第1章 学案8 异面直线与空间向量-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

人教B版数学选择性必修第一册 课 学案8异面直线与空间向量 记 昆学习任务 1.了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角的关系，会求空间中两条直线所成的 角.（数学运算） 2.了解空间中两条异面直线的公垂线段.（数学抽象） A. 2 课堂活动 5 活动一理解空间中两条直线所成的角与 C.- 25 5 号 两直线方向向量所成的角的关系 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为 阄新知导学 CD和A1B1的中点，则异面直线AF与D1E 阅读教材P32,完成下列问题. 所成角的余弦值是 () 问题1两条相交直线所成的角如何定义？异面 A.0 直线所成的角如何定义？ c 号 「方法总结」一般地，设两直线所成的角为0，两 直线的方向向量分别为a,b,则有cos0= 厅新知生成 cos(a,b)= 1a6若求正弦值，则利用平方 a·b v1,v2分别为空间中直线l1,l2的方向向量，且 关系即可，sin0=√1-cos0. 11与12所成角的大小为0. 话动二理解异面直线与空间向量 阄新知导学 阅读教材P36一37，完成下列问题， 如图，则①0的范脑为b,引 问题2如果空间两直线没有交点，这两条直线 一定平行吗？ ②0=(v1,y2》或0=π一(y1,v2). ③sin0=sinv1,y2）,cos0=|cosv1,v2). @411,9)9,=0 新知应用 厅新知生成 1.若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0, 1.异面直线的判定 -2,-1),b=(2,0,4),则异面直线11与12所 如图(1)(2)所示，如果A∈11，B∈l2,则l1与 成角的余弦值等于 ( l2异面时，可知v1,2,AB是不共面的；反之， 1126 异面直线与空间向量学案8 如果1，y2,AB不共面，则11与L2是异面的， 课堂小结 听 也就是说，此时，“v1,v2,AB不共面”是“L1与 条件。 1.知识清单： 12异面”的 记 (1)空间中两条直线所成的角与方向向量所成 的角的关系. (2)两条异面直线的公垂线段， (1) (2) 2.方法归纳：数形结合、转化与化归， 2.异面直线间的距离 3.常见误区：两条直线所成的角与方向向量所成 一般地，如果11与12是空间中两条异面直线， 的角之间的关系易混淆. M∈l1,N∈l2, ,则称MN 为11与12的公垂线段.两条异面直线的公垂线 课堂达标 段的长，称为这两条异面直线之间的 1.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7), 提醒：直线l,m是异面直线，它们之间的距离 D(1,2,4),则直线AB与直线CD所成角的 为d,P∈l,Q∈m,则PQ≥d. 余弦值为 ( 今新知应用 A.5V22 B.-5v22 66 66 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，棱长都为2，试 找出异面直线BA1与CB1的公垂线段，并求 C.5v22 22 D.-5v22 22 两条异面直线的距离. 2.已知直线11的一个方向向量为m=(x,一2， 0),直线l2的一个方向向量为n=(0,1,1),若 直线11，l2所成的角等于60°，则x=( ) A.0 B.±2C.±√2 D.2 3.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与！ 底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马P-AB- CD中，若PA⊥平面ABCD,且PA=AB=1, 异面直线PD与AC所成角的余弦值为5，则： AD= ( 「方法总结」两条异面直线的公垂线段有且仅 A.6 C.2 D.3 有一条，当公垂线不便寻找时，利用几何知识很难 找到.利用空间直角坐标系，转化成方向向量之间 4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O 的关系较为简单，求解时要注意先建系，再设出 是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中 M,N的坐标，利用MN与异面直线都垂直，就能 点，N是A1B1的中点，则直线NO,AM的位 找到M,N. 置关系是 () 2710 人教B版数学选择性必修第一册 7.如图所示，已知空间四边形 课笔 OABC各边及对角线长都是 D 1,D,E分别是OA,BC的中 0 点，连接DE. A.平行 B.相交 (1)求证：DE是异面直线OA C.异面垂直 D.异面不垂直 与BC的公垂线段； 5.设y1=(0,1,1),v2=(1,0,-1)分别是空间中 (2)求异面直线OA与BC间的距离， 直线11，l2的方向向量，则直线11，l2所成角的 大小为 6.在四棱锥P-ABCD中，PD ⊥平面ABCD,∠PAD= 60°，在四边形ABCD中， ∠ADC=∠DAB=90°， D -c B AB=4,CD=1,AD=2. (1)建立适当的坐标系，并写出点B,P的 坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值. 1 课后反思 11282.证明：设AB中点为O,作OO1∥AA1交A1B1于点O1,连 接OC. 则B(1,0,0),D,(0,1,1),E(00,2),F(1,1,2), M(分1,0)，ca,11D 1:B=(o1,2),DE=(0,-1,-), .BF=-DE,BF∥D1E,BF∥D1E. B M (2=(-10,)Di=(合0，-， 以0为坐标原，点，OB,心，0D,的方向分别为x轴、y轴、之轴的正 1 方向，建主蜘国所示的空间直角垒标系由已知得A(了0小， a(合ooco号oNo9）B(合o 2 BE不与D1M平行， M为BC中点M仔得。)小 ∴直线BE不与直线DM平行. -(》d=10 (3成-(-1,0，)c=(20,-1 AG=-+0+号=0， :B庞.CM=(-1Dx(-)+0×0+2×(-1)=3 MN⊥AB1,.AB1⊥MN 课堂达标 1.B[A(1,0,-1),B(2,1,2), .BE⊥CM,BE⊥CM. 则AB=(2,1,2)-(1,0,-1)=(1,1,3). 学案8异面直线与空间向量 故选B.] 课堂活动 2.B[向量a=(4,一2,6)，b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方 活动一 向向量， 后2将释=-1 新知导学 问题1提示：两条相交直线成4个角，其中不大于90°的角称 故选B.] 为这两条直线所成的角（或夹角）； 3.A[直线1过点A(1,0,一1)，且以u=(2,3,4)为方向向量， 已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a' M(x,y,z)为直线l上的任意一点， ∥a,b'仍，则异面直线a与b所成的角（或夹角）就是直线a 与b所成的锐角（或直角） 则AM/∥m,又因为AM=(x-1,y,z+1), 所以飞。1=义=之十1 新知应用 234 1.B[设4与l2所成的角为0，则cos0=-leoa,b=a:h 故选A.] ab 4号[周为a=2,-1,8.b=(-4,2),且aLb 同是 所以-8-2+3x=0, 2.B[设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， 解得x=号] D C 5.(好-1- ）[设C(xy,z), B 则6z-3y-3+5)=号（-1，-66. D --C 7 解得x=3y=-1,x=-1. B 所以点C的坐标为（仔，-1，-）门 根据题意，可得A正=AA+A,正=A+AM,D正- 6.证明：如图，以A为原点，AB,AD,AA1的方向分别为x轴、 y轴、之轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立空间直角 DD+D成=2A店-AA,且A店.AA=0, 坐标系. 所以A求.D龙-（2A+M)·（2A店-M)- 4 密-号店.+d店-M=-1=-是， 因为a前=√+-√合+1-9月现1D 5 B 2 I110 3 2.B[由题意可得m·n=x·0一2×1十0X1=-2,|m|= 所以cos(AF,D,E》= AF.DE 一4 3 5 √x2+(-2)2+02=√x2+4,n|=√02+12+1=√2， 1AF1ID1E15×5 -2 22 所以cos(m,n)= m·= 3 mn√x2+4·2 可得异面直线AF与D,E所成角的余弦值等于行， 因为直线l1,l2所成的角等于60°， 故选B.] +4·22,解得x=士2. 2 1 所以cos60°=|cosm,n)l= 活动二 新知导学 故选B.] 问题2提示：不一定，根据直线的分类，我们把空间直线分为 3C[由题意，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别 共面直线和异面直线，共面直线包括平行直线和相交直线， 为x,y,之轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 而异面直线说的是这两条直线不同在一个平面内. 新知生成 1.充要 2.MN⊥l1MN⊥l2距离 新知应用 A 解：如图，建立空间直角坐标系 B(0,√3,0)，C(-1,0,0), A1(1,0,2),B1(0,3,2). 设AD=a>0,因为PA=AB=1, 假设MN为BA1与CB1的公垂线段， 所以A(0,0,0),C(1,a,0),P(0,0,1),D(0,a,0), 即3M∈BA1,N∈CB1,使MN⊥ BA1,MN⊥CB1, AC=(1,a,0),PD=(0,a,-1), 令BM=ABA1,CN=uCB1 设异面直线PD与AC所成角为0， 则cos0= AC.PDI a2 4 BA1=(1,-3,2),CB1=(1W3,2). IACIIPDI 设M(x,y,z),BM=(xy-√3，z), 1+aXVa+后， 即5a2=4(a2+1), ∴(xy-√3，z)=(1,-3,2), 即a2=4,因为a>0, .x=λ，y=一3λ+√3，z=2λ， 所以a=2,即AD=2. 即，点M(入，-√3入十3,2)， 故选C.] 同理可求得点N(μ-1，W3u,2μ)， 4.C[建立空间直角坐标系，如图所示， ∴MN=(u-λ-1，N3u十V3-3,2-2λ). 又MN⊥BA1,MN⊥CB1, MN⊥BA,MN⊥CB1, :-A-1-55u+a-5)+2(2a-2a)=0, u-入-1+3(W3μ+√3A-√3)+2(2μ-2λ)=0， = 解得 -(←0，) 设正方体的棱长为2，则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1, 0),N(2,1,2), N0=(-1,0,-2),AM=(-2,0,1),N0·AM=0, MNI- √)+()- 则直线NO,AM的位置关系是异面垂直.] 5 故在BA与CB,上存在点M,N,当B=号BA,C- 53[=(01,10=10,-1D 号CB,时，MN为BA1与CB,的公鲁线段，且两条异面直线 则os(y,21=:=10+0-1=1 v22X2z’ BA1与CB,之间的距离为25 授4山：所成角为0,0[0，]， 课堂达标 则0s9=合故0= 3 1.A[,AB=(2,-2,-1),CD=(-2,-3,-3), AB.CD55√22 故1，山所成角的大小为行] :.cos(AB,CD)= AB1|CD13X√2266 6.解：(1)如图，以D为原点，DA,DC,DP的方向分别为x轴、 y轴、之轴正方向，建立空间直角坐标系. 二直线AB,CD所成角的余孩值为522.] ∠ADC=∠DAB=90°， 111 AB=4,CD=1,AD=2, 述通过空间内任一，点并且与一个向量垂直的平面，我们把 .A(2,0,0),C(01,0),B(2,4,0). AM·n=0通常称为一个平面的向量表示式，其中把非零向 .∠PAD=60°， 量n称为平面a的法向量， 在Rt△PAD中，由AD=2,得PD 新知生成 =2√3. 1.非零垂直法向量 .P(0,0,2√3) 2.(1)方向向量法向量(2)平行(3)0 (2)由(1)得，PA=(2,0,-23), 新知应用 解：因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，所以AB, BC=(-2,-3,0), AD,AP两两垂直. ∴c0sPA,BC)=2X(-2)+0×(-3)+(-2W3)X0 如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), 4×√13 P0,0,D,D0,0,E(0,号，2），c15,0)所以 又异面直线所成的角为锐角或直角， -(o）a成-10 异面直线PA与BC所成角的余孩值为V区 13 7.解：(1)证明：E为BC的中点， :D定=之(D店+D心)，由题意知DB1OA, B x 得DB.OA=0,同理可知D元.OA=0, 设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量， ∴D成.o=2i+Dd).oi=D.ai+2D心. n·AC=0, x+3y=0, 则 即 OA=0, n·AE=0, (2y+ 22=0, ∴.DE⊥OA. x=-3y, 同理可证DE⊥BC, 所以 z=-√3y. ∴.DE是异面直线OA与BC的公垂线段 令y=-1,则x=x=√5， (2):D元-0-0i=2o+20元-2oi, 所以平面ACE的一个法向量为n=(√3，一1，√3).（答案不 “1D1:=(2+20-2o)°-40+o心+ 唯一) 母题变式：解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 0A+20.0元-20房.0A-20元.0A)=子12+1+ 系，则P(0,0,1),C(1W3,0),所以PC=(1,5,-1)即为直 线PC的一个方向向量. 12+2×1×1×cos60°-2×1×1×cos60°-2×1×1× 因为D(0,√3,0)，所以PD=(0,√3，-1). os60= 设平面PCD的法向量为n=(x,y,之)， n·PC=0, D正-号，即异西直线OA与BC阅的矩离为号 则 n·PD=0, 学案9空间中的平面与空间向量 x十3y-之=0， 即 W5y-z=0, 课堂活动 活动一 所以 =0:令y=1,则2=5， z=√3y. 新知导学 所以平面PCD的一个法向量为n=(0,1,√3).（答案不唯一） 问题1提示：有且只有1条，有且只有1个 活动二 问题2提示：如图， 新知导学 问题3提示：线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与 此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行；线面 垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直 线垂直，那么该直线与此平面垂直；面面平行的判定定理：如 容易看出，如果任取两点M1,M2(M1,M2,A三点不共线)， 果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，那么 且AM1·n=0,AM2·n=0,则n⊥a(a为A,M1,M2所在 这两个平面平行；面面垂直的判定定理：如果一个平面过另 平面).由直线与平面垂直的判定定理可知，在平面α内的任 一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 新知生成 一点M都满足AM·n=0,又知满足条件AM·n=0的所 1.l⊥al∥alCa 有点M都在平面a内，这就说明，我们可以用AM·n=0表2.a1⊥a2a1∥2a1与a2重合 112