第2章 学案22 两条直线的位置关系-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

故设直线的一般式方程为4x一2y+C=0,代入，点(2，一3)有 6.解：(I)当直线1过原，点时，直线1在x轴和y轴上的截距均 8+6十C=0,解得C=-14, 为0， ∴.所求直线方程为4x-2y-14=0, .∴.a=2,此时直线l的方程为3x十y=0; 即2x-y-7=0. 当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分 活动三 新知应用 别为0二2 +1a-2, 解：(1)由题意知m2一2m-3≠0，即m≠3且m≠一1. :Q2 2m-6 六a+1=a-2,解得a=0或a=2(舍去)， 令y=0,得x= m2-2m-3' .直线l的方程为x十y十2=0. 2m-6 =一3，解得m=一 5 综上所述，直线L的方程为3x十y=0或x十y十2=0. “m2-2m-3 3, (2)将l的方程化为y=一(a+1)x+a一2， .m=- 5 1不经过第二象限， 3 （2)由题意知，2m2+m-1≠0，即m≠2且m≠-1 一(a+1D≥0解得a≤-1. a-2≤0， 将方程化为斜截式， 综上可知，实数a的取值范围是（一∞，一1]. 6-2m 得y=2m%干2m+m一7 学案22两条直线的位置关系 则m2m-3-1,解得m=-2或m=-1(合去). 课堂活动 2m2+m-1 活动一 .m=-2. 新知导学 母题变式(1)：解：直线1与y轴平行， 问题1提示：l1,l2相交台一个公共点；l1,l2平行台无公共 m2-2m-3≠0， 点；l1,12重合曰无数个公共点. 1 {2m2+m-1=0,m=2 新知生成 6-2m≠0， 1.(1)k1≠k2 母题变式(2)：解：由题意知，2m十m-1≠0，即m≠2且m≠-1 2.(1)A1B2≠A2B1(2)A1B2=A2B1 3.(1)A1B2≠A2B1(2)A1B2=A2B1(3)A1B2=A2B1 将方程化为斜截式， 得y领 4.(1)C1≠C2(2)C1=C2 6-2m x+2m2+m-1' 新知应用 则m2-2m-3 解：因为直线l1:x十my十6=0， 2n2+m-i1, 直线l2:(m-2)x+3y+2m=0, 解得m=一2或m=-1(舍去) 所以A1=1,B1=m,C1=6,A2=m-2,B2=3,C2=2m. .m=-2. (1)若L1与l2相交，则A1B2-A2B1≠0， 则直线1的方程是y=x十2，直线1在y轴上的截距是2. 即1×3-m(m-2)≠0，即m2-2m-3≠0， 课堂达标 所以(m一3)(m十1)≠0， L.C[直线斜率飞=一3，所以倾钎角为150？故选C 解得m≠3且m≠-1. 故当m≠3且m≠一1时，直线l1与l2相交， 2B[因为直线1过点A(8,0,且领斜角为号， (2)若1L,则有AB,-A:B,=0, B1C2-B2C1≠0， 则直线l的方程为y一4=一√3(x一3)， 即3x十y-4-3V3=0. 即8-nmm-2）=0即m-2m-3=0, 2m2-18≠0， m2≠9， 故选B.] 3.3x十2y-12=0[因为直线L的一个法向量为v=(3,2), 解得m=3或m=-1, 所以m=-1. m≠3且m≠-3， 故设直线1的方程为3x+2y十C=0,代入点(2,3)， 故当m=一1时，直线l1与l2平行. 有6+6十C=0,即C=-12, 故直线1的方程为3.x十2y一12=0.] (3)若4与2重合，则有AB,-A,B:=0, 4.3[由直线的一般式方程可知，该直线的一个法向量v=(2, B1C2-B2C1=0, 1),所以a⊥v, 3-m(m-2)=0, 即 所以2m-6=0,解得m=3.] 2m2-18=0, 2m2+m-3=0, 5.{mm≠1)[令 解得m=1, 解得m=3或m=-1, (m2-m=0, m=3或m=-3, 方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-m+1=0表示一条 所以m=3.故当m=3时，直线l1与l2重合. 直线， 活动二 可得m≠1. 新知导学 所以m的取值范围为{mm≠1}.] 问题2提示：两直线平行，倾斜角相等，斜率相等 132 新知生成 由l1⊥l2,得1Xa十aX(3-2a)=0,解得a=0或a=2,故C 1.k1=k2b1≠b2 正确； 2.A1B2=A2B1 1 新知应用 若Q>0,则L1y=一立x十1始终过点(0,1)，斜率为负， 1.B[法一：因为直线L1与直线l2:2x十y-4=0平行， .l1始终不过第三象限，故D正确.] 则直线1的斜率为一2， 4.10[联立 5x-3y-17=0, 又直线l1过点A(2,5), 解得x=1,y=一4， x-y-5=0, 则y-5=-2(x-2),即2x十y-9=0. 即两条直线的交点坐标为(1，一4)， 故选B. 由题意将，点(1，一4)代入直线mx+2y一2=0中， 法二：与直线12：2x十y一4=0平行的直线可设为2x十y十C 可得m一8-2=0， =0, 解得m=10.] 将点(2,5)代入2x十y+C=0可得C=一9，故直线l1的方 5.-2[由两直线垂直得2a10=0,解得a=5. 程为2x十y一9=0. 又点(1，m)在直线ax+2y一1=0上，所以a十2m-1=0, 故选B.] 所以m=-2.] 2.A[由题意得-2(k-3)=2(k-3)(4-k), 6.解：(1)因为B(-2,一1)，C(4,3),M为BC边的中点， 解得k=3或k=5, 所以M(1,1), 当k=5时，l1:2x-y+1=0,l2:2x一y十1=0，两直线重合， 又A(-1,5), 故舍去； 当k=3时，l1:y十1=0，l2:y-1=0,两直线平行. 则w-5号-2 综上，若11∥12，则的值是3. 故中线AM所在直线的方程为y一1=一2(x-1), 故选A.] 即2x十y-3=0. 活动三 (2)A(-1,5),B(-2,-1), 新知导学 5+1 问题3提示：①l1⊥12台m1⊥m2台n1⊥n2; 则kAB= -1+2=6, ②L1⊥l2台m1·m2=0台n1·n2=0. 新知生成 收所求直线的钟率为一司， 1.k1k2=-1 因为所求直线过点C(4,3), 2.(1)A1A2+B1B2=0(2)垂直 新知应用 故所求直线的方程为y一3三二6(x一4)， 1.C[因为直线l1与直线l2互相垂直， 即x+6y-22=0. 所以aX1-2(a一1)=0，解得a=2. 故选C.] 学案23点到直线的距离 2.A[联立任y十2=0解得-1， 课堂活动 (2x+y+1=0, y=1, 活动一 .直线x-y十2=0和2x十y十1=0的交点坐标为(-1,1)， 新知导学 又直线l和直线x一3y+2=0垂直， 问题1提示：点P到直线1的距离等于点P到直线1的垂线 .直线1的斜率为一3， 段的长，如图，过点P作直线1的垂线为'，垂足为P1,则 则直线1的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0. 的方向向量为(A,B), 故选A.] 课堂达标 1.C[直线ax+(a-3)y十3=0与直线x+ay-3=0垂直， 则a×1+(a一3)×a=0,解得a=0或a=2. 故选C.] 2x-y+1=0 解得区=一1数交点坐标为（一1，一1D .'的方程为A(y-yo)一B(x-xo)=0,与l的方程联立， 2.B[联立 x+y+2=0, (y=-1, (B2xo-AByo-AC Ayo-ABzo-BC\ 设与直线2x十3y=0平行的直线的方程为2x十3y十C=0,由于 解得交点P,（A+B A2+B2 直线经过点（一1，一1）， Azo+Byo+C .|PP1= 故-2一3+C=0,解得C=5. √A+B2 故直线的方程为2x十3y十5=0， 问题2提示：直线l的法向量n=(A,B). 故选B.] 在直线l上任取一点M(x,y),又P(x,yo),可得向量PM 3.ACD[易得1ax-2y)+3y-1-0过点（号，号）：故A =(x-xo,y-y0). 正确； IPP,I-IPP:I-IPM:al_lAz,+By,+Cl 当a=1时，l1,l2重合，故B错误； n √A2+B2 331■人教B版数学选择性必修第一册 课 学案22两条直线的位置关系 记 昆学习任务 1.能根据斜截式方程和一般式方程判断两条直线的位置关系.（逻辑推理） 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.（数学运算） 3.能应用两直线平行、重合、垂直求参数或直线方程.（数学运算） (1)l1,l2相交台 课堂活动 (2)l1∥L2台 且A1C2≠A2C1 活动一两条直线位置关系的判断 (或B1C2≠B2C1)； 阄新知导学 (3)l1与l2重合台 且A1C2 =A2C1（或B1C2=B2C1). 阅读教材P91一93，完成下列问题. 4.l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0. 问题1请写出两条直线11，l2的公共点的个数 (1)l12台 与两条直线相交、平行、重合的关系， (2)l1与12重合台 新知应用 已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x十 3y十2m=0,当m为何值时，直线L1与l2: 厅新知生成 (1)相交？(2)平行？(3)重合？ 1.利用直线的斜截式方程判断两直线相交、平行 与重合 直线L1:y=k1x十b1,l2:y=k2x十b2 (1)11与12相交台 (2)11与l2平行台k1=k2且b1≠b2; (3)11与l2重合台1=k2且b1=b2 2.用向量表示两直线的位置关系 设直线11：A1x十B1y十C1=0,l2:A2x十B2y +C2=0. 则y1=(A1,B1)是直线11的一个法向量，v2= (A2,B2)是直线12的一个法向量， 「方法总结」判断两条直线位置关系的两种 (1)1与l2相交（即只有一个交点）的充要条件 方法 是1与y2不共线，即 (1)斜率法：若两直线斜率不相等，则两直线相交； (2)l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2 若两直线斜率相等，截距不相等，则两直线平行； 共线，即 若两直线斜率相等，截距也相等，则两直线重合， 3.利用直线的一般式方程判断两直线相交、平行 特别地，要考虑斜率不存在的情况. 与重合 (2)方向向量法：若两直线的方向向量不共线，则 直线L1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+ 两直线相交；若两直线的方向向量共线，则两直线 C2=0. 平行或重合. 1168 两条直线的位置关系学案22 活动二两条直线平行的应用 (2)求与直线Ax十By+C=0平行的直线方程 听 时，可设方程为Ax十By十m=0(m≠C),代入已 阄新知导学 知条件求出m即可. 笔 阅读教材P92,完成下列问题， (3)对于斜率为零或不存在的情形要单独讨论. 问题2平面中的两条平行直线被x轴所截，形 活动三两条直线垂直的应用 成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可 以得出什么结论？斜率有何关系？ 阄新知导学 阅读教材P94一96，完成下列问题， 问题3设直线1的方向向量、法向量分别是 m1,n1,l2的方向向量、法向量分别是m2,n2, 如果l1⊥l2,则m1,m2之间，n1,n2之间分别有 后新知生成 什么关系？ 1.利用直线的斜截式判断两直线平行：l1∥12台 且 2.利用直线的一般式判断两直线平行：l1∥12台 且A1C2≠A2C1(或B1C2≠ B2C1). 厅新知生成 提醒：(1)与已知直线平行的直线的设法：Ax十 1.利用直线的斜截式方程判断两条直线的垂直 By+C。=0. 在平面直角坐标系中，直线l1:y=k1x十b1,l2: (2)过点(x,yo)且与已知直线平行的直线方 y=k2x+62, 程为A(x-xo)十B(y-yo)=0. l1⊥12台 2.利用直线的一般式方程判断两条直线的垂直 今新知应用 (1)在平面直角坐标系中，直线l1:A1x十B1y 1.已知直线11过点A(2,5)且与直线l2:2x十y +C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 一4=0平行，则直线11的一般式方程为 L1⊥12台 ( (2)若直线I1:Ax+By+C1=0,l2:Bx-Ay+ A.2x+y+9=0 B.2x+y-9=0 C2=0, C.x+2y+9=0 D.x+2y-9=0 则直线11与l2相互 2.已知直线11：(k-3)x十(4-k)y+1=0与l2: 提醒：(1)利用12=一1仅能判断斜率存在且 2(k-3)x-2y十2=0，若1∥2，则k的值是 不为0时的直线的垂直关系， (2)一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率 A.3 B.5 为0时，这两条直线垂直 C.3或5 D.1或2 (3)与已知直线Ax十By十C=0垂直的直线的 「方法总结」(1)求与直线y=kx十b平行的直 设法：Bx一Ay十C。=0. 线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y (4)过点(xo,yo)且与已知直线Ax十By十C= =x十m(m≠b),然后通过待定系数法，求参数 0垂直的直线方程为B(x一xo)一A(y一y) m的值. =0. 6910 人教B版数学选择性必修第一册 听 今新知应用 2.经过两条直线2x一y十1=0和x十y十2=0 的交点，且与直线2x十3y=0平行的直线的方 1.直线l1:ax-2y+3=0与直线l2:x+(a-1)y 记 程为 () 2=0互相垂直，则a= A.2x+3y-5=0 B.2x+3y+5=0 A.0 B.1 C.2x+3y+1=0 D.2x-3y-1=0 C.2 D.-1 3.(多选)已知直线l1:x十ay一a=0和直线 2.已知直线l过直线x-y+2=0和2x+y十1= l2:ax一(2a一3)y一1=0，下列说法正确的是 0的交点，且与直线x一3y十2=0垂直，则直线 () l的方程为 ( A.3x+y+2=0 B.3.x-y+2=0 A1,始终过定点（号，号》 C.x+3y+2=0 D.x-3y+2=0 B.若l1∥L2,则a=1或a=-3 !「方法总结」判断两条直线垂直的方法 C.若l1⊥l2,则a=0或a=2 (1)若所给的直线方程都是一般式，则运用条件11 D.若a>0,则L1始终不过第三象限 ⊥l2台A1A2十B1B2=0判断. 4.若直线mx+2y-2=0经过两直线5x-3y-17 (2)若所给的直线方程都是斜截式，则运用条件11 =0和x-y-5=0的交点，则m= ⊥l2→k1k2=-1判断. 5.已知直线ax+2y-1=0与直线2x-5y+c= (3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直 0垂直且相交于点(1，m),则m= 线方程化为一般式再判断， 6.已知△ABC的顶点坐标分别是A(一1,5)， (4)两条直线垂直关系的判断可以转化为两条直 B(-2,-1),C(4,3),M为BC边的中点. 线的方向向量的数量积为0，避免对斜率的讨论 (1)求BC边上的中线AM所在直线的一般式 课堂小结 方程； (2)求经过点C且与直线AB垂直的直线方程. 1.知识清单： (1)利用直线方程的斜截式和一般式判断两直 线的位置关系， (2)两条直线平行、垂直的应用. 2.方法归纳：公式法、待定系数法、分类讨论法 3.常见误区：利用直线一般式方程判断两直线平 行时，需检验是否重合. 课堂达标 1.若直线ax+(a-3)y+3=0与直线x+ay一3 =0垂直，则a的值是 ( A.2 B.0 C.0或2 D.2或-2 课后反思 1170