第2章 学案40 抛物线的几何性质-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

人教B版数学选择性必修第一册 课 学案40 抛物线的几何性质 记 昆学习任务 1.了解抛物线的范围、对称性、顶，点、离心率等几何性质.（数学抽象） 2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题.（逻辑推理、数学运算） 续表 课堂活动 范围 x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry0,x∈R 活动一了解抛物线的简单几何性质 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 阄新知导学 焦点 ( ( (o,) (o,-) 阅读教材P162一164，完成下列问题， 准线方程 D x= 2 y=- y= 2 问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为应 顶点坐标 0(0,0) 离心率 e= 研究抛物线的哪些几何性质？ 提醒：(1)只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点 的抛物线的方程才是标准方程. (2)抛物线与双曲线不同，抛物线没有渐近线. 问题2已知抛物线C的方程为y2=2x,根据这 (3)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、 个方程完成下列任务. 一条准线 (1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此 (4)所有抛物线的离心率均为1. 指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置 新知应用 特征； 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2 (2)指出抛物线C是否具有对称性； 十4y2=36短轴所在的直线，抛物线的焦点到 (3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果 顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的 有，求出交点坐标 准线方程。 厅新知生成 y'=2px y2=-2p.x x2=2py x2=-2py 标准方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 图形 名并丝未 1122 抛物线的几何性质学案40 「方法总结」确定抛物线的简单几何性质的三 「方法总结」利用抛物线的性质可以解决的 听 个要点 问题 笔 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题。 看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还 (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题。 是负 (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题， (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于 (4)焦点弦：解决焦点弦问题. 对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于 活动三求解与抛物线有关的轨迹方程 对称轴的弦（又称为通径）长为2p;离心率恒等 问题 于1. 今新知应用 活动二抛物线几何性质的应用 已知点A(1,0),M,N分别是x轴、y轴上的 今新知应用 动点，且满足AN·MN=0.若点P满足MP 已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原 =2NP,则点P的轨迹方程是 点，另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p 「方法总结」根据题意设出动点的坐标，即“求 >0)上，求△AOB的边长. 谁设谁”，建立等式即可. 课堂小结 1.知识清单： (1)抛物线的简单几何性质. (2)抛物线几何性质的应用. (3)与抛物线有关的轨迹方程的求法。 2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法， 3.常见误区：在求抛物线的焦点或准线方程时，易 忽略把抛物线转化为标准形式. 课堂达标 1.抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则 点P到该抛物线焦点的距离是 ( A.4 B.6 C.8 D.12 12310 人教B版数学选择性必修第一册 2.边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点， 6.已知点A(一2,3)在抛物线C:y2=2x(p>0) 笔 AB⊥x轴，以O为顶点且过A,B的抛物线的 的准线上，记抛物线C的焦点为F,则直线AF 方程是 ( 的斜率为 A.=3 B.y2=- √3 3 7.抛物线x2=2y(p>0)的焦点为F,其准线与 Cy2= 62 D.y2-±g 双线号 少=1相交于A,B两点.若 3 3.(多选)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则 △ABF为等边三角形，则p= 抛物线上的点到准线的距离可以是 ( ) 8.如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O, A.2 B.3 C.4 D.5 焦点F在y轴上，准线l与圆x2十y2=1 4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知 相切. M(-1,2),N(1,0),动点P满足|PM·ON =PN|,则动点P的轨迹方程是 A.y2=4x B.x2=4y C.y2=-4x D.x2=-4y 5.（多选)已知抛物线y2=2x的准线与曲线x2 (1)抛物线C的标准方程为 +y2-4x一5=0相切，则p的值为 ( A.2 B.1 (2)若点A,B都在抛物线C上，且FB=2OA, C.-2 D.-10 则点A的坐标为 课后反思 1124所以抛物线C:y2=2x,所以y=2X2=4, 课堂达标 所以1OP|=√22+y=2V2.] 1.B[抛物线y2=8x的准线方程是x=一2， 由条件知，点P到y轴的距离为4， 学案40抛物线的几何性质 所以点P的横坐标xp=4. 课堂活动 可得|PF|=4+2=6.] 活动一 2.C[设抛物线方程为y2=ax(a≠0). 新知导学 问题1提示：范围、对称性、顶点、离心率. 又A(±》取点A在x轴上方)在抛物线上， 问题2提示：(1)由y2=2x知y∈R,x≥0，抛物线C位于y 则有 ,3 轴及y轴右侧. 4 2a,解得a=土3， 6 (2)抛物线C关于x轴对称，不关于y轴对称，也不关于原，点 对称. 所以抛物线的方程为y=士 6x.] (3)抛物线C与x轴、y轴都只有一个交点，且交点都是原点 3.BCD[因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以卫=3，即 (0,0) 2 新知生成 p=6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为号，所以抛物线 1 上的点到准线的距离的取值范围为[3，十∞).故选BCD.] 新知应用 4.A[设P(x,y), 解：椭圆的方程可化为女十少 4+9 =1,其短轴在x轴上， PM=(-1-x,2-y),ON=(1,0), 抛物线的对称轴为x轴， PN=(1-x,-y), .设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=一2px(p>0) 因为PM.ON1=|PN1, “抛物线的焦点到顶，点的距离为3， 所以|-1-x=√(1-x)+y, 脚号-3p=6, 整理得y2=4x.] .抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x, 5.AD[曲线的方程可化为(x-2)2+y2=9, 其准线方程分别为x=一3和x=3. 其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆. 活动二 新知应用 又抛物线的准线方程为工=一台， 解：如图所示， “由抛物线的准线与国相切得2+号 =3,解得p=2或-10.] 设A(x1y1),B(x2y2), 则y=2px1y2=2px2: 4 [,点A(一2,3)在抛物线C的准线上， 又|OA|=IOB, 所以x+y=x经十y2, 0 号-2p=4 即x号-x号+2px1-2px2=0, .抛物线C的方程为y2=8x 整理得(x1一x2)(x1十x2十2p)=0. 则焦，点F的坐标为(2,0) 因为x1>0,x2>0,2p>0, 所以x1=x2,由此可得|y1|=|y2, 又A(-23,区据鲜车公式得心-号是] 即线段AB关于x轴对称， 7.6[抛物线的焦点为F(0,多)，准线方程为y=-名 由此得∠AOx=30°， 所以yx与y=2pz联主， 将y=一代入号 3-31,得x=√3+ ,要使△ABF 4 解得y1=25, 所以|AB|=2y1=4V5p, -64 为等边三角形，则an6= ,解得2= 3 即△AOB的边长为4√3p. 36,p=6.] 活动三 新知应用 8.1x2=4y(2)(E,2）或(-E,) [(1)依题意，可 y2=4x[设M(a,0),N(0,b),P(x,y), 设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),其准线1的方程为y 则AV=(-1,b),MN=(-a,b), ∴AN.MN=a+b2=0→a=-b2, 分 因为准线1与圆x2十y2=1相切， MP=(z-a:y),NP=(x,y-b), 所以圆心(0,0)到准线1的距离 M=2NP→z-a=2x,→z=-a, (y=2(y-b)y=2b, d=0-(2)=1, 代入Q=-b2可得y2=4x.即点P的轨迹方程为y2=4x.] 解得p=2.故抛物线C的标准方程为x2=4y 160 (2)设A(x1y1),B(x2y2). 由于，点A,B均在抛物线上， 则子=41,0 x=4y2,② 则=2p x1一2p' 由题意得F(0,1), y2=2px2, 所以FB=(x2,y2-1),OA=(x1,y1. x2=2p' 因此，y1y= y1y2 4p2 因为FB=2OA, 4p2 yi y yiy 一p24. 所以(x2y2-1)=2(x1y1)=(2x1,2y1), 2p"2p 即=21， 代入②得4x=8y1+4, 2 y2=2y1+1, 法二：由焦点弦的性质可得x1x2= 4 即x号=2y1+1. y1y2=一p,故=-4.] 又x=4y1,所以4y1=2y1+1, 解得y1=2z1=士， 3.(分 [由焦点弦的性质， 即点A的能标为迈，号)支(-巨，）门 1 12 可知PF+FQ=力， 学案41 抛物线方程及性质的应用 所以2=4，即p=2, 1 课堂活动 则抛物线的焦点坐标为（子，0）.] 活动一 新知应用 课堂达标 A[将抛物线C:y=a2x2的方程化为标准形式为x2= 1.AD[抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(多，0)，准线 1 azy, 方程为x=一台由点Mm,4)在鹅物线C上，且MP=5, 因为抛物线C的焦点坐标为(0,2)， 8行-2，则。=日， 所以1」 可得m+号=5,2pm=16,解得p=2或p=8.] 所以x2=8y,设P(x,y), 2.B[因为点(x,y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0，因为x= 则|PA|=√x+(y-5)=V√8y+y2-10y+25=√y-2+25 x2+22+3=2+2x十8=(z+1)+2,所以当x=0时，2 =√J(y-1)2+24(y≥0)， 最小，其最小值为3.] 所以当y=1时，PA|min=2√6.] 3.B[抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(之，0）， 活动二 新知应用 设直线1的方程为y=(x-), 12[法-：由题意知F(侵0)，授直线1的方程为y 由 (-) =(x-号》消去y得3x-5证+子2=0， v2=2px, 联立抛物线方程，可得4x2-28px十p2=0,△>0，设A(x1, 显然4=25p2-4X3×p=16p2>0, y),B(x2y2),则x1十x2=7p,由线段AB的中点M的横 7 设M(x1y1),N(x2y2), 坐标为7，可得2p=7,解得p=2. 法二：设A(x1y1),B(x2y2), 别1+-号，MN=+号+：+号-号p=8, AB的中点M的横坐标为7，x1十x2=14, 所以p=3.故选B.] 2p 14+p=in230心p=2.] 426[双曲线芒-y 3一京=1(6>0)的一条渐近线为bx-5y 2.-4[法-：抛物线2=2pz(p>0)的焦点坐标为（号，0， =0(b>0), =1, 由题意知，直线AB的斜率不为0. 由题意得|bc √3+62 设直线AB的方程为之=加y十号， c2=3+b2,.b=1,c=2. ,抛物线的准线过双曲线的左焦点， 主=my十会， .抛物线的方程为y2=8x, ly2=2px, 则动点M(x,y)到点(5,0)的距离为 消去x得y2-2mpy-p2=0,△>0， √/(x-5)2+y2=√x2-10x+25+8x=√/(x-1)2+24≥2W6, 由根与系数的关系得y1y2=一p2. .所求的最小值是2√6.门] 611I