周测评(六)一元函数导数的综合应用-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（A版）

·数学· 参考答案及解析 (2)因为x--2nx-1+a≥0对Yx∈[1， (2)(i)由题可知g(x)=-2+(a+1)e-ax 十∞)恒成立， -3,则g'(x)=-e2x十(a十1)e2-a= 令g(x)=x-2-21nx-1十a,xc[1,+o∞)， -(ex-a)(e2-1), (8分) 令g'(x)=0,可得x=0或x=lna≥ln2>0, 则g)=1+是-是=-2红+a (9分) 22 当x∈(0，lna)时，g'(x)>0;当x∈(-∞，0)U (x-1)2+a-1 x2 (11分) (lna,十o∞)时，g'(x)<0, 所以g(x)在(0，lna)上单调递增，在(-∞，0)， 当a-1≥0，即a≥1时，g'(x)≥0恒成立，g(x) (lna,十∞)上单调递减. (12分) 在[1，十∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)=0 (i)由g'(m)=g'(n)=0,可得e",e”是关于x 恒成立，符合题意. (14分) 的方程一x2+(a+1)x-a=0的两个不同的 当a-1<0,即a<1时，令g'(x)=0,得x=1+ 实根， √1-a,当x∈(1,1+√1-a)时，g'(x)<0, 故e"e=a,e"+e=a十1，即m+n=lna.(14分) g(x)单调递减；当x∈(1十√1一a,十∞)时， g(m)+&(x)--(+e)+a+ g'(x)>0,g(x)单调递增，故g(x)mn=g(1十 √1-a)<g(1)=0,与题意不符，舍去.(18分) e)-am+m)-6=-2a+1r-2a]+ 综上，a的取值范围为[1，十∞). (20分) 12.解：(1)由题可知f(x)=e2-2x-2, (a+1)-alna-6-j(a+1)++a-ala-6, 则f'(x)=e2-2, (16分) 当x<ln2时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x> h (a)=(a+1):fa-alna-6, ln2时，f'(x)>0,f(x)单调递增，所以f(x)mim 当a≥2时，h'(a)=a-lna+l>0,所以h(a)在 =f(1n2)=-2ln2<0, (3分) [2,十∞)上单调递增， 1 又f(-1)=÷>0,f(2)=e2-6>0, e 所以ha)的最小值为h(2)=2-2n2, 即f(x)在(-∞，ln2)和(In2,+∞)上各有1 个零点，所以f(x)有2个不同的零点.(6分) 即g(m)十g(n)的最小值为2 -2n2.(20分) 2025一2026学年度学科素养周测评（六）】 数学·一元函数导数的综合应用 一、选择题 错误；对于C,不能确定零点的个数，故C错误；对 1.A【解析】由f(x+1)=(e一ex)sinx两边分别 于D,f(x)有两个极值点，故D错误。 求导，得f'(x+1)=(e+ex)sinx+(e-ex) cosx,当x=0时，f'(1)=(e十e°)sin0十(e° BD【解标】了(x)=6c二+a-1 e°)cos0=0,所以f'(1)=0. 2.A【解析】根据f'(x)的图象可得： 6x2+a-1x-2,由f(x)在区间(1,2)上有最小 x 值，得f'(x)在区间(1,2)上有变号零点且在零，点 x (-0∞，0) 0 (0,3) 3 (3,十∞) 两侧的函数值左负右正，令h(x)=6x2十 f'(x) 正 0 令 0 (a-1)x-2,h(0)=-2<0,则h(x)在区间(1， 2)上有变号零点且在零点两侧的函数值为左负右 f(x) 增 极大值 壁 极小值 [△=(a-1)2+4×6X2>0, 对于A,因为f(x)在(0,3)上单调递减，所以 正，因此h(1)=6十a-1-2<0, 解得一10< f(1)>f(3),故A正确；对于B,-1,2在不同的 h(2)=6×4+2(a-1)-2>0, 区间，都比f(0)小，但不能比较它们的大小，故B a<-3. ·11· A 真题密卷 学科素养周测评 4.B【解析】由命题“3x∈(0，十o∞)，使a≤logax In b 6 In c 成立”是假命题，可得命题“Hx∈(0，十∞)，都有 1n1i'c=n12所以alna=81n10,bln6= a>-logax成立”为真命题，显然a>l,如图所示， 71n11,clnc=6ln12,即f(a)=g(10),f(b)= v=a g11),fc)=-g12,g'r)=-1nx+18-1, 2 显然g'(x)在[10，十∞)上单调递减，g'(x)≤ g'(10)<0,所以g(x)在[10，+∞)上单调递减， v=log x 所以g(10)>g(11)>g(12),即f(a)>f(b)> f(c),又f'(x)=lnx十1，当x>1时，f'(x)> 0,所以f(x)在(1，十∞)上单调递增，所以a> 因为y=a2与y=logx的图象关于直线y=x对 bc. 称，故可转化为a2>x,两边取以e为底的对数， 二、选择题 可得lna2nx,所以lna>.令g)= 7.ABD【解析】对于A,f(x)的定义域为R,且 f(-x)=ex-e2十2x=-f(x),故f(x)为奇 x>0,则g)=1-h工，当x∈0，e)时， x2 函数，故A正确；对于B,f'(x)=e十ex-2≥ g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(e,十∞)时， 2√e·e-2=0,故f(x)在R上单调递增，故 g'(x)<0,g(x)单调递减，所以g(x)mx= B正确；对于C,由B知，f(x)在R上单调递增，无 g⊙=日所以1na>日解得a>e. 最小值，故C错误；对于D,由B知，f(x)在R上 单调递增，当x>0时，f(x)>f(0)=0,故D 5.C【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),三次函数为 正确. y=ax3+bx2+cx十d,可得y'=3ax2+2bx+c, 8.AC【解析】因为f(x)=f(6-x),所以 设f(x)=3a.x2+2bx十c,可得f'(x)=6ax+ f(x)的图象关于直线x=3对称.令x=一2，得 26,因为A,B为极值点，所以x1十1= 2b f(-2)=f(8),故A正确；因为f(x)= 3a f(6-x),所以f'(x)=-f'(6-x),即g(x)= x1x2=3a,令f'(x)=6ax+2b=0,可得f(x)在 -g(6-x),所以g(4+x)=-g(2-x),因为 g(4+x)=g(4-x),所以g(4-x)=-g(2-x), x=一处取得极值，将工x=一6 3a 代入f(x),可 即g(x十2)=-g(x),所以g(x十4)=-g(x十2)= g(x),则g(x)的一个周期为4.因为f(x)的图象关 、得226士c1,所以c=1+2,则2= 于直线x=3对称，所以x=3是∫(x)的一个极值点， a(x-x)+b(x-x)+c(x1-x2)=40,即 所以g(3)=f'(3)=0,所以g(-1)=g(3)=0, a(x1-x2)(x+x1x2十x)+b(x1-x2)(x1十x2) 则g(-1)十g(3)=0,故B错误；由g(x十2)= +c(x1一x2)=40, -g(x),得g(1)+g(3)=0,g(2)+g(4)= 0,即g+g②+g③)+g④=0，所以驾g@ =506[g(1)+g(2)十g(3)+g(4)]+g(1)= 即(x1一x2) +1】 =40,可得 g(1)=0,故C正确；设h(x)=f(x)十c(c为常 数)，定义域为R,则h'(x)=f'(x)=g(x), 3(x1一x2)=40,解得x2-x1=60,即A,B两 h(3+x)=f(3+x)+c,h(3-x)=f(3-x)+ 点在水平方向的距离约为60m. c,又f(3十x)=f(3一x),所以h(3+x)= 6.B【解析】设f(x)=xlnx(x>l),g(x)= h(3-x),显然h(x)=f(x)十c也满足题设，即 18-x)nx(x≥10)，图为8=na,7 f(x)上下平移均满足题设，显然f(0)+f(4)的 a=n106 值不确定，故D错误. A ·12· ·数学· 参考答案及解析 三、填空题 h(x)单调递减， 9.2【解析】由f(x)=3,求导得f(x)= 即h(x)≥h(ln(a+1))=(a+1)-(a+1)ln(a+ 3x 1)-b≥0， 1 红·3x-3x-3》x2+因为x>0故型 即(a+1)-(a+1)ln(a+1)≥b, (14分) 9x2 所以(a+1)2-(a+1)21n(a+1)≥b(a+1), ≥2，当且仅当x=士1时等号成立，即当P 1 令m(x)=x2-x2lnx,则m'(x)=x-2xlnx =x(1-2lnx), 点坐标为1，)或(-1，）时，曲窥y=f) 易知当x∈(0W)时，m'(x)>0,m(x)单调递增； 在P点处切线的斜率取得最小值2 当x∈(，+o∞)时，m'(x)<0,m(x)单调递减， 10.8√3；9√3【解析】设∠FEP=∠FEB=0,EF 即mx)≤m(g)-, (18分) =l,则FP=BF=lsin0,又因为∠AFP=20,所 以AF=FP·cos20=lsin0cos20.又由 所以≥a+12-a+11na+1)≥6a+1), AF+BF=lsin0cos20+lsin0=12,解得L= n901十s20若0吾，则1=16，所以Fp= 12 当且仅当a+1=e,b=(a+1)-(a+1)ln(a+1)= e 16in石=8，所以AF=4,AP=45,所以 时6a+1Dn-受 所以6a十1D的最大值为号 (20分) △FAP的面积为4X4v5×号=85cem.因为L 12.(1)解：依题意可知，f(0)=0,R(0)=a,因为 12 sin0(1+cos20),所以1= 12 f(0)=R(0),所以a=0, (1分) sin0×2cos20 6bx+3x2 1 6 sin0X(1-sin20)令y=t-t(0<t<1),则y 此时R(x)=g,因为f'(x)=十2 R'(z)=18-6b)x2+36x+36b =1-30(0<1<10,当1o,）时，y>0,y (x2+6x+6)2 所以f'(0)=1,R'(0)=b, 单朔运增：当：∈停1)时<0y单羽是减， 因为f'(0)=R'(0),所以b=1. (4分) (2)证明：依题意，h(x)=f(x)-R(x)=ln(1+ 所以当t= √3 ,故1a=95cm 23 时，ymax= 3.x2+6x x)- x2+6x+69 四、解答题 11.解：(1)由题意得f'(x)=e-a-x,由f'(x)≥0， h'(x)= 112(x2+3.x+3) 1+x(x2+6x+6)2 可得e2-x≥a, (1分) 令g(x)=e-x,故g'(x)=e-1, -(1+x)(z+6z+6)20, 故当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x> 故h(x)在(-1，十∞)上单调递增， (6分) 0时，g'(x)>0,g(x)单调递增， (4分) 由h(0)=0,故Vx∈(-1,0)，h(x)<0;Vx∈ 所以g(x)≥g(0)-1,则a≤1， (0,十∞)，h(x)>0 即实数a的取值范围为（一∞，1]. (6分) 综上，Hx>-1,xh(x)≥0. (8分) 1 (2)若fx)≥-2x2+x+b,则e-a+1)x (3)证明：不妨设x1<x2<x3,令t(x)=lnx -b≥0， 》 令h(x)=e-(a+1)x-b, 则h'(x)=e-(a+1), (7分) )=0+）-->0. 若a≤-1，则h'(x)>0,h(x)在R上单调递增，当 当λ≤0时，t'(x)>0,此时t(x)单调递增，t(x) x→-∞时，h(x)→-∞，不符合题意；(10分) =0不存在三个不等实根； (10分) 若a>-1,则当x>ln(a+1)时，h'(x)>0, 当λ>0时，令s(x)=一入x2十x一入，其判别式 h(x)单调递增；当x<ln(a+1)时，h(x)<0, △=1-4λ2， ·13· A 真题密卷 学科素养周测评 若△=1-以≤0，即入≥分，则s(x)0恒成立， 又因为()=n是-a(侵-)=-nx+ 即t'(x)≤0恒成立，此时t(x)单调递减，t(x)= 0不存在三个不等实根； -2）=-), 若4=1-1>0，即0<<，则'(x)=0存 故存在c,=】,满足txg)=0, 在两个不等正实根r1,r2(r1<r2), 放当且仅当0<A<2时，nx=X(女-)存在三 此时有当x∈(0，r1)时，t'(x)<0,t(x)单调递 减；当x∈(r1,r2)时，t'(x)>0,t(x)单调递增； 个不等实根，且满足x1<2=1<3,且x二 当x∈(r2,十∞)时，t'(x)<0,t(x)单调递减， 又t(1)=0,且t'(1)=1-2λ>0，故t(x1)<0, (17分) t(r2)>0. (13分) 由(2)可知，当>0时，n(1+x)>36, 因为lnx<x-1(x≠1)，所以ln 2<-1, 因此hx>7（>,故n, 即1nx>2 2 、3x号-3 x37 所以a)=lnx->2是+是 化简可得<好十中1 =2-)+(及-2小>0， x2十x3+3, 所以3x1∈(4，r1),满足t(x1)=0, (15分) 圆此十>1命数得证 (20分) 3 2025一2026学年度学科素养周测评（七） 数学·三角函数的概念及诱导公式 一、选择题 1.A〖解析】旅题意，B=女2必x+x<2十 π 3A【解析】在△ABC中，若A-否，则sinA= 2反之，若sinA=2,且A∈0，，则A=5或 1 ∈ZU女2x+5<<2x+经，kez,所 A-做A=音是“A=召”的完分不必要 以AnB={d|2x+<x<2x+k∈Z 条件. 4.D【解析】由题意得，原式=sin2≈sin(2×57.3)= (2x+年，2kx+）,k∈Z sin(90°+24.6°)=cos24.6° 2.C【解析】若。为第二象限角，当。=7时，可得 5.D【解析】因为cosa一sinB-号，所以cmsa 8 4,p1-2 sin=是，所以sin acos sin a)2=1 1 -7不在第回象限，此时sin2a<0,6a0s2a>0,放 2a= 8,所以sin ac0s。3 3 sin2a十cos2a-8,得1+tan'a=3,解 3 A,B错误：当a37时，可得sim8十0s&-园 2 得tana= 3或tana=4- 3,因为a∈(0， (》 =0,故D错误；由a为第二象限角可 1 x),且cosa-sina= 2>0,所以a∈(0，买)，所以 得sina>0,cosa<0,所以sina-cosa>0,故C 4-√7 正确 0<tana<l,所以tana= 3 。14·笔尖刻下的不是字，是未来的轮廓 2025一2026学年度学科素养周测评（六）》 5.某游乐场一段滑水道的示意图如图所示，A点和B点分别为这段滑道的起点和终点，它 班级 卺题 们在竖直方向的高度差为40m.两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函 数学·一元函数导数的综合应用 数图象的一部分（该三次函数在A,B两点处取得极值），考虑到安全性与趣味性，在滑 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 道最陡处，滑板与水平面成45°夹角，则A,B两点在水平方向的距离约为 得分 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 B 题号 1 6 答案 A.30m B.40m C.60m D.120m 1.若函数f(x)满足f(x+1)=(e-e)sinx,则f'(1)= 8 In a 7 In b 6 In c A.0 B.1 6.已知a,bc∈a,+o),。n10'方ni2n2则 C.2 D.-1 A.c>b>a B.a>b>c 2.函数f(x)的导函数f'(x)的部分图象如图所示，则 C.b>c>a D.c>a>b 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 2 8 答案 A.f1)>f(3) B.f(-1)<f(2) 7.设函数f(x)=e一ex一2x,x∈R,则 C.f(x)有三个零点 D.f(x)有三个极值点 A.f(x)是奇函数 B.f(x)在R上是单调函数 3.已知函数f(x)=3x2-21nx+(a-1)x+3在区间(1,2)上有最小值，则实数a的取值 C.f(x)的最小值为1 D.当x>0时，f(x)>0 范围是 () 8.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,函数g(x)=f'(x),对Hx∈R, A.(-3,十) B(9-1o) f(x)=f(6一x),g(4十x)=g(4一x),则 () A.f(-2)=f(8) B.g(-1)+g(3)=2 c(9- D.(-10,-3) c罗e-0 D.f(0)+f(4)=2 4.若命题“3x∈(0，十o),使a'≤logx(a>0且a≠1)成立”是假命题，则实数a的取值 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 范围是 () A.a>e B.a>e 具.已知P为函数：)-3图象上一点，则曲线y=:)在P点处切线斜率的最小值 C.1<a<et D.I<a<e 为 学科素养周测评（六）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（六）数学第2页（共4页） 10.在数学建模探究课上，某小组同学将一张矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落 12.(20分)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法， 在矩形的左边上（如图所示，其中AB=12cm,若∠FEB-吾，则△FAP的面积 在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义 是cm.随着点P的位置不同，折痕EF的长度在改变，其最小值是cm. 为：R(x)=a十ax十…十amx" 1+61x++6.x,且满足：/(0)=R(0),f'(0)=R'(0),m(0)= R(0),…,fm+(0)=R+(0).其中f(x)=[f'(x)月'，f(x)=[fa四(x]',…, fm+n(x)=[fm+"-”(x)门'.已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[2,2]阶帕德近似为 1 atbx+2 R(x)= 1 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1+x+后x 11.(20分)已知函数fx)=e-ax-2x. (1)求实数a,b的值. (2)设h(x）=f(x）一R(x),证明：xh(x)≥0. (1)若f'(x)≥0，求实数a的取值范围； (2)若fx)≥-2x+x+b,求ba+1)的最大值 (3)已知x1x:x:是方程nx=女一）的三个不等实根，求实数入的取值范围，并 证明，工十x十x>1 3 学科素养周测评（六）数学第3页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（六）数学第4页（共4页）