分层作业(13)点到直线的距离-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教B版）

@1,,则有-是=-6，解得m-日 1 m 3x-2y-5=0, ③1，l2,l3相交于同一个点，由】 6x+y-5=0, 解得=1，代入3x十y-1=0,可得3-m-1=0,解得 y=-1, m=2.故选ABC.] 6B[由题意得，线段AB的中点坐标为(2，号），因为直线 AB的林率-导司：所以线袋A日的金度手分或的 斜率为2.由直线的点斜式方程，可得所求垂直平分线的方程 为y-号=2(x-2),即4x-2wy=5.] 图3 图4 (mX2+4×(-5)=0, m=10, 14.(一∞，-3]U[1,+∞)[如图所示， 7.B[由题意可知m十4p-2=0, 解得{n=-12,即n 2-5p+n=0, p=-2, A(-2,4) 一m-p=-20.] 3 8.0或1[由两直线垂直的充要条件，得(3a十2)(5a一2)十(1 2 B(4,2) 1 -4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.] O 1 9.y=-2x十6[因为直线1与直线y=2x十4垂直，所以直 2234 -2D0,-2) 线I的斜率k=一2.又因为直线y=x十6在y轴上的截距为 6,所以直线1在y轴上的截距为6，所以直线l的方程为y= 直线l:ax一y-2=0经过定点D(0,-2),a表示直线l的 -2x+6.] 斜率， 10号 [因为△ABC的三个顶点分别是A(2,0),B(0,1), 设线段AB与y轴交于点C, 由图形知，当直线l:ax一y一2=0与线段AB的交点在线 C,所以如=吉宁 段CB上时， 所以边BC的高所在直线的方程为y=一2(x一2)，即2x+ y-4=0. 0大于成学于DB的斜率，即a≥号名1，中≥ 因为点D(m,1)在边BC的高所在的直线上， 当直线l:ax一y一2=0与线段AB的交点在线段AC上时， 所以2m十1-4=0，解得m=2.] a小于或等于DA的斜率， 1山，一22[由一元二水方程摄与系数的关系得1·k:-受 中a名-8中a-8 综上，a的取值范围为（一o,一3]U[1,+o).] 若4L1,则经=-1，即m=-2.因为当m=-2时，关于 15.解：(1)线段AB的中点坐标为(1,2)， 及的方程22一4十m=0有两个不等实数根，所以m=一2 所以AB边上的中线所东直钱的方区为品一即 满足题意. 4x十y-6=0. 若L112,则k1=k2,即关于k的方程2k2一4k+=0有两 1-(-2) 个相等的实数根， (2)由已知kAC= -2-2 广一—3，则AC边上的高所在直 所以△=(-4)2一4×2×m=0,所以m=2.] 12.C[集合A表示直线y-3=2(x-1),即y=2x+1上的 线的斜率是号，AC边上的高所在直线方程是y一3=音（红 点，但除去点(1,3)；集合B表示直线4x十ay-16=0上的 -4),即4x-3y-7=0. 点.当A∩B=☑时，直线y=2x+1与4x+ay-16=0平 行或直线4x十ay-16=0过点(1,3)，所以-4=2或4十 分层作业（十三） 3a-16=0,解得a=-2或a=4.] 答案速对 13.ABC[(1)当a=0°时，l2的倾斜角为90（如图1）；(2)当0 <a<90°时，l2的倾斜角为90°+a(如图2)；(3)当a=90 1 4 5 6 12 时，l2的倾斜角为0°（如图3）；(4)当90°<a<180°时，l2的 DD BC A 倾斜角为a一90°（如图4）.故直线12的倾斜角可能为90°一a, 90°十a,l90°-a,但不可能为180°-a. 9.310.513.2x-y+1=014.[0,√/13) 188 11.解：x2十y2表示的是直线x十y一4=0上的，点与原，点之间 试题精析 的距离的平方，它的最小值即为坐标原，点到该直线的距离 /10+0-4)2 1a-1+1l 1.D[由题意知 =1,即|a=√2，所以a=士√2，] 的平方，所以x2+y)一（心V2）=8 √/12+(-1) 2.A[由题意知3m+2+3-|-m十4+3 12.B[设曲线C:y=1(x>0)上的点A的坐标为(m,升)， √m2+1 √m2+1 m>0, 即3m十5=|7-ml,解得m=-6或m=2.故选A.] m 162 m 3.C[由题意，可设点P(a,5-3a),则点P到直线x-y-1= 则，点A到直线x+16y十2=0的距离d V1+256 0的距离d=a-C5-30)-1=2,即4a-61=2,解得a √12+(-1) a+16+22m·16+2 m m 10 =2或a=1,所以点P的坐标为(2，一1)或(1,2).] √257 √/257 √257 4.D[由题意得m+3=√而，解得m=7(m=-13会 √/1+9 当且仅当m=16 即m=4时，等号成立，此时点A的坐标 m 去).] 5.D[根据题意可设所求直线方程为2x十y十c=0(c≠1).因 为(a,)门 方两重政同的驱有学于停片以骨气蜂华-心 13.2x-y十1=0[设直线1的方程为2x-y十c=0(c≠3，c 或c=2,所以所求直线方程为2x十y=0或2x十y+2=0.] ≠-1).由两条平行直线间的距离公式可得3一 √/22+(-1)2 6.BC[当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3,此时 点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，此时不 -1-c,即3-c=-1-c,解得c=1,故直线1 w√22+(-1) 成立. 的方程为2x一y十1=0.] 当直线l的斜率存在时，设直线1的方程为y一4=(x一3)， 14.[0,13)[把直线l的方程化为(x+y-2)+入(3x十2y 即kx-y十4一3k=0. -5)=0, 因为点A(一2,2)，B(4,一2)到直线1的距离相等， 所以1-20一2+4-31_1+2+4二3驰，解得k=-号或 由方程红区十22=0，解得红=1， 3x+2y-5=0, y=1, √k2+1 √2+1 所以直线1恒过定点A(1,1),其中直线1不包括直线3x+ k=2. 2y-5=0. 当最=-号时，直线1的方程为y-4=-号（红-3》，即2x十 又|PA|=√(-2-1)2+(-1-1)严=√3 3y-18=0; 当PA与直线3x十2y-5=0垂直时，点P到直线3x十2y 当k=2时，直线1的方程为y一4=2(x一3)，即2x一y一2 一5=0的距离为√13， =0. 所以，点P到直线1的距离d满足0≤d<√13.] 综上，直线1的方程为2x十3y-18=0或2x-y-2=0.] 7.A[所求直线与A(1,2),O(0,0)两点所在直线垂直时，其与 15.解：1)因为2可化为2x一y-分=0，所以h与12的距离 原点O的距离最大.因为A=2,所以所求直线的斜率为 -号，故所求直战的方程为y一2=合ú-1D,即x十2)-5 1 75 为d= /22+12 10 =0.] 因为a>0,所以a=3. 8.C[易知直线恒过，点A(一3,3).根据已知条件可得，当直线 (2)设存在点P(x。,yo)满足条件，则点P在与l1,l2平行的 ax十(a一1)y十3=0与A,P两点所在的直线垂直时，距离 直线l':2x-y十c=0上. d最大，最大值为5，此时a=1.] 1 9.3[直线方程6x十8y十6=0可化为3x十4y十3=0，由此可知 且1c-31 c+2 ,即c=或c= 两条直线平行，它们之间的距离d=3+12L 2 =3,故PQlm 5 2 5 6 √32+4 =3.] 所以满足条件②的点满足2x,-30+。=0或2x,一3%十 10.5[设AB边上的高为h,则S6Ac=号AB引·A。 1 60 而|AB|=√(3-1)2+(1-3)=2V2,h是点C到AB边 所在直线的距离d.易知AB边所在直线方程为x十y一4= 若点P满足条件⑧，由点到直线的距离公式，有2。十3 0所以4=19-5所以5=专×2区× =2.1z+。-1,即12z。-%+3=|x十-1， √2 2 所以x。一2y0十4=0或3x。十2=0.因为点P在第一象限， 所以3x。十2=0不成立. 891■ 联主方程2。-%十号=0南，-2。十4=0，解得 则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC引三个中的中间值. 因为|PA|=√(3-2)2+(2+1)7=√10， x0=一3， 1（舍去)， 1PB1=√(5-2)2+(-3+1)=√13， y0=2 1PC1=√(-1-2)2+(3+1)z=5, 则|PA<|PB|<IPC引， 联立方程2z,二0十5=0和，-2y,+4=0,解 所以所求圆的半径r=|PB=√/I3. 1 x0=9, 又因为圆心为P(2,一1)， 得 所以圆的标准方程为(x-2)2+(y十1)2=13.] 37 y0=18' 9.3√2[圆(x一2)2+(y十3)2=2的圆心为点(2，一3)，半径为√2， 所以P(行，)即为同时满足条件的点。 点(0，-5)与圆心的距离为√(2-0)2+(-3+5)严=2W2.根据圆 的几何性质，可知所求的最大距离为2√2十√2=3√2.] 分层作业（十四） 10.1+√2[圆(x-1)2+(y一1)2=1的圆心为点(1,1)，半径 为1，圆心到直线x一y=2的距离为1-2-2.根据 答案速对 √2 圆的几何性质，可知圆心到直线的距离加上半径就是圆上 1 2 3 4 5 13 14 的点到直线的最大距离，即最大距离为1十√2.] ABD A D B 11.解：(1)由题意，圆的半径r=|AC|=√W2+1)+(1-√2) =6, 6.(x-2)2+y2=257.(-√2，w2)8.(x-2)2+(y+ 又圆心为C(2,1),所以圆的方程为(x-√2)2+(y-1) 1)2=139.3√210.1+√215.12 =6 (2)法一：因为圆与x轴相交于A(1,0),B(5,0)两点，故圆 试题精析 心在线段AB的垂直平分线上， 1.ABD[图(x-1)2+(y-2)2=5的圆心坐标为(1,2)，半径 又A(1,0),B(5,0),所以线段AB的垂直平分线为x=3,不 妨设圆心坐标为(3，a), 为√5，A错误；圆(x十2)2+y2=b2(b≠0)的圆心坐标为 由半径为5且过点A(1,0),可得r=√(3-1)2+a7=√5， (-2,0),半径为b,B错误；图(x-V3)2十(y十√2)2=2的 解得a=士1. 圆心坐标为(5，-√2)，半径为2，C正确；圆(x十2)2十(y 当圆心为点(3,1)时，圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5; 十2)2=5的圆心坐标为（一2，一2），半径为√5，D错误.故 当圆心为点(3，-1)时，圆的方程为(x-3)2+(y十1)2=5. 选ABD.] 因此所求圆的方程为(x-3)2十(y-1)2=5或(x一3)2+ 2.A[由题可知，圆心(a,b)在直线x十y一3=0上，所以a十b (y+1)2=5. -3=0,即a十b=3.故选A.] 法二：由题意设圆的标准方程为(x一a)2十(y-b)2=5, 3.D[圆M:(x一2)2+(y一1)2=1的圆心为点(2,1)，半径为 把点A(1,0),B(5,0)代入， 1,点(2,1)关于直线x-y=0的对称点是(1,2)，所以圆N 的圆心是点(1,2)，半径是1，所以圆N的标准方程为(x 88g叶校a8- b=1b=-1 1)2+(y-2)2=1.] 所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5或(x-3)2+(y十 4.C[由题意，得(a十1-a)2+(3-1)2>m,即m<5.又易知 1)2=5. m>0,所以0<m<5.故选C.] 12.解：如图，以截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所 5.D[√(x-1)2+(y-1)F可看作图x2+y2=1上的点 在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么半圆的方程为x2 (x,y)到点(1,1)的距离.根据圆的几何性质，可知其最大值 +y2=16(y≥0). 为点(1,1)到圆心(0,0)的距离与圆的半径之和，即 √/(0-1)2+(0-1)7+1=√2+1.] 6(红-2)十y=25[由意高知，圆心坐标为(， 2.7B 号)，即2,0)，*径为号×1-中4叶-5，故 将x=2.7代入，得y=√16-2.7=√8.71<3， 所求圆的标准方程为(x-2)2+y2=25.] 即在离中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，所以 7(-√2,2)[因为点(0,0)在(x-m)2+(y十m)2=4的 货车不能驶入这个隧道. 内部， 所以(0-m)2+(0+m)2<4,解得-√2<m<2.] 13D【由蔑意，得+-1-， 8.(x-2)2+(y+1)2=13[要使得A,B,C三点中的一个点 1(x-1)2+(y-1)2=1, 在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外， 即x≥1， 190■ 0□00□00 □口1口口1□ 分层作业（十三） 2□2222 点到直线的距离 卡 年级： 学号 33333 信 4□444口4☐ 班级： 5555I5 (满分：90分) 位 66☐6]66 姓名： 707D7077 8☐8□8☐8]8 9□99□99□ ·基础对点练· 5.(5分)与直线2x十y十1=0的距离等于 5的 1.(5分)已知点(a,1)到直线x-y十1=0的距 直线方程为 ( 离为1，则a的值为 ( [A]2x+y=0 [A]1 [B]-1 [B]2x十y一2=0 [c]√2 [D]土√2 [c]2x+y=0或2x十y-2=0 2.(5分)已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线 [D]2x+y=0或2x+y+2=0 mx十y+3=0的距离相等，则实数m的值为 6.(6分)（多选）已知直线1过点(3,4)，点A(-2,2), B(4,一2)到L的距离相等，则直线1的方程可能是 -6或号 () 00酸号 [A]x-2y十2=0 [B]2x-y-2=0 3.(5分)已知点P在直线3x+y-5=0上，且到 [c]2x+3y-18=0 直线x一y一1=0的距离等于√2，则点P的坐 [D]2x-3y十6=0 标为 7.(5分)过点A(1,2)且与坐标原点O的距离最 [A](1,2) 大的直线方程是 () [B](2,1) [A]x+2y-5=0 [c](1,2)或(2，-1) [B]2x+y-4=0 [D](2,1)或(-1,2) [c]x+3y-7=0 4.(5分)（教材改编题）若直线l1:x+3y+m=0 [D]3x+y-5=0 (m>0)与直线l2:x+3y一3=0间的距离为 8.(5分)点P(2,3)到直线ax+(a-1)y+3=0 √/10，则m= 的距离d最大时，d与a的值依次为() [A]17 17 B12 [A]3,-3 [B]5,2 [o]14 [D]7 [c]5,1 [D]7,1 27 9.(5分)若点P,Q分别为直线3x+4y一12=0 14.(5分)（创新拔高题）若点P(-2,一1)到直线 与6x+8y+6=0上任意一点，则|PQ|的最小 l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2十5λ的距离为d, 值为 则d的取值范围是 □ 10.(5分)已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则 19876543210+0.5 △ABC的面积等于 15.(14分)已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0), 19876543210+0.5 12:-4x+2y+1=0和3：x+y-1=0,且 11.(10分)点P(x,y)在直线x十y-4=0上，求 4与1，的康离是源 x2+y2的最小值. (1)求a的值. (2)能否找到一点，使其同时满足下列三个条 件：①点P是第一象限的点；②点P到11的 距离是点P到L,的距离的2③点P到1的 距离与点P到13的距离之比是√2：√5？若 能，求点P的坐标若不能，请说明理由， 。能力提升练。 12.(5分)曲线C:xy=1(x>0)上到直线x+ 16y十2=0距离最短的点的坐标为 () [(经4) (4,》 [c(-4,-) (-子，-4) 13.(5分)已知直线1与直线l1:2x-y十3=0和 12:2x-y-1=0平行且距离相等，则直线1 的方程为 28