第2章 学案30 曲线与方程-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

当且仅当t2=16一t2,即t=2√2时等号成立， 学案30曲线与方程 此时，圆心C到直线L的距离d=√16-t=2√2， 课堂活动 故过点P的直线L的斜率一定存在， 活动一 设其方程为y=k(x一2)+5， 新知导学 则d=+3到=22，解得k=1或=-号 问题1提示：⊙C上的点的坐标都是方程的解，即满足|PC W1+k2 7 =r的任意点P的坐标都是方程的解；以方程的解为坐标的 此时直线l的方程为x一y十3=0或x十7y一37=0. 点P都在⊙C上，即|PC=r. 故选D.] 新知生成 4.ABD[曲线C的方程x2十y2一2x-2=0可化为(x-1)2十 (1)点的坐标(2)方程F(x,y)=0 y2=3,它表示圆心为C(1,0),半径为3的圆. 新知应用 对于A,x2十y2表示圆C上的点到定点O(0,0)的距离的 1.ACD[“曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”， 平方， 但“以方程F(x,y)=0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上，故A,C,D都不正确，B正确.] 故它的最大值为（√(1-0）2+02+√5)2=(W5+1)2=4+ 2.C[由题意知x≠0，则方程|x|·y=1, 2√3，A正确； 1 ,x>0, 对于B,十表示圆上的点与点（一1，）的连线的斜率 即y=x= 故选C.] 1 则周心C1,0)到直线y十1=k(z十1)的距高4=2k-1型 R2+1 3.解：(1)12+(-2-1)2=10， ≤W3, (2)2+(3-1)2=6≠10， .点P(1,-2)在方程x2十(y-1)2=10表示的曲线上， 可得2一√6≤k≤2十√6，B正确； Q(W2,3)不在此曲线上。 对于C,|x一y十3|表示圆上任意一点到直线x一y十3=0的 距离的2倍，圆心C到直线的距离d1=4=22, (2):M(受，-m）在方程x2+(-1)2=10表示的曲线上， 所以其最小值为√2(2√2一√3)=4一√6，故C错误； ÷(受)'+(-m-10=10,解得m=2或m=- 对于D,x2+y2+4y+5=x2+(y十2)2+1，它表示圆上的点 活动二 到点P(0,-2)的距离的平方再加1，所以x2+y2+4y十5的 新知导学 最值，就是圆上的点与，点P(0,一2)的距离的平方的最值再加 问题2提示：可用三边关系：（√(x十2）+(y-0)产)2+ 1,结合图形（图略）易知，最大值为(|PC引十√5)2十1=（√5十 (V√(x-2)2+(y-0)2)2=42; √3)2+1=9+2√/15，最小值为(|PC|一√3)2+1=(5 y y 可用斜率关系：十2‘2-1 3)2+1=9-2√15.所以x2+y2+4y十5的最大值与最小 可用向量关系：(x+2,y)·(x一2，y)=0. 值之和为18，故D正确， 它们化简后都能代表动点C(x,y)的轨迹方程 故选ABD.] 新知应用 5.√2[由题意知，圆C上的点到直线1的距离的最小值等于 角度1 國心C(1,1)到直线1的距离减去圆的半径，即1-1+4 1.解：如图，设OQ为过O点的一条弦， √/12+(-1) P(x,y)为其中点，连接CP,则CP -√2=√2.] ⊥OQ.设M为OC的中点，则M的 C(1,0) 6.3a 2 [圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=9,圆心 坐标为（合0），港接PM。 ∠OPC=90°， C(1,2),半径r=3, 四边形PACB的面积S=2S△Pac=|PA|·|AC|=3|PA 4.PMI-0G- =3√TPC2-9, 动点P在以点M(合0)为周心，OC为直径的周上，故所 要使四边形PACB的面积最小， 则只需|PC最小，最小值为圆心C到直线1：x十y十2=0的 求轨方程为(-号》广+y-子0<≤. 距离d=1+2+2_5v2 角度2 √2 21 2.解：设动点P的坐标为(x,y), 所以四边形PACB的面积的最小值为3 /5V2 9=3 则动点P到直线x=8的距离d=|x一8|， 2 点P到，点A的距离|PA|=√(x-2)2+y, 144 由已知d=2lPA|得|x-8=2√(x-2)+y, 3.A[在x3十y3-3axy=0中，令y=0,则x=0,令x=0,则 等式两边平方并化简得3x2十4y2=48. y=0, 故动，点P的轨迹方程为3x2+4y2=48 因此笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点(0,0)，因此选项B 角度3 正确； 3.解：设P(x,y),M(xo,yo), 在x3十y3-3axy=0中，当x,y互换时，得y3+x3-3ayz x0+3 =0, x= 2 方程不变，因此笛卡尔叶形线关于直线y=x对称，因此选项 因为P为MB的中，点，所以 C正确； 当a=2时，笛卡尔叶形线方程为x3十y3一6xy=0, 即2。=2x-3, 令x=y,解得x=y=3或x=y=0,因此顶点坐标为A(3,3), lyo=2y, 所以选项A错误； 又因为点M在曲线x2十y2=1上， 根据图象知，笛卡尔叶形线上第一象限内的点A(3,3)到原点 所以(2x-3)2+4y2=1, 的距离最大， 所以点P的锐运方粒为(-》广+y=号 因此x2十y2的最大值为18，所以选项D正确. 故选A.] 母题变式：解：设P(x,y),M(xoyo). 4.y=4x2[设PQ的中点为M(xy),且P(x0yo, 由MP=2PB可知(x-x0y-y0)=2(3-x,-y), 所以肛-=23-)， x=0十0 (y-yo=-2y, 25=2 即/0=3x-6, 1 则 （yo=2y+1, 2, (yo=3y, 又点P在y=2x2+1上，.yo=2x十1， 又因为点M在曲线x2十y2=1上， 即2y+1=8x2+1, 所以(3x-6)2+9y2=1, 即y=4x2为所求的轨迹方程.] 所以点P的轨莲方程为(x一2+y3=日 5.25[当x>0,y>0时，根据曲线C的方程，可得(x-1)2+ (y-1)2=2, 活动三 曲线C在第一象限内的部分是半径为√2，圆心为(1,1)的 新知应用 圆孤， y=x十b, 解：法一：由 同理曲线C在第二、三、四象限内的部分都是圆孤，当x=0 y=√1-x7(y≥0)， 时，y=士2；当y=0时，x=士2， 消去x,得2y2-2by+b2-1=0(y≥0).① 曲线C在坐标系中如图， L与曲线C有两个公共，点，等价于方程①有两个不相等的非 负实数解， △=462-8(b2-1)>0, 可得y+2=b>0, 20… 解得1≤b<√2， 即实数b的取值范围为[1W2). 观察图形知，曲线C围成的区域内格点的个数为25.] 法二：在同一平面直角坐标系内作出y 6.解：(1)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则 =x十b与y=√1一x的大致图象，如 1(-2-a)2+(3-b)2=r2,1a=1, 图所示，当直线1与半圆相切时，圆心 {(4-a)2+(3-b)2=r2,解得b=3, (0,0)到y=x十6的距离d=1,即 10 (1-a)2+(0-b)2=r2,r=3, √2 所以圆C的方程为(x-1)2+(y一3)2=9， =1,解得b=√2或b=-√2（舍去）.当直线1过点（-1,0) 时，b=1,则当直线1与曲线C有两个公共，点时，实数b的取 (2)设M(x,y),A(xAyA),又点B(-1,0),AM=2BM, 值范围为[1,2). (x-zA,y-yA)=2(x+1,y), 课堂达标 所以二4=26✉+1002,22-2 (y-yA=2y, yA=-y, 1.D[联立 y=立'即1=2，方程无解，即两曲线无交点.门 又点A在圆C上运动， xy=2, 则(xA-1)2+(yA-3)2=9,所以(-x-2-1)2+(-y-3)2 2.D[根据x2(x十2y-2)=0,可得x=0或x十2y-2=0, =9, 因此x2(x十2y-2)=0表示的曲线是x十2y-2=0和x=0 即(x十3)2+(y十3)2=9，所以点M的轨迹是以，点（一3， 两条直线.故选D.] 一3)为圆心，3为半径的圆. 451■人教B版数学选择性必修第一册 课 学案30 曲线与方程 记 昆学习任务 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.（逻辑推理） 2.初步学会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.（数学抽象） 3.掌握求轨迹方程的几种常用方法.（数学运算） C.F(x,y)=0是曲线C的方程 课堂活动 D.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲 活动一掌握曲线的方程与方程的曲线 线C上 阄新知导学 2.在平面直角坐标系中，方程|x|·y=1表示的 曲线是 阅读教材P123-125,完成下列问题， 问题1我们在前面学习了圆及其方程，如何理 解以C(a,b)为圆心，半径为r(r>0)的⊙C的 标准方程为(x-a)2十(y-b)2=r2? A B 3.已知方程x2十(y-1)2=10. (1)判断点P(1,一2)，Q(√2,3)是否在此方程 表示的曲线上； 后新知生成 (2)若点M份，一m)在此方程表示的曲线上， 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与 求m的值. 方程F(x,y)=0之间具有如下关系： (1)曲线C上的 都是方程F(x,y) =0的解； (2)以 的解为坐标的点都在曲线 C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线， 方程F(x,y)=0为曲线C的方程。 提醒：曲线的方程的定义中，(1)与(2)缺一不 可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程 的任意一组实数解而言的。 「方法总结」判断曲线与方程对应关系的策略 新知应用 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观 1.(多选)命题“曲线C上的点的坐标都是方程 地说“点不比解多”，称为纯粹性。 F(x,y)=0的解”是真命题，则下列命题中不 (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直 正确的是 观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一 A.方程F(x,y)=0的曲线是C 一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的 B.方程F(x,y)=0的曲线不一定是曲线C 方程 1190 曲线与方程学案30 活动二求曲线的方程 角度2直接法求曲线方程 听 2.一个动点P到直线x=8的距离是它到点 课 阄新知导学 A(2,0)的距离的2倍，求动点P的轨迹方程. 记 阅读教材P125一127，完成下列问题， 问题2前面我们已经了解了坐标法在解析几何 中的作用，比如已知A(一2,0)，B(2,0),AC⊥ BC,我们如何找到动点C(x,y)所满足的关 系？你有哪些方法建立这个关系？ 角度3相关点法（代入法）求曲线方程 3.动点M在曲线x2+y2=1上移动，M和定点 B(3,0)连线的中点为P,求点P的轨迹方程. 新知生成 求动点M轨迹方程的一般步骤： (1)设动点M的坐标为(x,y)(如果没有平面 直角坐标系，需先建立)； (2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条 母题变式：若将第3题中的条件“M和定点B(3,0) 件用M的坐标表示出来； 连线的中点为P”改为“MP=2PB”,求P点的 (3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹 轨迹方程. 方程。 个新知应用 角度1定义法求曲线方程 1.已知圆C:(x一1)2+y2=1,过原点O作圆的 任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程 「方法总结」求曲线方程的方法 (1)定义法：若能确定动点的轨迹满足某已知曲线 的定义，则可由曲线的定义直接写出曲线方程. (2)直接法：当所求动点满足的条件简单明确时， 直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化 简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程. (3)代入法（相关点法）：当题目中有多个动点时， 将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再 代入到其他动点满足的条件或轨迹方程中，整理！ 即得所求动点的轨迹方程. 911 人教B版数学选择性必修第一册 活动三根据方程研究曲线的性质 2.方程x2(x+2y一2)=0表示的曲线是() 课 A.一个点 新知应用 记 B.一个点和一条直线 已知直线l:y=x+b与曲线C:y=√1一x2有 C.一条直线 两个公共点，求实数b的取值范围。 D.两条直线 3.1688年，笛卡尔根据他所研 究的一簇花瓣与叶形曲线特 征，提出了笛卡尔叶形线方 程：x3+y3-3a.xy=0,则下 列说法错误的是 ( 「方法总结」结合曲线方程的定义，两曲线的交 A.当a=2时，笛卡尔叶形线的顶点坐标为A(2,2) 点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解， B.笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 所以可以把求两曲线的交点坐标的问题转化为解 C.笛卡尔叶形线关于直线y=x对称 方程组的问题，把讨论交点的个数问题转化为讨 D.当a=2时，若点P(x,y)是笛卡尔叶形线上 论方程组解的个数问题.如果只涉及曲线的一部 第一象限内的点，则x2+y2的最大值为18 分，常用到数形结合 4.若动点P在y=2x2十1上移动，则点P与点 课堂小结 Q(0,一1)连线的中点的轨迹方程为 5.已知曲线C:x2+y2=2|x|+2y|,x2+y 1.知识清单： ≠0，则曲线C围成区域内（含曲线C)格点 (1)曲线的方程与方程的曲线的定义. (横坐标与纵坐标都为整数的点)的个数为 (2)求曲线的方程（动点的轨迹方程）. (3)根据方程研究曲线的性质. 6.已知圆C经过(-2,3)，(4,3)，(1,0)三点. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论， (1)求圆C的方程； 3常见误区： (2)设点A在圆C上运动，点B(一1,0)，且点 (1)易忽视动点的轨迹与动点的轨迹方程是不 M满足AM=2BM,求点M的轨迹. 同的. (2)求得方程后易漏掉检验. 课堂达标 1.曲线y=上与xy=2的交点是 A.(1,1) B.(2,2) C.平面直角坐标系内的任意一点 D.不存在 课后反思 1192