第2章 学案41 抛物线方程及性质的应用-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

(2)设A(x1y1),B(x2y2). 由于，点A,B均在抛物线上， 则子=41,0 x=4y2,② 则=2p x1一2p' 由题意得F(0,1), y2=2px2, 所以FB=(x2,y2-1),OA=(x1,y1. x2=2p' 因此，y1y= y1y2 4p2 因为FB=2OA, 4p2 yi y yiy 一p24. 所以(x2y2-1)=2(x1y1)=(2x1,2y1), 2p"2p 即=21， 代入②得4x=8y1+4, 2 y2=2y1+1, 法二：由焦点弦的性质可得x1x2= 4 即x号=2y1+1. y1y2=一p,故=-4.] 又x=4y1,所以4y1=2y1+1, 解得y1=2z1=士， 3.(分 [由焦点弦的性质， 即点A的能标为迈，号)支(-巨，）门 1 12 可知PF+FQ=力， 学案41 抛物线方程及性质的应用 所以2=4，即p=2, 1 课堂活动 则抛物线的焦点坐标为（子，0）.] 活动一 新知应用 课堂达标 A[将抛物线C:y=a2x2的方程化为标准形式为x2= 1.AD[抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(多，0)，准线 1 azy, 方程为x=一台由点Mm,4)在鹅物线C上，且MP=5, 因为抛物线C的焦点坐标为(0,2)， 8行-2，则。=日， 所以1」 可得m+号=5,2pm=16,解得p=2或p=8.] 所以x2=8y,设P(x,y), 2.B[因为点(x,y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0，因为x= 则|PA|=√x+(y-5)=V√8y+y2-10y+25=√y-2+25 x2+22+3=2+2x十8=(z+1)+2,所以当x=0时，2 =√J(y-1)2+24(y≥0)， 最小，其最小值为3.] 所以当y=1时，PA|min=2√6.] 3.B[抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(之，0）， 活动二 新知应用 设直线1的方程为y=(x-), 12[法-：由题意知F(侵0)，授直线1的方程为y 由 (-) =(x-号》消去y得3x-5证+子2=0， v2=2px, 联立抛物线方程，可得4x2-28px十p2=0,△>0，设A(x1, 显然4=25p2-4X3×p=16p2>0, y),B(x2y2),则x1十x2=7p,由线段AB的中点M的横 7 设M(x1y1),N(x2y2), 坐标为7，可得2p=7,解得p=2. 法二：设A(x1y1),B(x2y2), 别1+-号，MN=+号+：+号-号p=8, AB的中点M的横坐标为7，x1十x2=14, 所以p=3.故选B.] 2p 14+p=in230心p=2.] 426[双曲线芒-y 3一京=1(6>0)的一条渐近线为bx-5y 2.-4[法-：抛物线2=2pz(p>0)的焦点坐标为（号，0， =0(b>0), =1, 由题意知，直线AB的斜率不为0. 由题意得|bc √3+62 设直线AB的方程为之=加y十号， c2=3+b2,.b=1,c=2. ,抛物线的准线过双曲线的左焦点， 主=my十会， .抛物线的方程为y2=8x, ly2=2px, 则动点M(x,y)到点(5,0)的距离为 消去x得y2-2mpy-p2=0,△>0， √/(x-5)2+y2=√x2-10x+25+8x=√/(x-1)2+24≥2W6, 由根与系数的关系得y1y2=一p2. .所求的最小值是2√6.门] 611I 6[设A(x1y),B(x2y2),x1<x2, 新知应用 显然直线AB的斜率存在且不为0， 解：(1)把直线方程y=x十m与椭圆方程 十y2=1联立， 设直线AB的方程为y=(e-）≠0)。 消去y, 得到关于x的一元二次方程 将直线方程与抛物线方程联立，消去y整理得4k2x2一4(k 5x2+8m.x+4m2-4=0,① +2)x+k2=0,① 由△>0，得(8m)2-4×5×(4m2-4)>0, △=64(k2+1)>0, 解得-√5<m<√5. 则x1十x,=+2 k2 故m的取值范围为（一√5，√5）. 因为AB1=p十（红1十，）=1++2_25 (2)由(1)中△=0，解得m=一√5或m=√5 k2121 当m=-√5时，①化为5x2-8√5x+16=0, 所以k2=24,方程①即12x2-13x十3=0， 解得x=4 3 5； 当m=√5时，①化为5x2+8√5x+16=0, 解得x=一4 5 6.解：(1由题高得1PF1=1+号=2，p=2, 活动二 ∴.抛物线C的方程为y2=4x. 新知导学 问题3提示：不一定.当直线与渐近线平行时，仅有一个交点 (2)法一：由(1)知焦点为F(1,0), 若直线1的斜率不存在，则|AB|=4,不符合题意， 新知生成 (1)渐近线(2)①两个②一个③没有 因此设直线l的方程为y=k(x一1)(k≠0)， 新知应用 南=红-1D得z-(2+4x十=0，△=160+ (y=kx-1, y2=4x, 解：由 得(1-k2)x2+2kx-5=0.① x2-y2=4, 1)>0. (1)直线1与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等 2k2+4 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1十x2= 及2 的根. |AB1=x,十，十2=2+4+2=8， 1-k2≠0， △=4k2+20(1-k2)>0, 解得k=1或飞=一1.即直线l的斜率为士1. 法二：由题意知直线1的斜率不为0，若直线1的斜率不存在， 期得-<<号，且≠士1， 则|AB|=4,不符合题意， 设直线1的倾斜角为a, ÷实载6的取值范国为(-，-)U(-1,1U(1,) 根据焦点弦的性质，知AB=2p (2)直线1与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解。 sin a 当1一k2≠0，即k≠士1时， 2p1 △=4k2+20(1-k2)=0. 代入可得sina=AB=2,0<a<180, 即a=45°或a=135°，则k=tana=士1. 得=汽， 即直线L的斜率为士1. 此时方程①有两个相同的实数解， 学案42直线与圆锥曲线的位置关系（一） 即直线1与双曲线有且只有一个公共，点； 当1一k2=0,即k=士1时， 课堂活动 直线1与双曲线的渐近线平行，方程①化为2x=5或一2x= 活动一 5,故方程①只有一个实数解，即直线1与双曲线相交，有且只 新知导学 问题1提示：直线与椭圆的位置关系有相离、相交、相切三种. 有一个公共点故当=士5或k=士1时，直线L与双曲 判断方法是联立直线与椭圆方程，转化为关于x(或y)的一 有且只有一个公共点. 元二次方程，利用判别式△判断， (3)直线与双曲线没有公共，点，则①式方程无解 问题2提示：不能.因为椭圆不是圆，中心到椭圆上各点的距 1-k2≠0， 解得>5或<-5 离不完全相等 4=4k2+20(1-k2)<0, 2 2 新知生成 2相交1相切0相离 尉实教k的取值范国为(-0，)U(停，+∞)】 162抛物线方程及性质的应用学案41 学案41抛物线方程及性质的应用 听 昆学习任务 记 1.进一步掌握抛物线的标准方程及几何性质.（数学抽象） 2.会应用定义及直线与抛物线的位置关系解决有关焦点弦与最值、定值等问题.（逻辑推理、数学 运算) 「方法总结」已知过抛物线y2=2x(p>0)的 课堂活动 焦点F的直线交抛物线于A,B两点，则称AB 1 活动一解决抛物线中的最值问题 为抛物线的焦点弦.设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1 今新知应用 >y2),直线AB的倾斜角为0，则有 已知抛物线C:y=a2x2(a≠0)的焦点坐标为 2p (1)|AB|=x1+x2+p= sin20' (0,2),点P是抛物线C上任意一点，则点P 到点A(0,5)距离的最小值为 ( ) (2)x1x2= 4y1y2=-p2 A.26 B.5 C.27 D.6 (3)|AF|= 「方法总结」求解与抛物线有关的最值问题时， 1-cos9,lBF1= 1+cos 0 除了利用抛物线的定义与几何法外，也可以根据 12 题目条件转化为求函数的最值问题，但应注意抛 (4)AF十BFp 物线的方程中x,y的范围，同时注意设点技巧. (5)以AB为直径的圆与准线相切. 活动二抛物线的焦点弦性质的应用 课堂小结 今新知应用 1.知识清单： (1)抛物线中的最值问题 1.经过抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点F,倾 (2)抛物线的焦点弦性质的应用， 斜角为30°的直线1与C交于A,B两点，若 2.方法归纳：数形结合法、转化法 线段AB的中点M的横坐标为7，那么 P= 3.常见误区：对焦点弦的结论盲目套用，不同的方 2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条直线 程形式，结论有所不同. 交抛物线于点A(1y),B(x2y2),则y1y2 课堂达标 1.(多选)设抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为 3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦 F,点M(m,4)在抛物线C上，且|MF|=5,则！ 1 点的直线交抛物线于P,Q两点，且PF十 p的值可以为 ( ) A.2 B.4 1 Q=4,则抛物线的焦点坐标为 C.6 D.8 12510 人教B版数学选择性必修第一册 听 2.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上，则之=x2十 6.已知点P(1,m)是抛物线C:y2=2px(p>0) 课 1 2)2+3的最小值是 ( 上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=2,过焦 记 点F的直线！与抛物线C相交于不同的两点 A.2 B.3 A,B. C.4 D.0 (1)求抛物线C的方程； 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过 (2)若|AB|=8,求直线1的斜率. F作倾斜角为的直线1交抛物线C于M,N 两点.若|MN|=8,则力= A.6 B.3 4双曲线-1(6>0)的右焦点F到其一条 渐近线的距离为1，抛物线y2=2px（p>0)的 准线过双曲线的左焦点，则抛物线上的动点M 到点(5,0)的距离的最小值是 5.过抛物线y2=2x的焦点F的直线交抛物线于 A,B两点，若|AB= ,AP<BP,则 IAFI= 课后反思 11126