第2章 学案39 抛物线的标准方程-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

人教B版数学选择性必修第一册 课 学案39抛物线的标准方程 记 昆学习任务 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.（数学抽象） 2.会求抛物线的标准方程.（数学运算） 3.能利用抛物线的定义和标准方程解决有关问题，（数学运算） 点F称为抛物线的 ,定直线1称为抛 课堂活动 物线的 活动一理解抛物线的定义 提醒：(1)“一动三定”：一动点M;一定点F(即 阄新知号学 焦点)，一定直线1（即准线），一定值1（即动点 M到定点F的距离与到定直线L的距离之比 阅读教材P158,完成下列问题. 为1). 问题1如图，把一根直尺固定在画板内直线1 (2)若点F在直线L上，则到定点F和定直线1 的位置上，截取一根绳子的长度等于AB的长 距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于直线( 度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A 的直线. 处，另一端用图钉固定在画板上的℉处，用铅 笔尖（记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后 今新知应用 使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔尖就 描出了一条曲线.在作图的过程中，你能发现点 已知实数xy满足女2+(-)-y+, P满足的条件吗？它的轨迹是什么形状？ 其中常数p>0,则动点P(x,y)的轨迹是 A.射线 B.直线 C.抛物线 D.椭圆 「方法总结」理解抛物线的定义是解决问题的 关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距 离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定 直线上， 活动二求抛物线的标准方程 阄新知导学 阅读教材P159一160，完成下列问题. 新知生成 问题2类比椭圆与双曲线方程的建立，我们取 般地，设F是平面内的一个定点，l是 经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足 的一条定直线，则平面上到F的距离与到1的 为K,并使坐标原点O与线段KF的中点重 距离 的点的轨迹称为抛物线，其中定 合，建立平面直角坐标系. 1118 抛物线的标准方程学案39 提醒：(1)p的几何意义是焦点到准线的距离， 听 (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准 课 线与焦点所在的坐标轴垂直. 记 (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决 于标准方程中一次项系数的符号. (4)由方程写焦点坐标、准线方程时勿忘记化为 设|KF|=p(p>0),那么焦点F的坐标为 标准方程. (?,0),准线1的方程为x=一名试推导抛物 新知应用 线的标准方程. 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点坐标为(-2,0)； (2)准线方程为y=一1； (3)过点A(2,3); (4)焦点到准线的距离为？； (5)焦点在直线x-2y-4=0上. 问题3在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择 不同的平面直角坐标系就可以得到不同形式的 标准方程，那么抛物线的标准方程有几种？ 厅新知生成 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ( x=一2 x=号 「方法总结」求抛物线方程，通常用待定系数： (o) y=- 法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线！ 的标准方程，求出力值即可.若抛物线的焦点位 置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛！ y=号 物线方程可设为y2=ax(a≠0)，焦点在y轴上的 抛物线方程可设为x2=my(m≠0). 11910 人教B版数学选择性必修第一册 活动三抛物线定义的应用 母题变式(2)：若将第2题中的条件“点(0,2)”换 7 新知应用 成“直线：3x-4y十2=0”，求点P到直线 记 1.已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点， 7 3x一4y十2=0的距离与P到该抛物线的准 M(3,m)在抛物线C上，且|MF|=4,则抛物 线C的方程为 ( ) 线的距离之和的最小值 A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=6x 2.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，求 点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的 距离之和的最小值. 「方法总结」抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上 任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因 此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相 互转化，从而简化某些问题. (2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的 两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义 母题变式(1)：若将第2题中的条件“点(0,2)”改 进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 为“点A(3,2)”,求|PA|+|PF|的最小值. 名课堂小结 1.知识清单： (1)抛物线的定义， (2)抛物线的标准方程. (3)抛物线定义的应用. 2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法、转化法、待 定系数法 3.常见误区： (1)没有把抛物线方程化为标准形式。 (2)求抛物线方程时，忘记讨论焦点的位置. 11120 抛物线的标准方程 学案39 4课堂达标 C.y2=4x或x2= 1 听 1.在平面内，到直线x=一2与到定点P(2,0)的 D.x2= 课笔记 距离相等的点的轨迹是 A.抛物线 B.双曲线 5.已知抛物线C:y2=16x的焦点为F,点A(2,1), C.椭圆 D.直线 P是C上的一个动点，则|PF|+IPA的最小 2.抛物线x2=一 2y的焦点坐标是 值为 ( A.4 B.5 A(o,》 Bo,-》 C.6 D.8 co,8) D.(o,》 6.若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横 坐标为-9，它到焦点的距离为10，则点M的 3.已知抛物线C:x2=4y上一点P(m,1),则m 坐标为 的值为 A.±2 B.-2 7.抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是y=一 2 C.2 n安 则a的值为 4.过点(1，一2)的抛物线的标准方程是 () 8.设O为坐标原点，点P(2,y。)在抛物线C:y2 A.y2=4x或x2=2y 1 =2px(p>0)上，若P到C的准线的距离为 B.y2=4x 2,则10P1= 课后反思 12110“点M在双曲线 2x2=1上， 学案39抛物线的标准方程 x2=y2 =2-1,ly1≥2， 课堂活动 活动一 oM=-1+y=√层-1≥.] /y2 新知导学 问题1提示：点P运动的过程中，始终有|PF|=PB|,即点P 2[风后-苦-1的南我方有y十 4x, 与定点F的距离等于它到直线1的距离，点P的轨迹是抛物线， 新知生成 焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=士石1， 不过点F相等焦点准线 新知应用 c[因为2+(-号-+号表示动点P(红) 到定点F(0,号）的距离与到定直线1：y=一号的距离相等， 3.C[设定，点A在定点B的左边， 且点F不在直线1上，所以由抛物线的定义知动，点P(x,y) 因为|AB|=4,MA1-|MB|=2<|AB|, 的轨迹为抛物线.故选C.] 所以根据双曲线的定义可知，点M的轨迹是以A,B为焦点的 活动二 双曲线的右支， 新知导学 设双曲线方程为二-少 =1(a>0,b>0), 问题2提示：由抛物线的定义，得抛物线上点的集合P={M |MF|=d〉.设M(x,y), 则c=2,2a=2,a=1, 当M在双曲线的右顶点时，|MA|有最小值， 则M到F的距离为M=√(-）+y, 最小值为a十c=1+2=3.] 4荒云1[成所条双肉疯方家为号y=以<0 M到直线1的距离为d-十号引， 所以红-）+y-+多， 所以-1-2入=36，入=-12. 将上式两边平方并化简，得y2=2px(p>0). 问题3提示：四种 成双由线方院务名云-1门 新知生成 5.22+1[设双曲线的右焦点为F2,因为|PF1|一IPF2|= y2=2pz(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 2√2，所以1PF1|=2√2+|PF2|,PF1I+|PQ=22+ 新知应用 |PF2+|PQ|,当且仅当Q,P,F2三点共线，且P在Q,F2 之间时，PF2|十|PQ|的值最小，最小值为点F2到直线l的 解：(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且号=2 …p=4, 距离.由题意可取直线L的方程为y=二x,焦点F2(W3,0) .抛物线的标准方程为y2=一8x. 到直线1的距离d=1,故|PF2|+|PQ|的最小值为1，所以 (2):焦点在y轴正半轴上，且号=1， PF1I+|PQ|的最小值为2w2+1.] .p=2, 6.解：(1)设双曲线C,y之 42=A(a≠0)， .抛物线的标准方程为x2=4y. 把点M反，-反)代入方程得A=-, (3)由题意，抛物线方程可设为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n ≠0)， 将点A(2,3)的坐标代入， 双曲线C的方程为x2-一号二1 得32=2m或22=3n, ③咖双西或C:苦-1， 9 4 六m=2或n=3 .a=1,b=√2，c=√3， ·所求抛物线的标准方程为y=2x或x=3y 9 4 实轴长为2公=2，离心率e=台=百，双自线C的一个焦点 《④由很点到准线的距离为号，可知p一号 5 为点(-√3,0)，一条渐近线方程为y=√2x, 所求抛物线的标准方程为 d==5x5l-2, y2=5.x或y2=-5z或x2=5y或x2=-5y. √2+1 (5)令x=0,解得y=-2; 即焦点到渐近线的距离为√2 令y=0,解得x=4. 1158 故抛物线的焦点坐标为(4,0)或(0，一2). 2.B[由题意，得抛物线的焦点在y轴负半轴上，开口向下，且 当袋点坐标为(，0)时，号=4，即2p=16, 1 2p=2’ 此时抛物线的方程为y2=16x. 当级点坐标为0。-2》时，号=2，甲2p=8, 此时地物线的方程为x2=一8y “抛物钱x=-名y的焦点坐标是(0，-日）】： 故所求抛物线的标准方程为y2=16x或x2=一8y 故选B.] 活动三 3.A[将，点P(m,1)代入抛物线的方程得m2=4,解得m=士2. 新知应用 故选A.] 1.C[连接MF,过M作MH垂直于抛物线的准线x=一号， 4.C[设焦，点在x轴上的抛物线的标准方程为y2=ax(a≠ 0),将点(1，一2)代入可得a=4, 垂足为H(图略)， 故抛物线的标准方程为y2=4x; 义可知MF=MH=zM十名 设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=by(b≠0)，将点 1,一2)代入可得6=-2， 1 解得p=2, 故抛物线C的方程为y2=4x. 故选C.] 收热场线的标准方程为=一合 2.解：由抛物线的定义可知，抛物线 (0,2)y 综上，过点(1，一2)的抛物线的标准方程是y2=4x或x2 上的点到准线的距离等于它到焦 点的距离.由图可知，点P,点(0， 2)和抛物线的焦点F(分，0）三 F(.0) 故选C.] 5.C[抛物线C:y2=16x的焦点F(4,0),准线方程为l:x=-4, 点共线时距离之和最小， A(2,1),则点A在抛物线C的内部， 所以d=,√0-+-0= 2 D 母题变式(1)：解：将x=3代入y2=2x 过，点A作AB垂直于L,垂足为B,过点P作PD垂直于L,垂 足为D, 得y=士V6. 则有|PF|+IPA|=|PD+|PA|≥|AB|=4+2=6, 当且仅当P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以点A在抛物线y2=2x的内部 所以|PF|+|PA|的最小值为6. 设点P到准线（设为Dx=言的距离为d, 故选C.] 则|PA+PF=PAI+d. 6.(-9,6)或(-9，-6)[由抛物线方程y2=-2x(p>0), 由图可知，当PA上1时，PA+d最小，最小值是2 得夹兔点坐标为F(号0），准线方粒为x=台设点M到 即PA十1PF的最小值是子 准线的距离为d,则d=MF1=10,即号-（一9）=10，得p 母题变式(2)：解：如图，作PA1⊥11于点 =2,故抛物线方程为y2=一4x. ↑y A1,PQ⊥1于，点Q,|PA,|+|PQ|= 由点M(一9，y)在抛物线上，得y=士6，故点M的坐标为 PA1+PF>AFIin. (-9,6)或(-9，一6).] |A1F|的最小值为，点F到直线3x一4y ,1,7 1.2 [抛物线y=r,化为标准形式是=，共准线方 3X22 1 /32+(-4)2 程是y=一2，所以a>0, 1.即所求最小值为1. 课堂达标 1.A[动点到定点P(2,0)的距离与到定直线1：x=一2的距 8.2,厅[依题意P到抛物线C的准线的距离为？， 离相等，所以，点的轨迹是以点P为焦点，直线1为准线的抛 物线.] 所以2+名=号，解得p=1, 5911 所以抛物线C:y2=2x,所以y=2X2=4, 课堂达标 所以1OP|=√22+y=2V2.] 1.B[抛物线y2=8x的准线方程是x=一2， 由条件知，点P到y轴的距离为4， 学案40抛物线的几何性质 所以点P的横坐标xp=4. 课堂活动 可得|PF|=4+2=6.] 活动一 2.C[设抛物线方程为y2=ax(a≠0). 新知导学 问题1提示：范围、对称性、顶点、离心率. 又A(±》取点A在x轴上方)在抛物线上， 问题2提示：(1)由y2=2x知y∈R,x≥0，抛物线C位于y 则有 ,3 轴及y轴右侧. 4 2a,解得a=土3， 6 (2)抛物线C关于x轴对称，不关于y轴对称，也不关于原，点 对称. 所以抛物线的方程为y=士 6x.] (3)抛物线C与x轴、y轴都只有一个交点，且交点都是原点 3.BCD[因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以卫=3，即 (0,0) 2 新知生成 p=6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为号，所以抛物线 1 上的点到准线的距离的取值范围为[3，十∞).故选BCD.] 新知应用 4.A[设P(x,y), 解：椭圆的方程可化为女十少 4+9 =1,其短轴在x轴上， PM=(-1-x,2-y),ON=(1,0), 抛物线的对称轴为x轴， PN=(1-x,-y), .设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=一2px(p>0) 因为PM.ON1=|PN1, “抛物线的焦点到顶，点的距离为3， 所以|-1-x=√(1-x)+y, 脚号-3p=6, 整理得y2=4x.] .抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x, 5.AD[曲线的方程可化为(x-2)2+y2=9, 其准线方程分别为x=一3和x=3. 其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆. 活动二 新知应用 又抛物线的准线方程为工=一台， 解：如图所示， “由抛物线的准线与国相切得2+号 =3,解得p=2或-10.] 设A(x1y1),B(x2y2), 则y=2px1y2=2px2: 4 [,点A(一2,3)在抛物线C的准线上， 又|OA|=IOB, 所以x+y=x经十y2, 0 号-2p=4 即x号-x号+2px1-2px2=0, .抛物线C的方程为y2=8x 整理得(x1一x2)(x1十x2十2p)=0. 则焦，点F的坐标为(2,0) 因为x1>0,x2>0,2p>0, 所以x1=x2,由此可得|y1|=|y2, 又A(-23,区据鲜车公式得心-号是] 即线段AB关于x轴对称， 7.6[抛物线的焦点为F(0,多)，准线方程为y=-名 由此得∠AOx=30°， 所以yx与y=2pz联主， 将y=一代入号 3-31,得x=√3+ ,要使△ABF 4 解得y1=25, 所以|AB|=2y1=4V5p, -64 为等边三角形，则an6= ,解得2= 3 即△AOB的边长为4√3p. 36,p=6.] 活动三 新知应用 8.1x2=4y(2)(E,2）或(-E,) [(1)依题意，可 y2=4x[设M(a,0),N(0,b),P(x,y), 设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),其准线1的方程为y 则AV=(-1,b),MN=(-a,b), ∴AN.MN=a+b2=0→a=-b2, 分 因为准线1与圆x2十y2=1相切， MP=(z-a:y),NP=(x,y-b), 所以圆心(0,0)到准线1的距离 M=2NP→z-a=2x,→z=-a, (y=2(y-b)y=2b, d=0-(2)=1, 代入Q=-b2可得y2=4x.即点P的轨迹方程为y2=4x.] 解得p=2.故抛物线C的标准方程为x2=4y 160