第2章 学案43 直线与圆锥曲线的位置关系(二)-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

人教B版数学选择性必修第一册 课 学案43直线与圆锥曲线的位置关系（二） 记 昆学习任务 1.掌握圆锥曲线的两种形式的弦长公式，会根据弦长解决一些简单的问题.（数学运算、逻辑推理） 2.能解决和弦的中点有关的简单问题.（数学运算) 课堂活动 活动二探究与弦长有关的最值（范围）问题 新知应用 活动一。 解决弦长问题 已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶 厅新知生成 点O,A,B两点都在抛物线上，且∠AOB=90°. 直线与圆锥曲线相交于A,B两点，直线的斜率为k, (1)求证：直线AB必过一定点； A(x1y1),B(x2y2),则弦长|AB=√1十k|x1一x2 (2)求△AOB面积的最小值. =√1+k·√c+x2-41x2,或AB|=1+ 1 1y1一y2=√1+y+y2)=4y1y2(k≠0). 特别地，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦 AB,A(x1,y1),B(x2,y2),弦长|AB|= 提醒：(1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、 两根之积。 (2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论. 「方法总结」求与弦长有关的最值（范围）问题 今新知应用 的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理， 已知斜率为2的直线1经过椭圆写+片-1的 (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特 右焦点F1,与椭圆相交于A,B两点，求弦AB 征，进而求解 的长. (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问 题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意 椭圆的范围. 活动三求解中点弦问题 今新知应用 在椭网后+苦 =1(a>b>0)中，以点 「方法总结」求解弦长可以先求出交点坐标，利 M,》为中点的弦所在的直线方程为(） 用两点之间的距离公式进行求解；也可以直接利 A.3x+4y=0 B.3x-4y=0 用弦长公式求解. C.3x+4y-12=0 D.3x-4y+12=0 11130 直线与圆锥曲线的位置关系（二）学案43 母题变式：把本题中的条件改为点M(2,)是直 2.若点A(-2,3)是椭圆E:名十y2=m2某条弦 听 线x+2y一5=0被焦点在x轴上的椭圆所截 的中点，则实数m的值可以是 ( 笔 得的线段的中点，求该椭圆的离心率. A.√11 B.√10 C.-3 D.-4 3.若直线y=x十+：与椭圆+y2=1相交于A, B两点，当|t|变化时，|AB|的最大值为( A.2 B46 5 「方法总结」1.点差法：设出弦的两端点坐标 C.4v10 D.8I0 5 5 后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1十 4.已知O为坐标原点，直线y=x一2与抛物线 x2,y1十y2 ,y1一y2三个未知量，这样就建立了中 x1一x2 y2=2x相交于A,B两点，则△AOB的面积为 点坐标和直线的斜率的关系， 2.“点差法”求解中点弦问题的步骤 5设A,B为双曲线x二。=1上两点，如下四个 (1)设点—设出弦的两端点坐标. 点：P1(1,1),P2(-1,2),P3(1,3),P4(-1,-4) (2)代入—代入圆锥曲线方程， (3)作差—两式相减，再用平方差公式把上式展开. 中，可作为线段AB中点的是 .(请将所 有满足条件的点填入) (4)整理 转化为斜率与中点坐标的关系式，然 后求解。 6已如双前线C:后茶=1a>0,b>0)的实轴 七课堂小结 长为2√2，点P(2,√6)在双曲线C上 (1)求双曲线C的标准方程； 1.知识清单： (1)弦长问题. (2)过点P且斜率为2√6的直线与双曲线C的： (2)与弦长有关的最值（范围）问题. 另一个交点为Q,求|PQ. (3)中点弦问题， 2.方法归纳：公式法、点差法、数形结合、转化法 3.常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况. 课堂达标 1.经过双曲线x2一y2=8的右焦点且斜率为2的 直线被双曲线截得的线段的长为 ( A.40 B.20v2 C.√10 D.72 3 课后反思 13110当9一4级=0，即长=土2时，方程①有且只有一解，特合题唐， 活动二 新知应用 当9-4k2≠0时，由△=64k2一4(9一42)(-40)=0， 解：(1)证明：设OA所在直线的方程为y=kx(k≠0)，则直线 得=士 ,方程①有且只有一解，也符合题意， 1 2 OB的方程为y=一友2 综上所送：实数的维为士号或士 ,泽A(层 由 y2=2x, 学案43直线与圆锥曲线的位置关系（二）》 由y=二友'得B(22,-2) 课堂活动 y2=2x, 活动一 所以直线AB所在直线方程为 新知生成 z1+x:+p +2%)(是-2)=（层+2）-2. 新知应用 解：因为直线1短选描国写+兰-1的古元点5,10， 化简得x-(安-小少一2=0， 又直线斜率为2，所以直线l的方程为y=2(红-1)，即2x一y 所以直线过定点P(2,0). -2=0. (2)由于直线AB过定点P(2,0), 所以可设直线AB的方程为x=my十2， 法一：解方程组 后+号-1， 4 A(x1y1),B(x2y2). 2x-y-2=0, 得交点A0,-20,B(号，) 由十2得y-2my一4=0， y2=2x, 所以|y1-y2=√(2m)2+16-√4m2+16. 所以|AB|=√(xA-xB)严+(yA-yB) 0》+(-√腰-5 所以Sam=号，l·oP1+l·oP=号oP· 31 法二：设A(x1,y1),B(x2y2), 1y1-y21=1y1-y2=√4m2+16≥4， 当m=0时，取到等号， 所以△AOB面积的最小值为4. 2x一y-2=0, 活动三 消去y,得3x2-5x=0, 新知应用 图为4=(-5)=25>0，则五十-号41=0 C[根据题意，设以点M(2,是）为中点的孩的两端点为 所以|AB|=√(x1-x2)2+(y1-y2) A(x1y1),B(x2y2), =√(x1-x2)(1+kAB) =√(1十kB)[(x1十x2)2-4x1x2] 篇+苔 则有 -√1+2)[(g)-4x0-55 3 - (z'y 法三：设A(x1y),B(x),由方程组5+=1， 两式相减得一一- 16 9 2x-y-2=0, 又由点M(2,)为AB的中点，则有十红，=4,1十 消去x,得3y2+2y一8=0， =3, 因为△=22-4X3×(-8)=100>0,则y1十y2=- 3y1y2 则有=一品×专一， 9、4 3 x1一x2 所以|AB|=√(x1-x2)+(y1-y2)2 即以点M(2,）为中点的孩所在直战斜率为-一是。 -(+可 则直线方程为y-子-2》 即3x+4y-12=0. =√+元)[o+- 故选C.] 母题变式：解：设直线与椭圆的两交点的坐标为(x1,y1),(x2,y2), =√(+)[()-4x(】 则x1十x2=4y十y2=3. =55 3 由+装-1+兽1价， a2 164 3(y1-y2 ,k=y1y2=42 所以直线AB与双曲线没有交点，故P,(1,1)不符合； 62 x1-x2 30.又x+2y-5=0的斜 9 对于P,(-1,2),可得灰0w=-2,ka=-2 则直线AB:y=一22一2' 95 4 联立消去y,得45x2+2×45x十61=0，此时△=(2×45)2 课堂达标 4×45×61=-2880<0. 1.B[双曲线x2一y2=8的右焦点坐标为(4,0)，经过双曲线 所以直线AB与双曲线没有交点，故P2(一1,2)不符合； x2一y2=8的右焦点且斜率为2的直线方程为y=2(x一4)， 对于P3(1,3),可得koM=3,kAB=3,则直线AB:y=3x, 代入x2-y2=8并整理得3x2-32x+72=0,△=(-32)2 由双曲线方程可得a=1,b=3,则直线AB:y=3x为双曲线 4×3×72=160>0,设交点A(x1,y1),B(x2y2),则x1+x2 的一条渐近线， 32 ,工1工，=24，所以直线被双曲线栽得的线段的长为 所以直线AB与双曲线没有交点，故P,(1,3)不符合； 1×√零-6-02] /322 对于P.(-1,-4,可得m=46u=是，则直线AB:y 97 2.D[已知点A(-2,3)是椭圆E: 4x-4,联立消去y,得63x2+126x-193=0, 2十y2=m2的某条弦的 此时△=1262+4×63×193>0，所以直线AB与双曲线有两 中点， 个交点，故P,(一1，一4)符合.] 则点A(-2,3)在精国内，所以兰十9<m, 6.解：(1)因为双曲线的实轴长为2√2，所以2a=2√2，解得a 解得m<-√I或m>√.故选D.] =√2. 3.C[联立两个方程化为5x2+81x十4t2-4=0 又国为点P(25)在双向线C上，所以号是=1，解得6 设A(x1y1),B(x2y2), =√6， 则z1十=8=-1D. 4 所以双曲线C的标准方程为2。二1 ∴.|AB=√2[(x1+x2)2-4x1x2J (2)由题可得过，点P且斜率为2√6的 直线方程为y一√6=2√6(x一2)， 而△=(8t)2-4X5X(4t2-4)>0,解得0≤t2<5. 即y=2√6x-3V6, 1x2y2 ∴取t2=0,得|AB= 联立261， 4.2√5[设A(x1y1),B(x2y2), y=2√6x-3√6， 由-2得2-6z十4=0,4=(-62-4X4X1=20> 消去y,可得7x2-24x+20=0,△= y2=2x, (-24)2-4×7×20=16>0, 0,所以x1十x2=6,x1x2=4, 24 设P(x1y1),Q(x2y2),所以x1十x2=7,x1x2= 20 7, 所以|AB|=√1+·√x1+x2)2-4x1x2=V1+I· √62-4X4=2W10, 所以|PQ|=√1+k√(x1+x2)2-4x1x2 因为点0到直线y=工-2的距离d=二=2， √2 --x-9 所以S6m=7×2V1西XE=25.】 学案44圆锥曲线的综合问题（一） 5.P4(-1,-4)[设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中，点M 课堂活动 为(，”）) 活动一 新知应用 可得kA-二头，=十当 x1-x2 x1十x2 解：1)设椭圆E的方程为」 2十y=1(a一b≥0)，焦坐标 因为A,B在双曲线上，所以两式相减得(x异一x)- y-y2 为（士c,0), 9 a2-b2=c2, =0, c2=3+5, 所以 =9 由题可得 8 解得=9， b2=1, 9 对于P1(1,1),可得kM=1,kAB=9,则直线AB:y=9x一8， (a2 61, 联立消去y整理得72x2-2×72x十73=0，此时△=(-2× 72)2-4×72×73=-288<0, 所以精圆E的方程为 +y2=1. 6511