第2章 学案19 直线的点斜式方程与斜截式方程-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

直线的点斜式方程与斜截式方程学案19 学案19直线的点斜式方程与斜截式方程 听 昆学习任务 记 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.（数学抽象） 2.掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方程.（数学运算） 3.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线及直线在y轴上的截距的含义.（数学抽象） 「方法总结」直线1上的点的坐标都是方程 课堂活动 F(x,y)=0的解，而且以方程F(x,y)=0的解 活动一理解直线的方程的概念 为坐标的点都在直线1上，则称F(x,y)=0为直 阄新知导学 线1的方程. 活动二掌握直线的点斜式方程 阅读教材P83一84，完成下列问题， 问题1已知11，l2是平面直角坐标系下的直线， 阄新知导学 判断满足以下条件的直线11,12是否唯一. 阅读教材P84,完成下列问题. ①已知11的斜率不存在；②已知l1的斜率不存 问题2若直线1过点P,(xoyo)且斜率为k,那 在且11过点A(1,2);③已知2的斜率为2； 么直线L上任意一点P(x,y)和它们有怎样的 ④已知12的斜率为2且过点B(2,3) 关系？ 厅新知生成 厅新知生成 方程 由直线上一个定点 一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y) (xo,y)及该直线的斜率k确定，我们把它称 =0的解，而且以方程F(x,y)=0的解为坐标 为直线的点斜式方程， 的点都在直线l上，则称 为直线l 提醒：(1)点斜式方程应用的前提是直线的斜率： 的方程，而直线1称为方程F(x,y)=0的直 存在，若斜率不存在，则不能应用此式 线，“直线1”也可说成“直线F(x,y)=0”,记作 (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写 L: 为y=yo.特别地，x轴的方程是y=0;当直线 今新知应用 与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程. 已知点A(1,m)在二元一次方程x-y+1=0 此时可将方程写成x=x。.特别地，y轴的方程 上，则实数m的值为 ( 是x=0. A.2 B.3 (3)已知直线过某点，解题时可设点斜式方程， C.4 D.5 注意讨论直线斜率不存在的情况. 5910 人教B版数学选择性必修第一册 听 今新知应用 横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直 线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的 已知在第一象限的△ABC中，A(1,1),B(5, 记 截距都为0 1),∠A=60°，∠B=45°，求： (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是 (1)AB边所在直线的方程； y=x十b的形式，但有区别：当≠0时，y= (2)AC边与BC边所在直线的方程. kx十b为一次函数；当k=0时，y=b不是一次 函数.故一次函数y=x十b(k≠0)一般可看 成一条直线的斜截式方程. (4)已知直线的斜率存在时，可设为斜截式方程 y=kx+b. 「方法总结」求直线的点斜式方程的步骤及注 新知应用 !意点 直线1的斜率为3且它在y轴上的截距为一3. (1)定点(x0,yo)→定斜率→写出方程y-y0= (1)求直线1的方程； ik(x-xo). (2)求直线1与两坐标轴所围成的三角形的 (2)点斜式方程y一y0=(x一x0)可表示过点 面积. P(xoyo)的所有直线(x=xo除外). 活动三掌握直线的斜截式方程 阄新知导学 阅读教材P85,完成下列问题. 问题3你能写出过点P(0,b),斜率为k的直线 母题变式(1)：若将本题中的条件“在y轴上的截 方程吗？ 距为一3”改为“与y轴的交点到坐标原点的距 离为3”，其余条件不变，求直线1的方程 厅新知生成 1.直线的截距 当直线l既不是x轴也不是y轴时，若l与x 轴的交点为(a,0),则称l在x轴上的截距 母题变式(2)：若将本题中的条件“它在y轴上的 为 ;若1与y轴的交点为(0，b),则称1 截距为一3”改为“它与两坐标轴围成的三角形 在y轴上的截距为 ·一条直线在y轴上 的面积为6”，其余条件不变，求直线1的方程. 的截距简称为截距， 2.把方程 称为直线的斜截式方程，简 称斜截式. 提醒：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方 程的特殊情况，由直线的斜截式方程可直接得 到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的 1160 直线的点斜式方程与斜截式方程学案19 「方法总结」求直线的斜截式方程的策略 3.已知直线1的倾斜角为60°，且在y轴上的截距 听 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在， 为一2，则此直线的方程为 ( 笔 (2)直线的斜截式方程y=kx十b中只有两个参 A.y=√3x+2 B.y=-√3x+2 数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. C.y=-√3x-2 D.y=√5x-2 课堂小结 4.直线l过点P(√3，一1)，其倾斜角是直线y= 1.知识清单： 一3x+1的倾斜角的2，则直线1的方程 (1)直线的方程与方程的直线： 为 (2)直线的点斜式方程， 5.过点(2，一3)且斜率为一2的直线在y轴上的 (3)直线的斜截式方程， 2.方法归纳：公式法 截距为 3.常见误区：易混淆截距与距离的概念，而漏解。 6.已知直线l:y=kx十k一1. (1)求证：直线1过定点； 课堂达标 (2)若当一4<x<4时，直线1上的点都在x轴} 1.(多选)下列四个选项中，正确的是 下方，求的取值范围； A.任何一条直线在y轴上都有截距 (3)若直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积 为1，求直线1的方程. B.直线在y轴上的截距一定是正数 C.直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴 的任何直线 D.直线y=2x一1在y轴上的截距为一1 2.(多选)给出下列四个结论，正确的是( A,方程6=y二2与方程y一2=（红十1）可表 x+11 示同一直线 B.直线1过点P(x1,y1),且倾斜角为90°，则其 方程是x=x1 C.直线1过点P(x1,y),且斜率为0，则其方 程是y=y1 D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程 课后反思 61103,0=30% 新知生成 令直线l的倾斜角为0，∴tan0= y一y0=k(x-x0) 直线1的斜率为，倾斜角为30.] 新知应用 3 解：(1)如图所示， 课堂达标 1.A[直线1的方向向量为（√3,1）， 则，=石-号，则1的倾针角为309 故选A.] 0 2.D[直线L的斜率为一√5，因此直线1的一个方向向量为 因为A(1,1),B(5,1), (1,-√3)， 所以AB∥x轴， 选项A,B,C中对应向量与(1，一√3)不共线， 所以AB边所在直线的方程为y=1」 (W5,-3)=√3(1，-5)， (2)因为∠A=60°， 所以直线1的一个方向向量的坐标为（√，一3）. 所以kAc=tan60°=√3， 故选D.] 所以直线AC的方程为y-1=√3(x-1). 3.A[由题意得k%=-3, 因为∠B=45°， 所以PQ的倾斜角为120°， 所以kc=tan135°=-1， 又直线PQ的法向量与直线PQ垂直， 所以直线BC的方程为y一1=一(x一5). 故PQ的法向量所在直线的倾斜角为30°.] 活动三 4-2[由巴知得=2-0 新知导学 0--2.J 问题3提示：y-b=kx,即y=kx十b. 5.7[AB=(4,m)-(-2,3)=(6,m-3), 新知生成 1.a b AB为直线L的一个方向向量，AB⊥v, 2.y=kx+b ∴.6×2+(-3)×(m-3)=0,∴.m=7.] 新知应用 6.解：AB=(1-x,4),BC=(4,8). 解：(1)由斜截式得直线1的方程为y=3x一3. A,B,C三点共线， (2)在直线y=3x一3中，令y=0,得直线1在x轴上的截距 ∴.ABBC, 即8(1-x)=16 为1，则直线1与坐标轴所周成的三角彩的面软S=合×1× .x=-1. 直线的一个方向向量可以为BC=(4,8). 1-31=2 母题变式(1)：解：因为直线1与y轴的交点到坐标原点的距离 学案19直线的点斜式方程与斜截式方程 为3，所以直线1在y轴上的截距b=3或b=一3.故所求直 课堂活动 线方程为y=3x十3或y=3x-3. 活动一 母题变式(2)：解：设直线方程为y=3x十b,则x=0时，y=b; 新知导学 y=0时x=-，南已可得号161=6 1 问题1提示：显然，满足①的直线有无数条，满足②的直线是 即b2=36,∴.b=士6， 唯一的，即横坐标为1的，点都在直线乙1上，且直线L1上所有 故所求直线方程为y=3x十6或y=3x-6. 点的横坐标也都为1；同样，满足③的直线有无数条，满足④ 课堂达标 的直线是唯一的，我们只需找异于点B的任意一点P(x,y), 1.CD[平行于y轴的直线与y轴不相交，所以在y轴上没有 南2手2即y一3=2(x一2)，周此直线6上的点都满足 裁距，故A不正确；直线在y轴上的截距即为直线与y轴交 方程y一3=2(x一2)，而满足方程y一3=2(x一2)的点也都 点的纵坐标，可正、可负、可为0，故B不正确；直线的斜裁式 在直线12上. 方程y=kx十b所表示的直线斜率要存在，且直线在y轴上 新知生成 的截距要存在，所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴 F(x,y)=0F(x,y)=0 的直线，故C正确；直线y=2x一1在y轴上的截距为一1，故 新知应用 D正确.] A[因为点A(1,m)在x-y+1=0上，故1一m+1=0,解 得m=2.] 2BC[A不正确，方程=号不含点(-1,2，是袋B,C正 确；D不正确，只有斜率存在时，直线才有点斜式和斜截式 活动二 新知导学 方程.] 3.D[设直线1的倾斜角为a,则a=60°， 问题2提示：若P与P。重合，则x=x0,y=yo;若P与P。不 ∴.k=tan60°=√3， 重合，则=二，即y一y6=k(x一x). x一x0 .直线1的方程为y=√3x一2.门 291■ 4.y十1=3(x-3)[因为直线y=-3x十1的斜率为-3， 所以号吉即y品- -3-25 可得共倾针角为子 2-(-3) 所以BC边上的中线所在直线的方程是 由题意可得直线L的倾斜角为，其斜率A=an召=万， 又直线l过点P(W3,一1)， 活动二 所以直线1的方程为y十1=5(x一√3).] 新知导学 5-2[由题态得直线方粒为y十3=一号（红-2》， 问题3提示：由两点式方程得二}-看二，即后+名-1@ b-00-a a 令x=0,解得y=一2，即直线在y轴上的裁距为一2.] ≠0，b≠0). 6.解：(1)证明：由y=kx+k一1，得y十1=(x+1), 新知生成 由直线方程的，点斜式可知，直线1过定点（一1，一1） a b (2)若当一4<x<4时，直线L上的点都在x轴下方， 新知应用 则{桃0解得一专<≤行 1 解：①当直线1在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 4k+k-1≤0， 可设直线1的方程为工十y=1.又1过点A(3,4),所以3 所以k的取值范国是一了，」 「117 -a a =1,解得a=-1,所以直线1的方程为号十兰=1， (3)设直线L与x轴的交点为A,与y轴的交点为B,坐标原 点为O. 即x-y+1=0. 当x=0时，得|OB|=|-1|,当y=0时，得|OA ②当直线1在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直 =161 线1过原，点，设直线L的方程为y=kx.因为l过点A(3,4), 所以4=·3，解得负=专直线1的方程为y=亭，印红 所以5m=号0A1OB=号k-1×1 3y=0. 即2-10×☆=1， 。1 综上，直线1的方程为x一y十1=0或4x一3y=0. 母题变式(1)：解：①当裁距不为0时，设直线1的方程为工十 a 解得k=2十√3或k=2一√3， 所以直线1的方程为y=(2十√5)x十1十√3或y=(2-一√5) 义=1(a≠0). a +1-√3. 又1过点A(3,4),所以。十。=1，解得a=7) 学案20直线的两点式方程 所以直线l的方程为x十y一7=0. 课堂活动 ②当截距为0时，设直线1的方程为y=kx 活动一 又1过点A(3,4),所以4=k·3,解得=4 1 新知导学 4 问题1提示y一y,=二当（红一x). 所以直线1的方程为y=3x,即4虹一3y=0. x2-x1 综上，直线1的方程为x十y-7=0或4x-3y=0. 问题2提示：m,=,即二头-二 母题变式(2)：解：由原题知，直线1的方程为x一y十1=0， x-x1x2一x1 1121 新知生成 xy=x(红+1)=x2+x=(x+2）-4: 1.y-y=x一x1 y2-y1x2-x1 当x=一 时y的最小值是一子 2.x=x1 活动三 新知应用 新知应用 解：(1)BC边过点B(5,-4),C(0,-2), 由两成式好气黄后昌 解：0)授直线1的方程为产+号-1。>0,6>0)， a 国为度线址点P(告2)，所以名+号=1,0 由△A0B的周长为12，得a+b+√a2+b=12,② 故BC边所在直线的方程是y=一2 5x2. 〔12 a5' (2)设BC边的中点为M(a,b), 联主0②解得6“我 b=3 9 b=2 2 =一3， 所以直线l的方程为3x+4y-12=0或15x十8y-36=0. 所以M(停，-3)又BC边的中线过点A(-3,2 (2)授直线1的方程为后+名=1a>0,6>0), 1130