周测评(二)一元二次函数、方程和不等式-【衡水真题密卷】2026年高三数学学科素养周测评（A版）

若你决定灿姓，山无遥，傅无摇 2025一2026学年度学科素养周测评（二） 5.如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周牌算经 班级 “勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，用数学符号语言可将其表示为“若直角三角形 数学·一元二次函数、方程和不等式 两直角边分别为a,b,斜边为c(a,b,c均为正数)，则(a+b)2=4ab+(b-a)2,(a十b)2= 姓名 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 2c2一（仍一α）2”，某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他 得分 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 用一段长6cm的软钢丝作为a十b的长度（制作其他边长的软钢丝足够用），请你帮他 是符合题目要求的。 算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为 ( 题号 1 2 3 5 6 答案 x-1 1.不等式z—2x十3<0的解集为 ( A.R B.{x|x>1} A.9 cm2 B.18 cm2 C.(lx<1) D.{x|x<-1} C.27 cm2 D.36 cm2 2.设，y∈R,且满足3<y≤8,4<号<9，则二的最大值为 6.已知关于x的不等式(x一2a)[x2一(2a十1)x+1门≥0对Vx>0恒成立，则实数a的取 A.12 B.18 值范围是 () C.24 D.27 A-8<a<0 3 1 B.-2<a<2 3.若a>0,b>0,则“a+B≤2”是“a十b≤1"的 () C.a≤0 A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 D.as-g C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 4.当x>0,y>0时，≥，这个基本不等式可以推广为当c>0,y>0时，江+w≥ 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 2 题号 7 8 xy,其中入十红=1且入>0，H>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，x十y≈ 答案 ,用这个式子估计，而可以这样操作，10×9≈号×10 2×9 2,则v10≈ 6 7.已知a>b>c,且2a十b+c=0,则 3.167.用这样的方法，可得28的近似值为 () A.a>0,c<0 B.+<-2 a c A.3.033 B.3.035 C.3.037 D.3.039 C.a十c>0 D.at2e a+6-1 学科素养周测评（二）数学第1页（共4页） 真题密卷 学科素养周测评（二）数学第2页（共4页） &已知正实数a,6e,且a>6>c2∈N,则满足。兰6十6之。十：二。>0恒成立的2 12,(20分)1已知e,6都是正数，且a十b=1,求+名的最小值 y,名可以是 () (2)设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是2L,回答下列问题： A.x=1,y=1,z=4 B.x=1,y=2,z=5 ①当封闭曲线为平行四边形时，用直径为L的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行 C.x=2,y=2,z=7 D.x=1,y=3,x=9 四边形？请说明理由」 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 ②证明：当铁丝围成的四边形是正方形时，面积最大. 9.已知集合{x|(x一a2)(x一1)=0)的元素之和为1，则实数a的值为 10.函数「(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，人们习惯称其为“取整函数”，例 如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，若[x[x]=10,则x的取值集合是· 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 11,(20分)已知函数f(x)=kx一(2k十1)x十2. (1)若不等式f(x)<0的解集为(z|1<x<2},求f(x)的表达式： (2)解关于x的不等式f(x)<0. 学科素养周测评（二）数学第3页（共4页】 真题密卷 学科素养周测评（二）数学第4页（共4页）真题密卷 学科素养周测评 四、解答题 (2)设A={a1,a2,a3,a4,a5},不妨设0<a1< 11.解：(1)B={x2x2+x-3>0} x<- 3或 a2<a3<a4<a5, 因为a1a2<a1aa<a1a4<a1a5<a2a5<a3a5< x>1}, (2分) a4a5,所以B中元素个数大于等于7个.(8分) 根据充分不必要条件的定义可知AB,(5分) 又当A={21,22,23,24,25}时，B={23,24,25, 所以m十1长-或m, 1 (8分) 2,2?,2,2},此时B中元素个数等于7个，所以 积集B中元素个数的最小值为7. (12分) 解得m<一2或m之2 5 3 (10分) (3)不存在. (13分) 理由如下：假设存在4个正实数构成的集合A= (2由1)可知，CB=-≤x≤1，则集 {a,b,c,d},使其积集B={2,4,5,8,10,16}, 合C.B中含有整数元素-1,0,1， (13分) 不妨设0<a<b<c<d,则集合A的积集B= 由集合A∩(C.B)中只含有两个整数元素且这 ab,ac,ad,bc,bd,cd, 1 则必有ab=2,cd=16,其4个正实数的乘积 两个元素非负可知 -1≤m-2<0, (17分) abcd=32; (16分) m+1>1, 又ac=4,bd=10,其4个正实数的乘积abcd= 解得0<m<2 1 40,矛盾， (20分) 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集 12.解：(1)因为A={1,2,4,8},故集合B中所有可 合A,使其积集B={2,4,5,8,10,16}.(20分) 能的元素有1×2,1×4,1×8,2×4,2×8,4×8， 即2,4,8,16,32，所以B={2,4,8,16,32}. (5分) 2025一2026学年度学科素养周测评（二） 数学·一元二次函数、方程和不等式 一、选择题 x-1 4C【解折】候题意，28时×27≈号×28号×27 1.C【解析】由x2-2x+3>0,x2二2z十3<0，得 x-1<0,解得x<1. -2则as*影≈.037. 2.D【】南y8号长又 5.B【解析】由题可知a十b=6,a>0,b>0,则a十 b≥2√/ab,即6≥2√Jab,ab9,当且仅当a=b=3 ≤9，所以16≤ y≤81，所以1 y2大 时，等号成立.又“赵负孩图”的西积为4X6十 <号×81，即2 27,所以的最大位为2之 (a-b)2=(a+b)2-2ab=36-2ab≥36-2×9= 18,当a=b=3时，等号成立，即该同学能制作出 3.B【解析】当a=b=1时，a十√b≤2成立，而 来的“赵爽弦图”的最小面积为18cm2. a十b≤1不成立，故“a+√6≤2”不是“a+b≤1” 6.C【解析】对于函数y=x2-(2a+1)x+1,△= 的充分条件；当a+b≤1时，有a十b≥2√ab,当 (2a+1D-4,令4=(2a+1)-4长0，甲-2≤ 且仅当a=b时等号成立，则√a十√b= 1 √(Wa+b)=√a+b+2wab≤√2(a+b)≤√2 a≤2，满足y=x2-(2a十1)x十1≥0恒成立，因 ≤2，故“√a十√石≤2”是“a十b≤1”的必要条件.综 光只需2a<0,即a0,所以-<a<0.令4 上，“√a+√万≤2”是“a十b≤1”的必要不充分 条件. 2十1-0，甲a>号或a<-2说方程x A ·2· ·数学· 参考答案及解析 (2a+1)x十1=0的两根分别为x1,x2,则x1十x2= 成立；对于D,当x=1,y=3,之=9时， 2a十1，=1.当a>2时，方程x2-(2a十1)x十1 (√x+√y)2=4十23<9=，不成立. =0有两个正根，3x>0,使得(x-2a)[x2-(2a+ 三、填空题 9.0,1或-1【解析】由题意得，当(x-a2)· 1Dx十1门<0，不特合题意，合去：当a<-时，方 (x-1)=0有等根时，可得x=a2=1,即a=士1； 程x2-(2a十1)x十1=0有两个负根，因此只需2a≤ 当方程有两个不相等的实根时，x=a2=0,即a= 0,即a0,所以a<-符合题.综上，aS0 0.综上，实数a的值为0,1或-1. 二、选择题 10女智≤x<号【解析】由“取鉴函数”的定义 7.ABD【解析】对于A,因为a>b>c,且2a+b+ 可知[x]≤x,又[x[x]]=10,所以10≤x[x]< c=0,若c≥0，则a>b>c≥0，则2a十b十c>0,不 11,易知x≠0. 符合题意，所以c<0;若a≤0，则0≥a>b>c,则 当x>0时，0≤[x]≤x,所以0≤[x]2≤x[x], 2a十b十c<0,不符合题意，所以a>0.综上所述， 又10≤xx]<11,所以[x]2<11,所以[x]< a>0,c<0,故A正确；对于C,因为a>b>c,所 以a+b>a+c,可得2a+b+c>2(a+c),即0> √1I,所以[x]≤3，所以0<x<4,由0≤x]≤ 2(a十c),可得a十c<0,故C错误；对于B,由A、C x,得0≤x[x]≤x2,所以x2≥10，所以x≥ 可知，a>0>c,且a+c<0,得(a十c)2>0,即a2 √10，所以√10≤x<4①，所以[x]=3,所以10≤ 十c2>-2ac,且ac<0,所以C+a<-2,故B正 <所u9≤r号@，0号<号 确；对于D,因为(a十2c)+(a十b)=(2a十b+c) 当x<0时，[x]≤x<0,所以[x]≥x[x]>0, 十c=c<0,可得a十2c<-(a十b),又因为2a十b 又10≤x[x]<11,所以[x]≥10，所以[x]≤ +c=(a十b)+(a十c)=0,可得a+b=-(a+c) 一√10，所以[x]≤-4，所以x<-3,由[x]≤ >0,所以0十2c 以a十6<-1，故D正确。 x<0,得x[x]≥x2>0,所以x2<11,所以 8.BC【解析】由题意，a-b>0,b-c>0,a-c 一√1I<x<0,所以-√I<x<-3③，所以 >0,则6+”。+产。>0恒成立，即 [x]=-4,代入10≤x[x]<11,得10≤-4x< c-a 。。十)”。>。产6成立，两边月乘a-6=a 1,即-<x<-，由⑩得x∈. -6+6-c,则a-b+6-c)(6+62)> 四、解答题 ,而a-6+6-)(6产)=+y十 11.解：(1)因为f(x)<0的解集为{x1<x<2}, 所以1,2是方程∫(x)=0的根且>0，(2分) x6-c)+ya-)≥x十y+2V网 2k+1 a-b b-c 1+2= =(反+)，当且仅当x6-)-=ya-b) 所以 解得k=1, (5分) 2 a-b b-c 1×2= 即号=份》时，等号成立，若兰6十产 所以f(x)=x2-3x十2. (6分) (2)当k=0时，f(x)=-x+2,因为f(x)<0, 十产。>0恒成立，则（匠十万）>恒成立. 所以-x+2<0,即x>2; (8分) 当k≠0时，f(x)=(x-2)(kx-1), 对于A,当x=1,y=1,之=4时，(WE+√)2=4 即x-2)x-1)<0,即k红-2)(e-君)<0， =x,不成立；对于B,当x=1,y=2,之=5 (10分) 时，（√元+√）2=3+2W2>5=之，成立；对于C, 当x=2,y=2,之=7时，(Wx+√)2=8>7=x, 当g<0,即<0时，z-2)(x-)>0,解得 ·3 A 真题密卷 学科素养周测评 >2或x<名 (12分) 为a,b,c,d, 当名-2，即及=分时，无解； (14分) 当0<<2，即>2时，解得名<x<2: (16分) 当名>2，即0<k<时，解得2<<行 1 由图可知，S△A=2dsin☑ABC≤2cd,当且仅当 (18分) 综上所述，当k<0时，不等式的解集为 ABC=90°时取等号，SAcm=)absin∠ADCS 女>2或x<引， 2b,当且仅当∠ADC=90时取等号， 当=0时，不等式的解集为{x|x>2}, 当0k<时，不等式的朝集为女2<<， 所以S盖影Acn≤，(ab+cd),当且仅当∠ABC =∠ADC=90°时取等号. (13分) 当k= 2时，不等式的解集为②， 同理Sm进BAc≤(bc十ad),当且仅当∠BAD 当>时，不等式的解集为名<<2小 =∠BCD=90时取等号， (20分) 所以Sno<a仙+c+od+ad)-a+e): 12.解：日+（+）a+6)-2++≥ a (6+d), 当且仅当∠ABC=∠ADC=∠BCD=∠DAB 2+2, ·号-4，当且仅当台=即a=6= a b =90时取等号， (16分) 2时取等号，所以+ 1,1 的最小值为4.(4分) a b (2)①解：能，理由如下： 设平行四边形的两邻边长分别为x,y,两对角线 a+b+c+d)°-(5)，当且仅当a=6=c=d 4 长分别为m,n,则有x十y=L, 时取等号， 由三角形两边之和大于第三边可知m<x十y= 所以SA≤（） ,当且仅当四边形是正方 L,n<x+y=L, 形时取等号， 又圆的直径为L,故圆形纸片能完全覆盖这个平 故当铁丝围成的四边形是正方形时，面积最大. 行四边形. (9分) (20分) ②证明：如图，任意四边形ABCD的各边长分别 2025一2026学年度学科素养周测评（三）】 数学·函数的概念与性质 一、选择题 2.C【解析】因为f(x-1)=(x-2)2-1≠f(1-x) 1.B【解析】由P={xy=√x+I}得P={x|x≥ =x2-1,而f(1-x)=f(1+x)=x2一1，所以 -1},由Q=(yy=x2}可得Q={yly≥0}，故Q二 P,其他都不正确 f(1+x)=f(1-x) 4