分层作业(8)空间中的距离-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教B版）

取之=4以-1，则x=3(2入-1)，y=3λ-2，所以n=(W3(2入 C(2,0,0),A(0,4,0),P(0,0,4), -1),3λ-2,4入-1). 所以PC=(2,0,-4),PA=(0,4, 设平面PAD的法向量为m=(a,b,c), 一4).故，点C到直线PA的距离 则m·时=0脚十5c=0, m·AD=0,-2a+23b=0, d= PC1-（ P·PA) PA 取c=1,则a=-3,b=-1,所以m=(-5,-1,1). 因为平面BEF与平西PAD夹角的余孩位为号， =√/20-8=2√3.故选A.] 4.A[如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为 所以cos(m,n)l=m·nl x,y,z轴建立空间直角坐标系.因为M是AA1的中点，所以 mln |-3(2λ-1)-3λ+2+4λ-1 3 M(a0,2a）,A1(a,0,a,B(a,a,0,所以A立=(o,0, W5×V3(2x-1)2+(3x-2)+(4以-1)=5' 整理得8(26x2-11入-1)=0，即8(2入-1)(13入十1)=0，解 -a),D成-(a0,c）,D成=(a,a,0).这年西MBD的 一个法向量是n=(x,y,z), n·Di=ax+2ax=0'取x=1,得n=(1,-1,-2), 1 因为0<A<1,所以A=2, 则 n DB=ax+ay=0. 故存在入，使得平西BEF与平面PAD夹角的余孩值为， 故点A到平面MBD的距离d=A府·n n 1 此时入=2： (-2a)x(-2) √ 分层作业（八） √6 6a.故选A 2 答案速对 D. B 1 4 5: 6 7910 D A A B B A D M D 11.3 x A 试题精析 5.B[由AD⊥BD,AC⊥BC,可知AB为球的直径 设球的半径为R,则4πR2=16π，解得R=2,所以AB=2R 1.D[由题意，得PA=(-1,-1,一1)，因为直线1的方向向 =4, 量为n=(1,0,2),所以，点P(1,2,2)到直线1的距离为 因为∠DAB=∠CBA=30°，所以CB=AD=2√3，CA=BD -”）-音- =2, 2.故选D.] 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 2.C[如图，建立空间直角坐标系，则C(1,1,0),C1(1,1,1), C e(0,2),所以元-(1，g,-1,cC=00,1. 所以点C,到直线EC的距离 则A(0,2√3,0)，B(2,0,0),D(0,0,0) 故选C. CA2=x2+(y-2√3)2+2=4， A E 设C(x,y,z),则CB2=(x-2)2+y2+x2=12, CD2=x2+y2+x2=7, x三一4 解得=5v 4 3.A[如图，以B为坐标原点，BC,BA,BP的方向分别为x 轴、y轴、之轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0), 180 则三维的体软V-号S6aX-号×（×2×2） (2)设平面PB1C的法向量为n=(x,y,z),且PB,=(3,3, 3),P元=(0,3，-3)， ×子-.故选B] n…PB=3x+3)+3z=0,即z=-2, 则有 6.B[设点O,O1分别是AC,A1C1的中点，连接OO1,OB,根 n.PC=3y-3z=0, y=z, 据正三棱柱的几何性质可知OB,OC,OO1两两相互垂直。 令y=1,得n=(-2,1,1). 以O为原，点，OB,OC,OO1所在直 0 又DP=(0,0,3), 线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图 所以点D到平面PB,C的距离 所示的空间直角坐标系，则B(√3， B 4=1D应：m-10+0+31 6 0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2), 1n厂-2)+1+7示2 C1(0,1,2),所以CB=(W3,-1,0), 9.A[如图，以A为原点，A言，A市，A户的 CA1=(0,-2,2),CC1=(0,0,2. 方向分别为x,y,之轴正方向，建立空间 设平面A:BC的一个法向量为n=(x,y,z), 直角坐标系，则B(3,0,0),C(3,3,0), G 则mca5x-y=0, D(0,3,0),P(0,0,6),G(1,0,4) 所以DG=(1,-3,4),P元=(3,3， n·CA1=-2y+2x=0. -6),DC=(3,0,0), 取x=1,得n=(1,W5,W3). 设n=(x,y,z)为直线PC和DG的公垂 因为B1C1∥BC,B1C1中平面A1BC,BCC平面A1BC, 线的方向向量， 所以B1C1∥平面A1BC. n⊥DG,.nn·DG=x-3y+4z=0, p,即m·元=z十3y6=0 则 所以B1C1到平面A1BC的距离即点C1到平面A1BC的 可取n=(1,3,2), 距离， 互] 所以异面直线PC和DG的距离为式：n-是-3Y正] n√4141 7 10.D[如图所示，以D为坐标原点，DA, 7.A[由已知得AB=(1,1,1),CD=(-2,2,1),AC=(1,0, D DC,DD1所在直线分别为x轴y轴之轴， 0).设向量n=(x,y,z)与向量AB,CD都垂直，则 建立空间克角坐标系，则0合号宁》， m·A店=0，即红十y十=0，。取x=1,则y=3,2 即 n·CD=0,”l-2x+2y+z=0. B1,10,E10,）F(710, 一4，则n=(1,3,一4)，因为平面a∥平面B,所以平面a与平 西月间的距离为4=A亡.ml-1X1+3X0+(-4)X0 以应-（分日》-（合号》 n √+32+(-4) 酝-(0-1，) 一选A] 所以10成-，0-，眩= 8.解：(1)如图，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在直 在△BOE中，由余弦定理的推论得 线为x轴、y轴、之轴，建立空间直角坐标系， OE2+10B12-1BE12 cos∠BOE= D 21OE110B 最+器」 2x× 9 则sin∠BOE=y7E 9 所以5om-号10成10成mLB0E=名x是×号× 设A1=,由已知可得P(00,2）,C03,0),B:33,h), √78_√26 916 所以PE-(3,3,名)，P元=(0,3，-) 设平面OEB的一个法向量为n=(x,y,z), 因为PC⊥PB1,所以PB·PC=3X0+3X3+?X o成--+子=0， 2 则 （会）=9-公-0，解得A=6, 所以AA1=6,即AA1的长度为6. 令=1，得a=(,子1小国为丽=（号0,0）， 811■ 1 所以点F到平面OEB的距离h= BF.n 8 √/26 重难专项训练 n W26 52 4 答案速对 1 .√26 所以四面体O-EBF的体积V= 3 SAOEB·h= 3×16 1 2 3 5 X21 52=96 B 0 A AD A [如图所示，建立空间直角坐标系 D Dxyz,则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0), B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4), 试题精析 所以EF=(2,2,0),MN=(2,2,0), 1.B[如图，连接A1C,因为BC1⊥AQ,BC1⊥A1B1,A1Q∩ AM=(-2,0,4),BF=(-2,0,4. A1B1=A1,A1Q,A1B1C平面A1B1Q,所以BC1⊥平面 因为EF=MN,BF=AM, A1B1Q,又B1QC平面A1B1Q,所以BC1⊥B,Q,又BC1⊥ 所以EF∥MN,BF∥AM. B,C,所以点Q在线段B1C上」 又因为EF∩BF=-F,又EF,BF庄平面AMN,MN,AMC 平面AMN,所以EF∥平面AMN,BF∥平面AMN, B 所以平面AMN∥平面EFBD. 平面AMN与平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的 距离. 设平面AMN的一个法向量是n=(x,y,z), B 则n·=2+2y=0, 2.D[如图，取AD的中点M,CD的中点N,连接D1M,MN, D N,ME,AC, n·AM=-2x+4z=0, 取之=1，则x=2,y=-2,得n=(2,一2,1). 因为AB=(0,4,0),所以平面AMN与平面EFBD的距离 4-m-令] B n F.1 12.解：(1)证明：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，D,E分别是 M D 因为E为BC的中点，M为AD的中，点，由正方体的性质 AC,AB的中点， 可得， 所以DE∥BC,DE⊥DC,DE⊥PD, 四边形CEMD是平行四边形， 因为PD∩DC=D,PD,DCC平面PCD,所以DE⊥平面 PCD,所以BC⊥平面PCD. 所以MECD,ME=CD,又因为C1D1CD,C1D1=CD, 所以MEC1D1,ME=C1D1,所以四边形C1EMD1是平行 因为PCC平面PCD,所以BC⊥PC 四边形， (2)因为D,E分别是AC,AB的中点，∠PDC=60°，BC= 所以D1M∥C1E,由正方体的性质可得， 2CD=4,所以CD=PD=PC=2. A1A=C1C,A1A∥C1C,所以四边形A1ACC1是平行四 取CD中点O,BE中点M,连接PO,MO,则OP,OD,OM 边形， 两两垂直. 所以A,C1∥AC,又因为M为AD中点，N为CD中，点， 以O为原点，OD,OM,OP所在 所以MN∥AC,所以MN∥A1C1, 直线分别为x轴、y轴、之轴，建 因为D1M,MN￠平面A1EC1,C1E,A1C1C平面A1EC1, 立如图所示的空间直角坐标系， 所以D1M∥平面A,EC1,MN∥平面A1EC1, 则D(1,0,0),P(0,0W3), 又D1M∩MN=M,所以平面D1MN∥平面A1EC1, B(-1,4,0),E(1,2,0), 因为D1F∥平面AEC1,所以D1FC平面D1MN, 所以PD=(1,0,-√3)，PB= 所以动点F的轨迹为线段MN, (-1,4,-√3)，PE=(1,2,-3) 又MN=2,于已-2，故动点F的轨连长度为V.] 设平面PBE的一个法向量为n=(x,y,z), 2 则n·P店=-x+4y-g=0 3.A[设点B1到平面A1BC1的距离为d, n·PE=x+2y-3x=0. 由VG4B=V44,B,剥则子·SA·B,C=了· 取x=1,得n=(1,1W3). SaA1CB·d, 所以点D到平面PBE的距离d=PD·n_2_25 n551 182■ 0□0000 □口1口口1▣ 分层作业（八） 2□2222 卡 年级： 33333 空间中的距离 学号后 信 4□444口4☐ 班级： (满分：75分) 位 5555I5 66☐6]66 姓名： 7077刀7刀70 8☐8□8☐88 9□99□9□9□ ·基础对点练· 4.(5分)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距 1.(5分)（教材改编题）已知直线1的方向向量为 离是 () n=(1,0,2),点A(0,1,1)在直线1上，则点 (A76 P(1,2,2)到直线1的距离为 ( 6? (873 [A]2√3O [B]√30 (o)③ (0)6 (o30 10 [D)③0 5.(5分)已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球 5 O的球面上，AD⊥BD,AC⊥BC,∠DAB= 2.(5分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C,D ∠CBA=30°，DC=√7，若球O的表面积等于 中，E为AD1的中点，则点C,到直线CE的距 16π，则三棱锥D-ABC的体积等于() 离为 [A]2 [B]√3 o36 3 5 (o12b 3 6.(5分)正三棱柱ABC-A1B,C,的所有棱长都 c)6 3 (06 为2，则B,C,到平面ABC的距离是() 3.(5分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面 (AV② 7 [B7227 ABCD,PB=AB=2BC=4,AB⊥BC,则点C tc3/27 7 t4W27 7 到直线PA的距离为 ) 7.(5分)在空间直角坐标系中，A(0,0,0), B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中 A∈a,B∈a,C∈B,D∈B.已知平面a∥平面B, 则平面α与平面3间的距离为 () [A)V26 W13 [B] 26 13 [A]2√3 [B]2√5 √5 [D] [c]√2 [D]4 (o③ 5 15 19876543210+0.5 11.(5分)如图，正方体ABCD-A1BC1,D1的棱 8.(10分)如图，长方体ABCD D 长为4，M,N,E,F分别为A1D1,AB1, A1B,C1D1的底面ABCD是A C,D1,B,C1的中点，则平面AMN与平面 边长为3的正方形，P为棱 EFBD的距离为 □ DD1的中点，PC⊥PB1· D M (1)求AA1的长度； N B (2)求点D到平面PB1C的距离. 1 9876543210+0.5 12.(15分)（创新拔高题）已知Rt△ABC如图1， ∠C=90°，D,E分别是AC,AB的中点，将 △ADE沿DE折起到△PDE位置（即点A 到点P位置)如图2，使∠PDC=60°. (1)求证：BC⊥PC; (2)若BC=2CD=4,求点D到平面PBE的 距离 ·能力提升练· 9.(5分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边 长为3的正方形，PA⊥底面ABCD,PA=6,点 G在侧棱PB上，且满足2PG=GB,则异面直线 PC和DG的距离为 () 图1 图2 A3VI红 I8315 [c3v/21 3√77 [D] 14 15 7 77 10.(5分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 长为1，中心为0，B时-号8C,A正=AA, 则四面体O-EBF的体积为 () B 0 B 1 1 CA]12 B124 1 o148 1 LD1 96 16