2.4 曲线与方程（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第一册

2.4 曲线与方程 主讲： 人教B版选择性必修第一册 第2章 平面解析几何 情景与问题 我们学习了直线与圆的方程，知道平面直角坐标系中的一个点在直线或圆上的充要条件是它的坐标满足直线或圆的方程. 我们还借助直线与圆的方程讨论了直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系. 不难想到，借助方程，应该还可以讨论平面内的其他几何对象及其性质等. 尝试与发现 如图所示，设l1，l2是平面内两条互相垂直的直线，且M是所有到l1，l2的距离相等的点组成的集合. 在图中找出M中的所有元素. 如果以l1，l2分别为坐标轴建立平面直角坐标系，那么M中的点的坐标有什么特点？ l1 l2 M 根据角平分线的性质可知M是直线l1，l2所形成的四个角的角平分线上的点组合成的集合，包括l1与l2的交点，建立如图所示的平面直角坐标系. l1 l2 M y x O 则M(x,y)满足 |y|=|x| 一、曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系： (1) 曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解； (2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线，方程F(x,y)=0为曲线C的方程. 【典型例题一】 例1 已知平面直角坐标系中，C是端点为原点且其他点都在x轴正半轴上的射线，判断y=0以及y=0(x>0)是否是C的方程，如果都不是，写出C的方程. 解：由题意，C上的点的纵坐标必为0，即若P(x,y)为C上的点，则必有y=0；另一方面，纵坐标为0的点，当横坐标小于0时，在x轴的负半轴上，不在C上，因此y=0不是C的方程. 类似地，因为C上的点的横坐标大于等于0，所有C上的点(0,0)不满足方程y=0(x>0)，因此这也不是C的方程. 综上所述，C的方程是 y=0(x≥0) 【典型例题二】 例2 已知曲线C1的方程是x2-y=0，曲线C2的方程是|y|=|x|，判断C1与C2是否有交点，如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由. 分析：由曲线的方程的定义可知，一个点是两条曲线的交点的充要条件是，该点的坐标是这条曲线的方程的公共实数解美因茨可以通过解方程组来判断两条曲线是否有交点等. 【典型例题二】 例2 已知曲线C1的方程是x2-y=0，曲线C2的方程是|y|=|x|，判断C1与C2是否有交点，如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由. 解：联立两个方程得方程组， 解方程组可得或或 因此C1与C2有三个交点， 且交点坐标为(0,0)，(1,1)，(-1,1) 尝试与发现 已知l1，l2是平面内两条互相垂直的直线，且曲线C是到l1，l2的距离的乘积等于1的点组成的集合. (1)建立适当的平面直角坐标系，写出曲线C的方程； (2)根据曲线C的方程，说出曲线C具有的性质，然后作出曲线C. 如果以l1，l2分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系，设P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，则P到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，因此P(x,y)在曲线C上的充要条件是 |y||x|=1，② 因此，这就是曲线C的方程. 另一方面： (1)x=0或y=0时，方程②不可能成立，这说明曲线C与两坐标轴都没有交点； (2)如果(x,y)是方程②的一组解，则(-x,y)也是方程②的一组解，又因为(-x,y)与(x,y)关于y轴对称，这说明曲线C关于y轴对称. 类似地，可知曲线C关于x轴以及原点都对称. (3)由于|y||x|=1，所以|x|越来越大时，|y|越来越小且接近于0；反之亦然. 就像直线可以看成动点做直线运动的轨迹、圆可以看成动点做圆周运动的轨迹一样，曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以，曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程。 例如，【尝试与发现】中的曲线C，可以看成动点M的运动轨迹，且动点M到l1，l2的距离的乘积等于1，因此动点M的轨迹方程就是|y||x|=1. 【典型例题三】 例3 已知动点M到A(1,2)的距离与到B(3,6)的距离相等，求M的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状. 解：设M(x,y)，由题意|MA|=|MB|， 由两点间的距离公式可知 化简得x+2y-10=0， 可以检验，上式就是M的轨迹方程，因此轨迹曲线是直线. 【典型例题四】 例4 已知动点M到O(0,0)的距离与到A(3,0)的距离之比是，求M的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状. 解: 设M(x,y)，由题意, 由两点间距离公式可知，， 化简得，x2+y2+2x-3=0，可化为(x+1)2+y2=4 可以检验，上式就是M的轨迹方程， 且轨迹曲线是圆心为(-1,0)，半径为2的圆. 主讲： 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听 $$