分层作业(2)空间向量的数量积-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册分层作业（人教B版）

■ 0□0000 □口1口口1□ 分层作业（二） 2□2222 卡 年级： 学号后 33333 空间向量的数量积 信 4□444口4☐ 班级： 位 5555I5 (满分：70分) 66☐6]66 姓名： 7077刀7刀7□ 8☐8□8☐88 9I99□99□ ·基础对点练· 4.(5分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1 1.(6分)（多选）设a,b为空间中的任意两个非零 中，E为D,C1的中点，则向量AC1在DE上 向量，下列各式中正确的有 的投影的数量是 () [A]a2=|a2 D [8a·bb a·aa [c]a2b-b2a D [D](a-b)2=a2-2a·b+b2 2.(5分)如图，在棱长为√2的正方体ABCD [A]①0 10 8)①0 5 A1BC1D1中，A1C1·AD1= ( w o,6 Io)26 5 5.(5分)若OA,OB,OC为空间三个单位向量， D OA⊥OB,且OC与OA,OB所成的角均为 [A]2 60°，则1OA+OB+OC1= () [B]1 [c]2√2 [D]√2 [A]5 [B]3 3.(5分)如图所示，已知四面体A-BCD的每条 [c1√5 [D]√6 棱长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD, 6.(5分)已知空间四边形ABCD中，∠ACD= DC的中点，则下列向量的数量积等于a2 ∠BDC=90°，且AB=2,CD=1,则CD在AB 的是 ( 上的投影的数量是 □ 7.(5分)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAD=90°， [A]2BA·AC [B]2AD·DB ∠BAA1=∠DAA1=60°，则|AC1|= [c]2FG·AC [D]2EF·CB 3 19876543210+0.5 19876543210+0.5 8.(10分)（教材改编题）已知四面体ABCD的每 11.(13分)（创新拔高题）如图，在矩形ABCD和 条棱长都等于a,点E,F分别是棱AB,DC的 ABEF中，AB=4,AD=AF=3,∠DAF= 3 中点，求下列向量的数量积。 DM=DB,AN=λAE,0<A<1,记AB=a, (1)EF.CD; (2)A京.DE! AD=b,AF=c. (1)当入=2时，求M与A它夹角的余弦值； (2)是否存在A使得MN⊥平面ABCD?若存 在，求出入的值；若不存在，请说明理由. ·能力提升练· 9.(6分)（多选）在正方体ABCD-A1B,C1D1中， 下列说法正确的是 () [A](A1A+A1D1+A1B1)2=3·|A1B1I [B]A,C.(AB1-A1A)=1 [c]向量AD1与A1B的夹角是120° [D]正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为 IAB.AA,.AD 10.(5分)如图，在平行四边形ABCD中，AB= AC=CD=1,∠ACD=90°，把△ADC沿对角 线AC折起，使AB与CD的夹角为60°，则 BD=3 a;C 所以AC,D=(a+b)·(c+号a）=ac+be+ 错误； a+ab=2a= 1 oi-o+a萨-a+b+子c-a=a 4c-4a=4a+ 4b+ 4c,D 正确.故选BD.] 又因为D-√(e+a可-9， 13.A[因为，点G为△BCD的重心， 所以向量AC1在DE上的投影的数量是 所以成=号酝，所以成=}成 IAC loo(A CD).cD 又因为-成， DE 5.C[1OA+Oi+012=0A+0+0元2+2(oi.Oi+ 所以A+成+成-AG+成+京- oi.o心+oi·0心)=3+2(0+？+2)=5，故 故选A.] |OA+O+Od|=5.故选C.] 14.-号[如图，连接AC,CD, 6.号[根据∠ACD=∠BDC=90,得C.Ci-Di.C-0, 则，点E在AC1上，点F在C1D上， F 所以AB.CD=(AC+CD+DB).CD=AC.CD+|CD2+ 马知EF/A,D,且EF=A,D,所 DB.CD=|CD12=1,所以CD在AB上的投影的数量是 D 以成-2AD,即E成-AD 0所以入=-受] 7.√85[由空间向量数量积的定义可得AB.AD=0,AB· 分层作业（二） AA1=|AB11AA11coS60°=10， AD.AA:-IADIIAA,Icos 60" 答案速对 2 由空间向量的加法法则可得AC,=AB+AD+AA1, 2 3 4 5 9 所以ACI2=|AB2+1AD12+|AA1I2+2AB·AD+ AD AC 2AB·AA,+2AD·AA,=16+9+25+20+15=85,所以 1AC,1=√85.] 6.2 7.√8510.√2 8.解：1)萨.Cò=萨-A应·ò-AC)=(2AC+2A动 试题精析 )应-心=0 l.AD[a2=a·a=allalcos0=|a|2,故A正确；向量不能 作除法，故B错误；C项不一定成立；(a-b)2=(a-b)·(a (2)A市.D=(3A心+分Aò)·（是A店-A心） -b)=a2-2a·b十b2,故D正确.故选AD.] 2.A[在正方体中，因为AB⊥平面AA1D1D,AD1C平 面AA1D1D, 9.AC[在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(A1A+A1D1+ 所以AB⊥AD1, 所以A,C·AD,=AC.AD,=(AB+AD)·AD= A1B1)2=|A1C12,A1C12=(W31A1B1I)2=31A1B11,故 A正确； AB.AD,+AD·AD,=0+2×2Xcos45°=2 A1B1-A1A=AB1,由AB1⊥BC,AB1⊥A1B,BC∩A1B= 故选A.] B,BC,A1BC平面A1BC,可得AB1⊥平面A1BC,又A1C 3.C[由条件可知2BA·AC=-a2,A不符合题意； C平面ABC,则AB1⊥AC,所以AB1·A1C=0,即A,C 2AD·DB=-a2,B不符合题意； ·(A1B1-A1A)=0,故B错误； 2E应.丽=-，D不特合题意， 因为△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1=60°， 2F元，AC=a2,C符合题意.故选C.] 因为AD1∥BC1,所以AD1与A1B的夹角是180°-60°= 4.C[设正方体的棱长为1，AB=a,AD=b,AA1=c,则 120°，故C正确； lal=|b=|c=1,a·b=b·c=c·a=0. 因为AB⊥AA1,所以AB·AA,=0,故D错误.] 因为A,C,=AC=AB+AD=a+b,D2=DD,+D,E= 10.√2[由题意得BD=-AB+AC+CD,其中AB⊥AC, DD:+D:C-c+a. *BD*=(-AB+AC+CD):=AB+AC*+CD:-2AB ·.AC-2AB.CD+2AC.CD 1172 =1+1+1-0-21AB1|CD1cos60°+0=3-1=2，故 1BD|=2.] 时子c.o=ai+2o+2o成，2+2+}-21. 11.解：(1)A它=AB十A市=a十c,在矩形ABEF中，易知 所以点卫与A,B,C三点不共面； |AE1=5, 对于D.0=号o+号0成+号0心，号+号+号-1，所以 M成=AN-AM=AN-(A市+DM)=A(AB+AF) 点P与A,B,C三点共面.故选D.] -AD+λ(AB-AD] 3.ABD[对于A中a,2b,3c,B中a+b,b+c,c+a,D中a+ =入(a+c)-b+A(a-b)门=(a-1)b+ac, b十c,b,c,每组都不共面，能构成空间的一组基底；对于C,a 当X=子时，=-2b+, 1 +2b,2b+3c,3a-9c,满足3a-9c=3[(a+2b)-(2b+ 3C)],是共面向量，不能构成空间的一组基底.] =√-b+2c) 4.C[因为2a+2b-c=(a+2b)+(a-c),a+4b+c=2(a+ 2b)-(a-c),a-2b-2c=2(a-c)-(a+2b), -2e2+6-2lb1百-， 所以向量2a+2b-c,a+4b+c,a-2b-2c均与向量m,n 共面.] MN.AE-7(c-6).(a+e)-7(ac+e2-b.a-b 5.A[连接OM,ON(图略)， e)=2×(-3x3x号)=号， 则M-0-O成=2Oi+0)-O成. 9 而0m-0心+CM-0心+号-0心+号oi-O心) cos(MN,AE)- M.A范4 3 际X: 子o成+子o心， 女M成与正夫角的会孩值为品 所以-3O+0i)-成-号0心=是0耐+ (2)若MN⊥平面ABCD, 因为AB,ADC平面ABCD,所以MN⊥AB,MN⊥AD. 日o应-号0=2a+日0-号c故选A] 则M示.AB=[(a-1)b+c]·a=(a-1)b·a+入c·a 6.A[由题意知成=号市=号(-心)=号（市-店 =0,显然成立， 又MN.AD=[(a-1)b+]·b=(入-1)b2+Ae·b= -AD).] 0,即90-10+登-0， 7.(分0，-1[因为DM-0成-0市=0i-0成， 解得入= 3,满足题意 所以有序实数组(xy,2)=(分0，-1)] 故存在入= 3,使得MNL平面ABCD. 8.解：(1)连接AC(图略)，D,B=D,D+DB=-AA1+AB A市=a-b-c,E成=EA+A=?D,A+?Ac 分层作业（三） -号d+A)+2店+Aò)=号a-6), 答案速对一 (2)因为D正=号(D,方+D,i)=号(-AA+D,B) 6 10 C D ABD 之=-1. 9.C[若a,b共线，由p=xa十yb,知p一定与a,b共面；若a, .(20,-1) b不共线，则满足共面向量定理，p与a,b共面，故①正确，同 理③正确.若p与a,b共面，且a,b共线，则不一定有p=xa 试题精折 十yb,故②错误，同理④错误.故选C.] 1.C[向量AB,AD1,Bi显然不是有相同起点的向量，故A 10.A[点G是△ABC的重心，则AG+BG+CG=0. 错误；由该平行六面体不是正方体可知，这三个向量不是等 x PG=PA+AG,PG=PB+BG,PG=PC+CG, 长的向量，故B错误；又因为AD1-AB1=B1D1-BD,所以 所以3PG=PA+PB+PC+AG+BG+CG=PA+PB+ 向量AB,AD,BD共面，故C正确，D错误.故选C.] p元，则p元=子(PA+p店+p元. 2.D[对于A,OP=-0A-0B-O元，-1+(-1)+(-1)= 一3≠1，所以点P与A,B,C三点不共面； 所以成=P店-P店-日(P成+P成+心)-PA- 对于B,OP=0A+OB+OC,1+1十1=3≠1，所以点P与 A,B,C三，点不共面； Pi+P+P=日a+b+.故递A] 731■