x)单调递减；由 11.解：(1)假设一次性投放9瓶，可持续净化x小时， g'(x)>0,得x>ln2,g(x)单调递增， 则9a·1-10%)≥3a(x≥0，所以0.9≥ 1 且g(-1=2>0,g0)=-1<0, (4分) 所以g(x)在（一1,0）内有且仅有一个零点，设为x1; 1 两边取常用对数得x·lg0.9≥1g3, (5分) 又g(√2)=e2-2W2-2≈-0.71<0，g(3)= 1g3 所以x≤1-2g3≈10.4， e5-2√3-2≈0.19>0， 因为10.4<12，所以不能达到净化目的，最多可 所以g(x)在(2,3)内有且仅有一个零点，设 净化10.4小时. (8分) 为x2 (8分) (2)设第一次投放n瓶，第二次投放(9一n)瓶，n 当x1<x<x2时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当 ∈N*且n<9, x<x1或x>x2时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 依据题意得 所以∫(x)有两个极值点，且分别在区间 na(1-10%)≥3a, （-1,0)和（√2,5）内. (10分) a(1-10%)12+(9-n)a(1-10%)6≥3a, f(x1)=e1-x-2x1+a>0, (14分) (2)解：依题意， f(x2)=e2-x-2x2+a<0, 3 由第-个不等式可得n≥0，g≈5.7， (16分) f(x)=e-2x-2=0即 |e1=2x1+2, 而 f'(x2)=e2-2x2-2=0,le2=2x2十2， 9×0.96-3 由第二个不等式可得n≤0,9°二0.9≈7.1， (13分) (18分) 2x1十2-x1-2x1十a>0, 因此 所以5.7<n<7.1. 2x2+2-x-2x2十a<0, 又因为n∈N*,所以n可取6或7. a>x-2, 解得 (16分) 所以两次投放可能的投放方案为第一次投放6 a<x-2, 瓶，第二次投放3瓶；或第一次投放7瓶，第二次 由x1∈(-1,0)，x2∈(2，W3), 投放2瓶. (20分) -2<x-2<-1, 12.(1)证明：f(x)=e-x2-2x十a,求导得f'(x)= 得 且a为整数，则a=一1或0， 0<x号-2<1， e-2x-2, 故整数a的值为一1或0. (20分) 令g(x)=f'(x)=e-2x-2,则g'(x)=e-2, (2分) ·23· A把答景受给时间，把行动留给自己 密 2025一2026学年度学科素养周测评（十） 班级 爸题 数学·函数的应用 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 A 后劉 c悟劉 D.(2π，3x》 得分 是符合题目要求的。 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 2 答案 题号 7 答案 1.下列函数中，在区间(0，十∞)上是增函数且存在零点的是 ( 7.设函数f(x》=(x十1)2(x一2)，则 ( A.y=e B.y=√F+2 C.y=-logix D.y=(x-2) 2.“a>3”是“函数f(x)=ax十3在区间(-1,2)内存在零点”的 A.f(x)有三个零点 B.x=1是f(x)的极小值点 () C.f(x)的图象关于点(0，一2)中心对称D.当0<x<1时，f(x)>f(x) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.某校南门前有条长80m,宽8m的公路（如图矩形ABCD),公路的一侧有16个长5m, 宽2.5m的停车位（如图矩形AE℉G),由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学校 3.方程sim女-》=sinx一血在区间0,2幻内根的个数为 ( ) 提出一个改造方案，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边 A.0 B.1 C.2 D.3 绿化带及改变停车位方向来增加停车位数量，记绿化带被压缩的宽度AM=3m,停车 4.生物丰富度指数d一 N是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流中生物 -1 位相对道路倾斜的角度∠EAM=a,其中a∈（后，），则 () 种类数和生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生 绿化带 绿化带 物种类数S没有变化，生物个体总数由N,变为N:,生物丰富度指数由2.85提高到 3.8,则 () 汽车通道 汽通道 A.3N1=4N B.3N2=4N C.N=N D.N=N 图政造前 图2改造后 (In(a-x),x<0, 5.已知函数f(x)= 的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值 2-x,x≥0 A.cos a=5 范围为 () 3 A.(-∞，e) B.(-c∞，e2) C.[0,e) D.[0,e2) B.cos a=5 6.已知甲、乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是∫(x)=c0sx(0≤x≤3)的图 C.该路段改造后的停车位比改造前增加8个 象，某日小明和小红分别从甲、乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时， D.该路段改造后的停车位比改造前增加9个 小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为(a,b),小红行走轨迹的点记为(c,d),且 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 满足？十c=3x,函数ga)=b-2d,则ga)的一个单调递诚区间为 4 () 9.若函数f(x)=x2十 中的图象与直线y=a最少有两个交点，则a的最小值为 学科素养周测评（十）数学第1页（共4页】 真题密卷 学科素养周测评（十）数学第2页（共4页） x2+2x+3,x≤0， 12.(20分)已知函数f(x)=e--x2-2x十a. 10.已知函数f(x)= 若存在实数x1,x,x,且x1<xg<x,使得 1nx,x>0, (1)证明：f(x)有两个极值点，且分别在区间（一1,0）和(2,3)上. f(x1)=f(x2)=f(xa)=a,则xa(x1十xg十lnx:)的最大值为 (2)若f(x)有3个零点，求整数a的值. 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤。 参考数据：eF≈4.11，e≈5.65,3≈1.73，√21.41. 11,(20分)某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为4，投放 后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低 于3时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空 气净化剂. (1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的？如果能，请说明理由： 如果不能，最多可净化多长时间？（精确到0.1小时） (2)如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为 达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案，（每次投放的瓶数为整数，投放用 时忽略不计) 参考数据：lg3≈0.477,0.9≈0.53. 学科素养周测评（十）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（十）数学第4页（共4页）