第1章 学案5 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直学案5 学案5空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 听 昆学习任务 记 1.能利用坐标表示空间向量的平行与垂直关系.（逻辑推理） 2.能根据空间向量的平行与垂直关系解决简单的问题.（数学运算） 2.解空间向量平行应注意的问题：适当引入参数， 课堂活动 建立关于参数的方程；最好选择坐标的形式，以入 活动一掌握空间向量平行的坐标表示 为变量表示坐标，以达到简化运算的目的 阄新知导学 活动二掌握空间向量垂直的坐标表示 阅读教材P20一21，完成下列问题. 阄新知导学 问题1已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2) 阅读教材P21,完成下列问题. (a≠0)，且a∥b,你还记得如何用坐标表示它 问题2已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2) 们的平行关系吗？ (a≠0)，且a⊥b,你还记得如何用坐标表示它 们的垂直关系吗？ 厅新知生成 a=（x1,y1,之1)，b=(x2,y2,z2)(a≠0) 厅新知生成 x2= a=(x1y1,z1),b=(x2,y2,之2)(a≠0) 平行：a/h台b=aa台y2= 垂直：a⊥b台a·b=0台 22= 新知应用 当a的每一个坐标分量都不为零时，有 ah白=y2=2 已知a=(-2,1,3),b=(-1,1,1),若a⊥(a x1y1之1 一λb),则实数入的值为 提醒：若两个向量平行，其中一个向量的坐标分量 A.-2 为0时，则相应的另一个向量的坐标分量也一定 为0. 7 C.3 D.2 新知应用 「方法总结」1.空间向量的垂直常见题型：垂直 已知a=(-1,m,-2),b=(2,-2,n),若a∥ 的判断；利用垂直求参数或解其他问题 b,则m十n的值为 2.解空间向量垂直应注意的问题：适当引入参数， 「方法总结」1.空间向量的平行常见题型：平行 建立关于参数的方程；最好选择坐标的形式，以达！ 的判断；利用平行求参数或解其他问题. 到简化运算的目的。 1710 人教B版数学选择性必修第一册 听 活动三解决空间向量平行、垂直的坐标表 课堂达标 示的综合问题 记 1.已知a=(x,1,-3),b=(1,3,-9),如果a与 新知应用 b为共线向量，则x= () 已知p=(1,1,a)(a>0),q=(2,b,1),r=(c, A.1 B.2 1 1,0)(c>0). D.6 (1)若(p十q)∥(p-q),求a,b的值； 2.已知向量a=(3,1,1),b=(x,-3,0),且a⊥b, (2)若|r|=√2且(p-2q)⊥（p-r),求a,c 则x= () 的值. A.-3 B.-1C.1 D.3 3.设x,y∈R,向量a=(x,2,2),b=(2,y,2), c=(3,-6,3),且a⊥c,b∥c,则la+b|= A.3√2 B.42C.5 D.6 4.已知向量a=(-1,2,3),b=(1,-2,-1),若 a⊥(a+λb),则实数入的值为 5.已知向量a=(2,0,-1),b=(m,-2,1),且 a⊥b,则m= 「方法总结」平行与垂直的应用 ,|a+b|= (1)适当引入参数（比如向量a,b平行，可设a= 6.已知空间向量a=(2,4,一2)，b=(-1,0,2), 入b),建立关于参数的方程. c=(x,2,-1). (2)选择坐标形式，以入为变量表示坐标，以达到 (1)若ae,求|cl; 简化运算的目的. (2)若b⊥c,求cos(a,c》的值， 课堂小结 1.知识清单： (1)空间向量平行的坐标表示. (2)空间向量垂直的坐标表示。 (3)空间向量平行、垂直的坐标表示的综合 问题. 2.方法归纳：公式法 3.常见误区：当两向量共线时，两向量的坐标比例 相同的前提是坐标分量均不为0. 课后反思 118P成-A成-市-+访-A-AD-D-店 活动三 新知应用 +2A市-d-A市-2-A-2A市-AA,=a 解：(1)a=（-4,2,4), -c, .la=√(-4)2+22+4=√36=6. (2)a=(-4,2,4),b=(-6,3,-2), 故AM.Pi=(a+2b）·(3a-2b-c) .a·b=(-4,2,4)·(-6,3,-2) =24+6-8=22, -ga-za.6-a.e+ib.a-i8-z6.c 又|a=6,|b|=√/(-6)2+32+(-2)2=7， =×4-×8-0 2211 .cos(a,b）= 6×7211 即AM⊥PM,则AM与PM所成的角为90°.] 发口与b灸角的余款位方品 6.解：1)证明：AG-店+A市+AM-店+市+号Ad 课堂达标 1.C[A中，p=(2,-1,3);B中，q=(-1,2,0);C中，r=(1, +子AA=A店+子AA+A市+子AA,=(A店+B配)+ 3,-1);D中，s=(0,-3,0).] (AD+DF)=AE+AF, 2.B[.a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1), .b=a十b-a=(-1-1,2-(-2),-1-1)=(-2,4,-2). A,E,C1,F四点共面 故选B.] (2):E示=AF-A正=AD+D示-(A店+BE)=AD+ 3.A[因为a=(1,-2,1),b=(2,0,1),所以2a-b=2(1,-2,1) 号D,--专丽=-+A茄+AM, -(2,0,1)=(0,-4,1),所以|2a-b|=√02+(-4)2+1 又EF=xA店+yAD+AA, =17 故选A.] =-1y=1= 4.2[由题意，得c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2), 1 :x十y十z=3 由(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2,解得x=2.] 5.5[已知a=(-1,2,1),b=(1,3,2), 学案4空间向量的坐标与运算 则a+b=(0,5,3),2a-b=(-3,1,0) 则(a+b)·(2a-b)=0×(-3)+5×1+3×0=5.] 课堂活动 6.解：(1)a+b-2c=(2,-3,1)+(2,0,3)-2(0,2,2) 活动一 =(2,-3,1)+(2,0,3)-(0,4,4)=(4,-7,0), 新知导学 a+b-2cl=√4+(-7)2+02=√65. 问题1提示：能.对于平面中任意不共线的向量e1,e2,若p= (2)a-b=(0,-3,-2),b-c=(2,-2,1), xe1十ye2,则有序实数组(x,y)是基底{e1,e2}下的坐标. 新知生成 .|a-b|=√13，|b-c|=√9=3， (1)单位向量两两垂直(2)单位正交分解(3)(x,y,x) (a-b)·(b-c)=0+(-3)×(-2)+(-2)×1=4. 坐标分量 新知应用 ..cos(a-6,b-c)-(a-b).(b-c) la-bllb-cl 解：a=(3,2,-1);b=(-1,0,3). 44W13 活动二 √13X339 新知导学 学案5空间向量的坐标与空间向量的 问题2提示：a+b=(x1+x2y1十y2):a-b=(x1一x2y1一y2)y Aa=(入x1,y1);a·b=x1z2十y1y2;la=√x+y等. 平行、垂直 新知生成 x1=x2y1=y2,21=22(x1十x2y1十y2,之1十z2) 课堂活动 x1x2十y1y2十z1之2 活动一 新知应用 新知导学 解：a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2,-2,2), 问题1提示：0/h=b=a台区：二1'当1y1都不为0时， 2a·(-b)=2(2,-1,-2)·(0,1,-4)=(4,-2,-4)· y2=y1, (0,1,-4)=4×0+(-2)×1+(-4)×(-4)=14, 又a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2,0,-6), 有-出=入，即x1y2一xy1=0,而此时x11x2归可 x1 y1 .(a+b)·(a-b) 以是任意实数 =(2,-2,2)·(2,0,-6) 新知生成 =2×2十(-2)×0+2×(-6)=-8. x1Ay1λz 16 新知应用 则a2=(-1)2+22+32=14,a·b=(-1)×1+2×(-2)+ 5[法-：由题意知，n≠0，则2 =m=2 解得m= 3×(-1)=-8, -21 因为a⊥(a+Ab), 1,n=4, 则a·(a+入b)=a2+aa·b=14-8x=0, 所以m十n=1十4=5. 7 2=一入， =-2, 解得入=4？ 法二：设b=Aa,则一2=mλ，解得(m=1, n=-2, n=4, 所以实数入的维为子] 所以m+n=5.] 2 ,[由题意知，a·b=2m-1=0,解得m=2； 活动二 新知导学 因为a=(2,0,-1D,b-(2,-2,1)a+b-(号，-2,0， 问题2提示：aLb曰(a,b)=90°台c0s90°= a·b a11bT=0a. b=0台x1x2十y1y2=0. 所以1a+b1-,√）+(-2F-] 新知生成 6.解：(1)ac, x1x2十y1y2十z1z2=0 ∴.存在实数k,使得c=ka, 新知应用 |x=2k, C[.向量a=(-2,1,3),b=(-1,1,1), .2=4k, 则x=1, .a-λb=(-2+λ，1-λ，3-λ)， -1=-2k, 若a⊥(a-b), 则|c|=√12+22+(-1)2=√6. 则a·(a-λb)=-2(-2+λ)+(1一λ)+3(3-λ)=0， (2)b⊥c,则b·c=-x十0一2=0， 7 :λ=3 x=一2， ∴.c=(-2,2,-1), 故选C.] a·c 活动三 故cos(a,c)=1ad 新知应用 -2×2+2×4+(-1)×(-2)=6 解：(1)已知p=(1,1,a)(a>0),q=(2,b,1), √4+16+4X×√4+4+1 6 则p+q=(3,1+b,a+1),p-9=(-1,1-b,a-1), (p+q)∥p-q), 学案6空间直角坐标系及空间向量坐标 :1+6=-31-0, (a+1=-3(a-1), 的应用 解得a=分6=2. 课堂活动 活动一 (2)由题意得，p-2g=(-3,1-2b,a-2),p-r=(1-c,0,a), 新知导学 rl=2且(p-2q)L(p-r), 问题1提示：斜二测画法，它是空间几何直观图的画法基础。 :+1-. 它的口诀是：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮 -3(1-c)+a(a-2)=0, 为虚，空间观感好体现 .a=2,c=1. 新知生成 课堂达标 1.xOy zOy平面垂直Oxyz(1)垂直坐标轴(2)坐标平面 1.C[由于a=(x,1,-3),b=(1,3,-9),且ab xOy平面yOz平面Ox平面(3)垂直 故子-了号释红子 1 2.坐标分量横坐标x坐标纵坐标y坐标竖坐标 之坐标 故选C.] 新知应用 2.C[因为向量a=(3,1,1),b=(x,-3,0),且a⊥b, 角度1 所以a·b=3x十1×(-3)十1×0=0，解得x=1.故选C.] 1.解：建立如图所示的空间直角坐标系.点E在之轴上，它的x坐 3.D[a⊥c,a=(x,2,2),c=(3,-6,3), .a·c=3x-12+6=0,.x=2, 标、y坐标均为0，而E为DD,的中点，故其坐标为(0,0，）)： 6c6=y2e=8,63号=。号 D .y=-4, B ∴.a+b=(4,-2,4), E: H ∴.a+b|=√42+(-2)2+42=6. Di(O)M.ik 故选D.] B 4.子[向量a=(-1,23),b=(1,-2,-10, 由F作FM⊥AD,FN⊥DC,垂足分别为M,N, 71