分层作业(26)圆锥曲线的综合问题(一)-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教B版）

所以|AB|=√1+k|x1-x2| 试题精析 =√/1十k√/(x1十x2)2-4x1x2 (8）-4x62-122+D =√1+段(3+被) 1.A[设P(xoyo)(x0>0,y0>0),I(x1,y1)(x1>0,y1> 3+4k2 3+4k2 联立小y-4红， 0,则1 得k2x2-(2k2+4)x十k2=0, y=k(x-1), 易知F1(-1,0),F2(1,0),2a=4,由椭圆焦半径公式可得 4=(2k2+4)-4k*=162+16>0,z,十x4-26+4 2 1PF,=2+2,PF,=2-, 则1MN1=3+:+p-2+4+2=4+1D 设A,B,M分别为△PF1F2的内切圆与边PF1,PF2,F1F2 的切点，如图所示，则M(x1,0) 因为MN-号AB1,所以4+D5×12a+1D 3大 y 3十4k2 解得k=士V3. 所以直线l的方程为V3x一y一√3=0或W3x十y-√3=0. 16解，没Fc0:由条排如2-后0=6，期c=5, 由a2=b2十c2,可得b2=1,a2=4, 根据内切圆的性质知|PA|=|PB|,AF|=|MF|, 所以满因E的方程为十y2-1. |BF2=|MF2, 因此|PF|-IPF2|=|AF|-|BF2|=|MF|-|MF2|, (2)依题意知，当l⊥x轴时不符合题意，故设直线1：y=kx -2,P(x1y1),Q(x2y2). p(2+)）-2-名)=+10-1-x 将y=红一2代入箱周E的方程号+y=1, 1 解得x1=2工0： 得(1+4k2)x2-16kx+12=0, 在△PF,F,中，由三角形面积公式可得2F,F,= 4=16(42-3)>0,即6>3 4 1 16k 12 名PF,+PF,+E,P,D,解得=名 x1十x?=1十46x1x:-1+4h, 1 1 从而PQ=+1x1-,=4中.4级-3 4k2+1 1 1 2+12x-1 因为点0到直线1的距离d=,2 √1+， 1 1 .] 所以△0PQ的商叔S6mg=号·d·PQ1=4Y3 1 4k2+1 x6-1 4x-1 3 设√4k”-3=t,则t>0, 2.C[设坐标原点为O,D(xoyo),易知双曲线C的渐近线方 4t=4≤1. 1 所以So0F+4t+ 4 程为y=土2工， 1 y=- 1 2x, x=2x-y0 当且仅省=2，=士日时，等号成立，且满足△>0， 联立 解得 2 1 1 yy。=《x-x。),y=-4x。干2y07 所以当△0PQ的面积录大时，的方程为)-2或y 取A(合。--+ 1 1 ,1 分层作业（二十六） 则1oA1=√,-)+(子+】 答案速对 3 如图，因为四边形OADB是平行四边形， 所以DA1·DB=oB1·OA=2,+ 7.819.3,0)10.0,-2) 1合，小=引 1108 因为点D在双南线C上，所以琴-=1，周此DA· 所以EAP:ko= 骨×号 DB=号.故C正确， 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=k(x十2)， y=k(x+2), 联立双曲线方程得 消元得(3-2)x2一4k2x一4k2-3=0, △=(-4k2)2-4(3-k2)(-4k2-3)=36k2+36>0, 4k2 一4k2-3①， 所以工1十x=3-k21工，=3-k 3A[因为P(),Q在箱国号+号-=1上， 因为y=3(x7-1),y=3(x2-1), 42=1, 所a》=((》 且x1十x2=2,当x1≠x2时，由 (x2-1)(x1-1)x1x2-(x1十x2)+1 (x1+1)(x2十1)x1zx2+(x1十x2)+1 42 -4k2-34k2 之言 1 x1一x2 y1+y2 将①代入得( 》)- 一=9， 二4k2-3+4k+1 受线段PQ的中点为N1a,济以-到兰=一云 3一k2 因为过双曲线C的左焦，点F作直线PQ交双曲线于P,Q 所以线段PQ的垂直平分线的方程为y-n=2m(x-1), 两点， 即y=2m(-)该直线恒过定点（分0）： k如的比值为负数，所以AP·k阳=工， 当x,=:时，线段PQ的垂直平分线也过定点（分，0）， =-3, 当直线PQ斜率不存在时，容易验证AP:k0=一3. 故线段PQ的垂直平分线恒过定点（合0）： 故选C.] 故选A.] 6.A[设直线l的方程为x=my十n,代入椭圆方程， 4.B[设P(x,y),则点P到直线l的距离d= 消去x可得(m2+4)y2+2mny+n2-16=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), d 在定点Mm,0),使得PM=入，PM=√x一m)+y. 2mn _n2-16 m2+4y1y2m2+4, 引 9 x1x2=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2,x1+x2=m(y1+y2) 因为 √(z-m)2+y =1,所以x2-3x+4=[(x-m)2 +2n, +y1图为若-=1，所以-3x十号 9 由PA⊥PB,P(4,0),可得(x1-4,y1)·(x2-4,y2)=0, = 则x1x2-4(x1+x2)+y1y2+16=0, X(告x2-2mx十m2-1)对任意点P恒成立，根据对应系数 即my1y2+mn(y1+y2)+n2-4m(y1+y2)-8n+y1y2+ 16=0, 化简整理得5m2一32m十48=0，解得n二号，n=4(舍去). 相等，得{-3=-2m2,解得 4'所以点M的坐标 m=2. 即直线1恒过定点（侣0）门 4=(m2-1)x2, 为(2,0).] ,[由题意设M(x,y),N(-x,-y),P(a,b), 5.C[如图所示，设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意得 当直线PM,PN的斜率都存在时，记为k1,k2, F(-2,0),A(-1,0),B(1,0), 则是.华-6三---) a-x atx a2-x2 a2-x2 = 8.1[由题意，设A(x1y1),B(x2y2),点P(1,1),点Q(m,n), 所以飞AP= y1 y2 由AP=λPB,AQ=-AQB,得1-x1=A(x2-1),m-x1= x2一1 -A(x2-m), 1091■ 即x1十入x2=1十入，x1一λx2=m(1一入)，两式相乘可得，x 入2x2=m(1-λ2)， -贤-@ 网双y如，兽学-营@ 又点A(x1y1),B(x2y2)在椭圆上， +-1+-1 故可设PQ:x=my+t,将PQ的方程与y2=8.x联立，得y2 3 -8my-8t=0, @海如了得兰学+普号-学4-0+骨0- 所以△>0→64m2+32t>0→2m2+t>0. 设P(x1y1),Q(x2y2),则y1+y2=8m, +普-(+）=1-（受+号）： y1y2=-8t, 故1-2=1-（经+号）所以受+号-1.] 则M=二4为一48 12y2。y1十4Q48 y2+4, 9.(3,0)[如图，由题意可设AB:x=w十2，A(x1y1),B(x2y2), x2 则M02+2,十)，由3-y=1得-3y 由题老得+4 2 2 x=ty+2, 所以2(y1+y2)=y1y2+4(y1+y2),则y1y2=-2(y1十 +4ty+1=0,△>0， y2),即t=2m, 代入直线PQ得x=my十2m=m(y十2)， 故直线PQ恒过定点(0，一2).] 11.解：(1)根据题意，直线l的斜率不为0，可设直线l:x=ty十 台A(x)B,代入抛物线方程y=2p:,得y -2pt0-p2=0, 所以△=4p2(t2+1)>0,y1+y2=2t,y1y2=-p2, 因为AB与双曲线C有两个交点，所以t2-3≠0，则y1十y2 4t 62t） 所以|AB|=√1+t|y1-y2 =二3所以M(23二3 =√1+Z·√y1+y2)-4y1y1=2p(t2+1), 如图，当t=0时，M点与F点重合，此时直线MN为x轴； 当≠0时，将上式M点坐标中的：换成二人，可得 当0=60时4-9所以1AB1-8碧-9 33’ 所以p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x。 N2) (2)证明：由(1)可知，y1y2=-p2=一4， 2t 2t i.--p2)2=22 1-3t2t2-3 则x1x:=2p·2p 4p2 41, ①当直线MN不垂直于x轴时，MN= 6t2 6 1-3+23 所以0A·Oi=x1x2十y1y2=1-4=-3. (3)证明：设C(x3y3),D(x4y4),如图所示， 2t(t2+1)2t 3(4-1)3(22-1)' 直线AC的方程为x=my十3，直线BD的方程为x=ny 刻线MNy+品0经D红十是，化简得y= 2t 2t +3, x=my+3, 由 得y2-4my-12=0,△=16m2+48>0, 3-x-3),所以直线MN过定点(3,0)； 2t y2=4x, 所以y1y3=-12,同理，y2y4=-12, 6 6t2 ②当直线MN曼直于z轴时，一”3一13，解得t= 所以y1y2y3y4=（(y1y3)(y2y4)=144, 士1，此时直线MN也过定点(3,0). 由(2)知y1y2=-4,则y3y4=一36， 综上所述，直线MN过定点(3,0).] MA MB 10.(0,-2)[将A(2,4)代入抛物线方程得16=4p,解得p 则SAAM2 I MA I MB I sin.∠AMB S△CDM MC MD =4, IMCI IMDI inZCMD 所以抛物线方程为y2=8x,如图所示， y1y2 41 显然直线PQ斜率不为0， =36-9 1110 D 8m2+629-4m3)_16m2-12=-4, 3-4m23-4m2 3-4m2 所以直线MN恒过定点H(一4,0)， 又OG⊥MN,即OG⊥GH,又点A是HO的中点，所以 |AG1=2|H01=2, 所以|AG|是定值，且定值为2. 12a=4, 12.解：(1)由题意知 b3解得a=2,b=3, a 2 所以双曲线E的方程为 4-3=1. (2)由题意可知，A(一2,0)，B(2,0),设P(一1，m),因为直 线PA交双曲线E于另外一，点M(不同于点B), 所以m0,又双曲线的渐近线方程为y= 2x,故加0 1+2* 13.解：(1)依题意，A(-2,0),B(2,0),2a=4,a=2,由双曲线 2,解得m≠士？， T过点P(4W3),得9-后1，解得6=1， 所以直线PA:品君号中)=m十2》. 所以双曲线工的标准方程为 94-y2=1. (2)证明：依题意，直线CD的斜率不为0，设直线CD的方 由4-子=1，消去y得(3-4m2)x2-16m'z-16m2 程为x=ty+4, y=m(x+2), (x=ty+4, 12=0, 分 消去x并整理得(t2-4)y2+8ty十12=0， 16m2,解得84抗，所以 4y2-1, 所以-2·xM=3-4m2 8m2+6 显然t2-4≠0，△=64t2-48(t-4)=16(t2+12)>0,设 -法小a C(x1y1),D(x2y2), ①周为s=号×4×1m=2m,5:=合×4× 于是+为是4则=-0+g -8t 12 l2m-a 因此4-十2_(y:+2)_y12+2y k2y2y2(y1+6)y1y2+6y2 又s,-s,所以2m-是×2m 13、 24m x2-2 解得m=2或m=一2，即点P的坐标为(-1,2)或(-1，-2)， -,+)+2, 3 y1-3y2 @袋PB8品中y-餐-2》， 3 2y1+y2)+6y2 -3y1+9y2 3 431, 所以会为定值一号 由 消去y得(27-4m2)x2+16m2x- y=-gx-2 14,解：(1)精 号+2y=1的焦点坐标为（士誓。）， 16m2-108=0,27-4m2≠0， 即m≠士3 -16m2-10 ,解得xN= -8m2-54 故（上写0）为风由度C的属点成6-， ,所以2xN= 2 2 27-4m2 27-4m2 y2 州以等（城)7 36m 设双由线C的方程为 一=1，将点P(1,1)的坐标 36m 12m 27-4m23-4m3 6m 代入，得1 所以直线MN的斜率k= a2-3 1,解得e-或a-, -8m2-54_8m2+69-4m2 2a2 27-4m23-4m 12m6m/8m2+6Y 又因为义询线中a<c,故a=, 所以直线N的方程为y一3-4m一g-m（工一3-4m2) 12m 所以双曲线C的标准方程为 -y2=1. 2 1111 (2)证明：当直线AB的斜率为0时，可设A(x,y),则 BC0点-则1，-》-1， i=(,-)-(-xw) (号-（号=1. 因为A,D,Q三点共线，所以A市/@A,- 4y1-(y 化简可得号·者1，即y-=1-,y=1, (度-a)=0, 当y1=y3时，不符合题意， y=士1，此时x2=1. 当y=1时，可令A(1,1),B(-1,1),点A与点P重合，不 所以1≠y,解得Q=一兴，同理可得xp=兴， 4 4 符合题意； 当y=-1时，可令A(1,-1),B(-1,-1),此时直线PA 又x1+x2十x3=4十4千车 的斜率不存在，不符合题意，故直线AB的斜率不为0. 3 3 设直线AB:x=my十n,联立直线AB与双曲线C的方程可 （y1+y2)2-2y1y2+y3_32k2+8_8k2+2 得(2m2-1y2+mw+2m-1=04=8(m2+n-）>0 12 12 3 设A(x1),B(y),则直线PA斜率-， 则2xn+2xQ-3x。=-y,2-当-3.862+2= 1一1，直线 2 2 3 y3(y1+y2） PB外争：=德，1D,-1D=1号知，- -3.86+2--二44-8-2=一2， 2 3 2 所以2xp十2xQ一3xG是定值，该定值为-2. +2,则x1y2+y1x2-(x1十x2)-y1y2+1=0.又因为x1 =my1十n,x2=my2十n. 分层作业（二十七） 原式可转化为(2m-1)y1y2-(m-n)(y1+y2)-2n+1 =0, 答案速对 2n2-1 -4mn 由根与系数的关系可得y一7m一y十y:2m一 1 3 4 代入式子中化简可得(m十n-1)(m-n)=0. 故m=n或m+n-1=0. A B D AC 若m=n,直线AB的方程为x=my十m,恒过定点(0， -1), 8.39.(2,4)U(4,+∞)10.8√2 5 若m+n一1=0，直线AB的方程为x-1=m(y-1),直线 恒过定点P(1,1), 试题精析 与题目中A,B为异于点P的点矛盾，故直线AB恒过定，点 (0,-1). 1A[设P9,则写+学-1=91-)(-2y≤2). 15.解：(1)依题意△ABD的重心G在x轴的正半轴上，因为三 易知M(0,2), 角形的重心一定在三角形内， 所以抛物线C的焦点在x轴上， 所以PM=x2+(2-y)2=9(-￥)+(y2-4y+4) 设抛物线C的方程为y2=2px(p>0), 当ABL0F时，=。=号，则IAB到=人十号+a十号 4y2-4y+13(-2≤y≤2). =2p=4,所以力=2， 当y=- 9∈[-2,2]时，PM有景大值，为-号× 所以抛物线C的标准方程为y2=4x. (2)依题知直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为x=ky+1, (←)-4x(←)+13- A(x1y1),B(x2,y2),D(x3,y3),G(xG,0),P(xp,0), Q(zQ,0), 所以PM的最大位为，√-9 5 联主任+1得2-4终y一4=0， 故选A.] y2=4x, 2c=4, 4=16k2+16>0 a=1, y1十y2=4k, 则++出=0， 2.A[由题意如合-，解得0-原，故双南线C的标 3 yy2=-4, a2+b2=c2, c=2, y3=-4k,x3=4k2, 准方程为x2 则D(42,-4k)， 苦1 由题意及双曲线的对称性，平行四边形ABDE与双曲线C如 图所示， 1120□00□00 □口1口口1□ 分层作业（二十六） 题 卡 年级： 学号 2□2222 33333 圆锥曲线的综合问题（一） 信 4□4口44口4☐ 班级： 位 5555I5 (满分：124分) 66☐6]66 姓名： 7077刀7刀70 8□88☐88□ 9□99□99□ ·基础对点练· 4.(5分)已知直线1：x= 2·若在x轴上存在一 1.5分若猫圆C:号+著=1的左，右焦点分别 定点M,使得双曲线y=1上任意一点P 为F1,F2,点P是椭圆C上一点，且P在第一 都有点P到L的距离与|PM|的比值为常数， 象限，△PF1F2的内心为I,直线IF1与直线 则点M的坐标为 () IF2的斜率分别为1，k2,则1·2=( [A](-2,0) [B](2,0) 4 [c](士2,0) [D](0,士2) 4 [D]-4 3 5.(5分)已知A,B分别为双曲线C:x- 3>1 26分)已知D为双曲线C:-y-1右支上 的左、右顶点，过双曲线C的左焦点F作直线 一点，过点D分别作双曲线C的两条渐近线的 PQ交双曲线于P,Q两点（点P,Q异于A, 平行线，与另外一条渐近线分别交于点A,B, B),则直线AP,BQ的斜率之比为 () 则|DA|·|DB|= CA]一3 [A]2 [B]W5 o5 5 [D] [0]-3 4 2 36分已知箱贸臂+ 之=1上的两个动点P, x +y 6.6分)已知椭圆E:6+学-1，P为椭圆E的 Q,设P(x1y1),Q(x2y2),且x1十x2=2.线 右顶点，直线1交E于A,B两点，且PA⊥ 段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐 PB,则1恒过除P点以外的定点为() 标为 e(停o 【(合o) [B](1,0) [c](2,0) [D](-1,0) oo别 co o.) 53 1.5分)若M,N是双曲线营-苦-1上关于原 (2)证明：无论0如何变化，OA·OB是定值 (O为坐标原点)； 点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点. (3)点M(3,0),直线AM与E交于另一点C, 当直线PM,PN的斜率都存在时，记为1，k2, 直线BM与E交于另一点D.证明：△ABM 则k1·k2=: 与△CDM的面积之比为定值. &5分)过点P1山的直线1与椭圆子子号》 交于点A和B,且AP=λPB,点Q满足AQ= 一QB,若0为坐标原点，且Q(m,n),则+ 4 号的值为 x2 9.(5分)已知双曲线C:3一y2=1的右焦点为 F,过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦 AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N.则直 线MN过定点 10.(5分)已知抛物线C:y2=2px过点A(2,4), P,Q是抛物线C上的两个动点，直线AP的 斜率与直线AQ的斜率之和为4，则直线PQ 恒过定点 19876543210+0.5 11.(12分)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦 点为F,过F作倾斜角为0的动直线L交E于 A,B两点.当0=60时，AB-9 (1)求抛物线E的方程； 54 ■ ■ 0□00□00 □口1口口1□ 2□2222 分层作业（二十六） 卡 年级： 学号后 33333 4□4口44口4☐ (满分：124分) 班级： 位 5555I5 6□6☐66☐6 姓名： 7077刀7刀7□ 8☐8□8☐8]8 9I99□99□ 19876543210+0.5 1 9876543210+0.5 x2 y2 12.13分)已知双曲线E:7元=1a>0,b>0) 1B,《15分已知双曲袋P,-芳-1经过点 a2 的一条渐近线方程为y= P(4,√3)，A,B为左、右顶点，且|AB|=4. 2x,左、右顶点分别 (1)求双曲线T的标准方程； 为A,B,且AB=4. (2)设过T(4,0)的直线与双曲线交于C,D两 (1)求双曲线E的方程. 点（不与A,B重合），记直线AC,BD的斜率 (2)若点P为直线x=一1上的一点，直线PA 1为定值 交双曲线E于另外一点M(不同于点B). 为k1k2,证明： ①记△PAB,△MAB的面积分别为S1,S2, 且S,受3，求点P的坐标 ②若直线PB交双曲线E于另外一点N,点 G是直线MN上的一点，且OG⊥MN,其中 O为坐标原点，试判断|AG是否为定值？若 是，则求出该定值；若不是，请说明理由 55 ◆ 19876543210+0.5 19876543210+0.5 4.17分)E知双曲线C:元发=1(a>0,6>0 15.(17分)已知F为抛物线C的焦点，过F的直 线1交抛物线C于A,B两点，点D在C上， 的焦点与椭圆2+2=1的焦点相同，且双曲 且△ABD的重心G在x轴的正半轴上，直线 线C经过点P(1,1). AD,BD分别交x轴于Q,P两点.O为坐标 (1)求双曲线C的标准方程； 原点，当AB⊥OF时，AB|=4. (2)设A,B为双曲线C上异于点P的两点， (1)求C的标准方程； 记直线PA,PB的斜率为k1,k2,若(k,一1)· (2)记P,G,Q的横坐标分别为xp,xc,xQ,判 (k2一1)=1，证明直线AB恒过定点，并求出 断2xp十2x。一3xc是否为定值.若是，求出该 该定点坐标 定值；若不是，请说明理由. 56