精品解析：陕西省咸阳市乾县第二中学2025-2026学年高三上学期第二次阶段性检测数学试题

乾县第二中学2025-2026学年高三第二次阶段性检测 数学试题 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：A. 2. 复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，得出，结合复数的概念，即可求解. 【详解】因为，可得， 所以，所以的虚部为. 故选：A. 3. 已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（ ） A. 只有2个 B. 至多3个 C. 只有3个 D. 至少3个 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点. 故选：D. 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 5. 化简（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：C 6. 已知函数满足对任意实数都有，且当时，则（ ） A. B. C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用双对称函数可推导出周期性，然后即可赋值求解. 【详解】由可得：， 又因为，所以， 则有，即函数的周期为2， 则， 故选：A. 7. 已知定义在R上的函数满足则等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数求得函数的周期，利用周期性代值计算即得. 【详解】由题设，当时，， 即当时，3是函数的一个周期， 则． 故选：C. 8. 已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设令，根据存在性将问题转化为在上有解，参变分离后可求实数的取值范围. 【详解】因为与的图像上分别存在点，使得关于直线对称， 令 则 即在上有解， 即在上有解 即在上有解， 设，， 则， 当时，，故在为增函数， 当时，，故在为减函数， 而， 故在上的值域为， 故 即， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合共轭复数和模的定义依次判断ABC选项；根据虚数无法比大小可判断D. 【详解】，故A正确； 的共轭复数为，故B错误； ，故C正确； 虚数无法比大小，故D错误. 故选：AC 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A、D应用特殊值比较大小判断；B由不等式性质判断；C作差法判断. 【详解】A：若，则，故A错； B：由，则，故B对； C：， 由，，故，则，故C对； D：若，则，故D错. 故选：BC 11. 函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先得到，再假设为正整数，利用累乘法求出的解析式，再验证不为正整数时，也符合题意.利用的解析式容易判断ABC，根据错位相减法求和可判断D. 【详解】令，得，代入，得， 令，可得，故A正确； 当为正整数时，， 所以， 所以，代入，得， 所以，又当时，也符合题意， 所以. ，故B正确； 所以， 令， 则， 所以， 所以，所以，故D正确. 因为当不为正整数时，也满足， 所以可取 此时，，即不成立，故C不正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛： 假设为正整数，利用累乘法求出，再验证不为正整数时，也满足题意是解题关键. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以． 故答案为： 13. 已知函数对定义域内的任意实数满足，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】先把x都化为2x，进行化简得到，再把x替换为得到，最后联立方程组求解即可. 【详解】由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故. 故答案为：. 14. 意大利画家列奥纳多达芬奇的画作抱银貂的女人中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为若直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点A处的切线，曲线在点B处的切线相交于点P，且为钝角三角形，则实数m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 求导得到函数的导函数，计算切线方程得到交点坐标，计算向量的数量积得到，均为锐角，为钝角，故，解得答案. 【详解】由题可知：，， ，则，， 则：， 同理：，故， 所以， 于是， 因为，所以， 所以，均为锐角，从而为钝角. 由得：， 故实数m的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了根据三角形形状求参数，属于较难题. 方法点睛： 当三角形中为钝角时，转化为； 当三角形中为直角时，转化为； 当三角形中为锐角时，转化为； 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边，分别与单位圆交于点A，B，已知，，，且点A的纵坐标为． （1）求的值； （2）求点B的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点坐标可直接写出、、，然后由诱导公式化简代数式后代入对应值即可求得结果； （2）利用诱导公式即可得到、，即可得到点B的坐标. 【小问1详解】 由题意可知：，则，，， 所以 【小问2详解】 由题意可知， ∴， ， ∴. 16. 已知正项数列满足：． （1）证明是等比数列，并求通项； （2）若，求数列的前项和的表达式． 【答案】（1） 由，得， 因为是正项数列，所以，即， 所以是公比为的等比数列，又，得， 所以. 故. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式； （2）根据错位相减法直接求数列的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以. 所以， 即， ， 所以 ， 所以. 故. 17. 现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加，如图，在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为x的正方形，高为y，体积为V. （1）求无盖长方体铁皮盒的表面积（用x，y表示）； （2）写出y关于x的函数关系式，并写出x的范围； （3）要使得无盖长方体铁盒的容积最大、对应的x为多少？并求出V的最大值. 【答案】（1） （2） （3）当时，取最大值，且最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用长方体表面积公式即可求得解果； （2）根据长方形的面积等于无盖长方体的表面积可得出关于的函数关系式， 结合实际意义可得出的取值范围； （3）求出关于的函数关系式，利用导数可求出的最大值及其对应的的值，即可得出结论. 【小问1详解】 设无盖长方体铁皮盒的表面积为，则 【小问2详解】 因为材料利用率为,所以，即； 因为长方形铁皮长为40，宽为30，故，综上，. 【小问3详解】 铁皮盒体积， 其中，，令，得，列表如下： + 0 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数在区间上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，且最大值为 18. 设数列的前n项和为．已知，． （1）求的值； （2）求证：为等差数列； （3）证明：对一切正整数n，有． 【答案】（1），； （2） 由，得， 当时，， 两式相减得，即， 整理得，而， 故数列是首项为，公差为1的等差数列. （3） 由（2）知，则， 当时，，原不等式成立； 当时，，原不等式成立； 当时，由，得， 因此 ， 所以对一切正整数，有. 【解析】 【分析】（1）根据给定递推公式，赋值计算即得. （2）根据给定的递推公式，结合变形，再利用等差数列定义推理得证. （3）由（2）求出，先验证的情况，当时，利用放缩法及裂项相减法即可推理得证. 【小问1详解】 数列中，， 当时，，而，则， 当时，，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得； （2）将函数有两个零点，转化为与有两个交点问题，利用导数研究并作出函数的图象，即得的取值范围； （3）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，时，时，； 当时，时，； 当时，时，；时； 当时，时；时； 综上，时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. 【小问2详解】 令得， 设，则， 当时，在上递减；当时，在上递增， 则. 又因时，时，作出函数的图象， 由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使， 即，故的取值范围是. 【小问3详解】 由得， 因，即得，（*）， 易得时，不等式成立， 设，， 则， 当时，，函数在上单调递增，故，（*）恒成立； 当时，设， 则方程有两根，，可得 当时，，则，在上单调递减； 又，所以当时，，不满足条件， 综上，的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题. 对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乾县第二中学2025-2026学年高三第二次阶段性检测 数学试题 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（ ） A. 只有2个 B. 至多3个 C. 只有3个 D. 至少3个 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 化简（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知函数满足对任意实数都有，且当时，则（ ） A. B. C. -1 D. 1 7. 已知定义在R上的函数满足则等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的共轭复数为 C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______． 13. 已知函数对定义域内的任意实数满足，则_________. 14. 意大利画家列奥纳多达芬奇的画作抱银貂的女人中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为若直线与双曲余弦函数与双曲正弦函数分别相交于点，曲线在点A处的切线，曲线在点B处的切线相交于点P，且为钝角三角形，则实数m的取值范围为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边，分别与单位圆交于点A，B，已知，，，且点A的纵坐标为． （1）求的值； （2）求点B的坐标． 16. 已知正项数列满足：． （1）证明是等比数列，并求通项； （2）若，求数列的前项和的表达式． 17. 现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加，如图，在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为x的正方形，高为y，体积为V. （1）求无盖长方体铁皮盒的表面积（用x，y表示）； （2）写出y关于x的函数关系式，并写出x的范围； （3）要使得无盖长方体铁盒的容积最大、对应的x为多少？并求出V的最大值. 18. 设数列的前n项和为．已知，． （1）求的值； （2）求证：为等差数列； （3）证明：对一切正整数n，有． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $