第2章 学案17 直线的倾斜角与斜率-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

直线的倾斜角与斜率学案17 学案17直线的倾斜角与斜率 听 课 昆学习任务 记 1.理解直线的倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.（数学抽象) 2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系.（数学运算） 课堂活动 今新知应用 1.（多选)下列命题中，正确的是 活动一理解直线的倾斜角 A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 阄新知导学 B.一条直线的倾斜角可以为一30° 阅读教材P75-76,完成下列问题. C.倾斜角为0°的直线有无数条 问题1在平面中，怎样才能确定一条直线？ D.若直线的倾斜角为a,则sina∈(0,1) 2.(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α， 如果将1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得 到直线11，那么11的倾斜角可能为 ( 问题2在平面直角坐标系中，经过原点且与x A.a+45° B.a-135° 轴正方向的夹角为60°的直线有几条？ C.135°-a D.a-45° 「方法总结」求直线的倾斜角主要根据定义来 求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有 时要根据情况分类讨论. 新知生成 话动二理解直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如 果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交 阄新知导学 点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的 阅读教材P76一77，完成下列问题. 正角记为0，则称0为这条直线 问题3在平面直角坐标系中，设直线1的倾斜 的 角为α.试借助向量的方法求解以下直线倾斜！ (1)如果这条直线与x轴平行或重合，则规定 角的正切值 这条直线的倾斜角为 (1)直线过O(0,0),P(3,1); (2)平面直角坐标系中的每一条直线都有 的倾斜角，倾斜角的取值范围是 (2)直线过P1(-1,1),P2(√2,0)； 提醒：(1)任意一条直线都有唯一的倾斜角α， (3)直线过M(x1y1),N(x2,y2),x1≠x2 但倾斜角为α的直线有无数多条. (2)一般地，如果A(x1,y1),B(x2y2)是直线 1上两个不同的点，直线1的倾斜角为0，则： 当y1=y2时（此时必有x1≠x2),0=0°； 当x1=x2时（此时必有y1≠y2),0=90°. 5310 人教B版数学选择性必修第一册 听 厅新知生成 活动三倾斜角和斜率的应用 笔 1.一般地，如果直线1的倾斜角为0，则当0≠90° 阄新知导学 记 时，称= 为直线1的斜率；当0=90° 阅读教材P77,完成下列问题， 时，称直线1的斜率 问题4当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180 2.若A(x1y1),B(x2,y2)是直线1上两个不同 时，其斜率如何变化？为什么？ 的点，则当x1≠x2时，直线1的斜率为= y2一y1,当c1=x2时，直线1的斜率 x2一x1 当y1=y2时，直线1的斜率为 提醒：(1)斜率公式中k的值与两点在该直线上 厅新知生成 的位置无关. 设直线的倾斜角为α，斜率为k. (2)=1一y2=y二y1,要求分子、分母下标 90°<a x1一x2x2-x1 a的大小 0 0°<a<90° 909 1809 的顺序一致. k的范围 k=0 不存在 (3)与x轴平行或重合的直线的斜率为0. (4)与x轴垂直的直线的斜率不存在. 随a的 随a的增大而 k的增减性 增大而 今新知应用 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存 在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. 今新知应用 (1)A(2,3),B(4,5); 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的 (2)C(-2,3),D(2,3); 直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率 (3)P(a,2),Q(3,6). 的取值范围. 母题变式(1)：若将本题中的条件改为“A(1,一2)， 「方法总结」利用斜率公式求直线的斜率应注 B(2,1),过点P(0,-1)的直线1与线段AB有 意的事项 公共点”，求直线1的斜率k的取值范围 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”,即直线不 与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率不 存在。 :(2)斜率公式与两点的先后顺序无关，也就是说公 !式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置. 1154 直线的倾斜角与斜率学案17 母题变式(2)：若本题中条件不变，求直线1的倾 2.已知直线过A(0,一1)，B(1,0)两点，则该直线 听 斜角a的取值范围， 的斜率为 ( 笔 A.-1 B.0 C.1 D.2 3.若经过两点A(3,y十1)，B(2,一1)的直线的倾 斜角为不，则y等于 ( A.-1 B.2 C.0 D.-3 4.已知直线l过点P(1,√3)，Q(2,m),若1的倾 斜角的取值范围是 ππ ,则m的取值范 「方法总结」倾斜角和斜率的应用 6’3 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二 围是 ( 者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点的问题，常通过数形结 A[ 25 合利用公式求解 c. D 特别注意：找到斜率不存在的直线 5.已知直线1的斜率k∈[-√3,1]，则直线l的 课堂小结 倾斜角β的取值范围是 1.知识清单： 6.已知直线1过点P(2,2),且与以A(-1,一1) (1)直线的倾斜角， 和B(3,2-√3)为端点的线段相交， (2)直线的斜率以及两点的斜率公式. (1)求直线1的斜率的取值范围； (3)倾斜角和斜率的应用. (2)求直线L的倾斜角a的取值范围. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论， 3.常见误区：垂直于x轴的直线斜率不存在，倾 斜角存在且为90°. 飞课堂达标 1.(多选)下列四个命题中正确的有 A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和 斜率 B.直线的倾斜角的取值范围是[0，π) C.若直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45° D.若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率 为tana 课后反思 5510学案17直线的倾斜角与斜率 新知生成 k>0k<0增大增大 课堂活动 新知应用 活动一 解：如图，由题意可知kA= 4-0 2-0 新知导学 -3-1 =-1,kpB=3-1=1, 问题1提示：两点确定一条直线. 问题2提示：有且仅有一条. A(-3,4) 新知生成 B(3,2) 最小倾斜角(1)0°(2)唯一0°~180 新知应用 0P(1,0) 1.AC[任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负， 倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正 要使1与线段AB有公共点，则直线1的斜率的取值范围 确，B错误，C正确.D中，当a=0°时，sina=0;当a=90°时， 是(-∞，-1]U[1,+∞). sina=1,故D错误.] 母题变式(1)：解：如图， 2.AB[根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， A(1,-2),B(2,1),P(0,-1), 当0°≤a<135时，l1的倾斜角为a+45°， kPA= -2-(-1D=-1,k8=0-2 -1-1=1, 1-0 当135°≤a<180°时，l1的倾斜角为45°+a-180°=a-135°.] 活动二 则使直线L与线段AB有公共点的直线L的斜率k的取值范 新知导学 围为[-1,1]. 母题变式(2)：解：由题意可知直线L的倾斜角介于直线PB与 问题3提示：对于(1)，向量OP=(5,1),由正切函数的定 PA的倾斜角之间.又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角 义，ana=是= 是135°， 5 31 所以a的取值范围是45°≤a≤135°. 对于(2)，向量P,P2=(√2+1，-1)，可平移使OP=P1P 课堂达标 =(√2+1，-1)，所以tana= -1=1-2； 1.BC[对于A,当直线的倾斜角为90°时，直线斜率不存在，故 √2+1 A错误； 对于(3)，类比(2)可知tana=二当 对于B,直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，故B正确； x2-x1 对于C,由题意可得直线的倾斜角的正切值为1，所以直线的 新知生成 倾斜角为45°，故C正确； 1.tan6不存在 对于D,若直线的倾斜角为90°，则直线斜率不存在，故D 2.不存在0 错误。 新知应用 故选BC.] 解：存在，直线AB的卧率0-二 2.C[因为直线过A(0,-1),B(1,0)两，点， -2=1, 即tana=1, 所以该直线的斜率为（一1 1-0 =1.故选C.] 又0°≤a<180°，所以倾斜角a=45°. 3.D[因为经过两点A(3,y十1)，B(2,一1)的直线的倾斜角 3-3 (2)存在.直线CD的斜率kcm=2+2-0, 为 即tana=0, 又0°≤α<180°，所以倾斜角a=0° n3m=y十1-（-1)=-1，解得y=-3.故选D.] 所以tan4 3-2 (3)当a=3时，斜率不存在，则倾斜角a=90°； 4.B[直钱L的斜率=心二5=m-月， 4 2-1 当a≠3时，直线PQ的斜率km一3-a,且倾斜角a满足 4 因为立线1的领斜角的取位范国是[后，】，所以斜率为 tan a=3-a' π π] 活动三 ∈tan6,tan3」， 新知导学 即∈7 问题4提示：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且斜率随着倾斜 33, 角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且斜率随着 倾斜角的增大而增大. 所a号-有5g 271■ 串m5g 活动二 新知导学 故选B.] 问题2提示：A(x1y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点， s[,][) [由直线1的斜率∈[-V5,1], 则AB=(x2一x1y2一y1)是直线l的一个方向向量，它可以 表示任意直线的方向向量，当x2≠x1,即直线1的倾斜角日≠ 可得[o,]u[门 0时脑=9)=a4(2） 6.解：(1)直线1过点P(2,2),且与以A(-1,-1)和B(3,2-√3)为 (x2-x1)·(1,k)=(x2-x1)·(1,tan0)=(x2-x1)· 端点的线段相交.在平面直角坐标系中画出图象如图， (，么8)-6-n0以 4 新知生成 3 2 P 2.(1)不存在 1上 B 新知应用 0 -3-2-1☑1234x 1 1.[0,)U(x)[ra≠+kx,k∈z, -2 ∴.cosa≠0，sina≠土1. -3 令直线1的倾斜角为0， w=二号-1m22-g, 3 3-2 'tan 0=2 sin 2a -=3 sin a cos a 所以直线1的斜率的取值范围为(-∞，一√3]U[1,十∞). sina∈(-l,1),∴.tan0∈(-3，w3), (2)由(1)可知，k∈(-∞，一√3]U[1,+∞)， 直线PA的领针角为子，直线PB的领针角为经， 又0E0,x,故9e[0,)u(管] 2.解：法-：PQ=(4,W3-3)-(1,-3)=(3,3), 由此可得直线1的领针角。的取值范周为[至，)U(受】， “PQ=(3,W5)为直线1的一个方向向量， 由图可知，当直线1的斜率不存在时，所得直线符合题意，此 3,令直线1的领斜角为0， 时直线1的倾斜角α= 2 综上，直线1的倾斜角。的取值范调为[至，] tan 0=3 ,则0=30时 故该直线的斜率为 ,倾斜角为30° 学案18直线的方向向量、法向量 课堂活动 法二：由题意得，直线1的斜率为0=5-3》二（一3） 4-1 活动一 新知导学 3 问题1提示：不一定.可能平行，也可能重合. 新知生成 今复线1的领外扇为9m9=得0=90 平行或重合(1)(1,0)(0,1)(2)共线 新知应用 直线1的-个方向向量a=(1,A)=(1,）, 1.D[由点A(-1,3),B(1,9),可得直线AB的方向向量为 活动三 AB=(2,6), 新知导学 因为经过A,B两点的直线的一个方向向量为(1，k), 问题3提示：无数个，两个. 所以k=3. 问题4提示：设v=(x,y),且v⊥a,则x十2y=0,令x=2,则 故选D.] y=一1.故v=(2,一1)为与a垂直的一个向量. 1-(-5)6 新知生成 2.证明：法-：a加一2-（-32， 垂直(1)互相垂直(2)(yo,-xo)(yo,-xo) -二8-吕-2 新知应用 1.D[由题意得AB-(3,2)-(-1,3)=(4,-1)为直线1的 kAB=kAC,A,B,C三点共线. 一个方向向量，∴.直线1的法向量v=(-1,-4).] 法二：AB=(2,1)-(-1,-5)=(3,6), AC=4,5)-(-1,-5)=5,10)=号A, 29 30°[y=(√3，-3)为直线l的法向量， 则a=(-3,-√5)为直线l的方向向量. AB∥AC, 又AB与AC有公共点A,A,B,C三点共线. k=一33 -3-31 1128