1.2.2 空间中的平面与空间向量-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第一册人教B版 (2)证明：如图所示，建立 空间直角坐标系D-,则有 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0 2,0),C(0,2,2),E(2,2, 1),F(0,0,1),FC=(0,2, 1),DA=(2,0,0),AE=(0, 例4答图 2,1). .DAC平面ADE,AEC平面ADE, 且(0,2,1)=0(2,0,0)+(0,2,1)， 即FC=ODA+AE, FCC平面ADE或FC∥平面ADE. 又FC平面ADE,FC∥平面ADE. 变式训练3各，-子-【解析】设Cx,y,), AC=(x-1,y-1,z+4),AB=(1,-5,6),由AC= 阳是.4层 z+4=3, z=-1. 变式训练40【解析】由题意，得AB=(-1,-2-y,8- 3,则号号，解得20 数学文化 A【解析】如图，以矩形ABCD的中心O为原点， CB的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系。 例题答图 四边形ABCD为矩形，EF∥AB,△ADE和△BCF 都是正三角形，∴EFC平面yOz,且z轴是线段EF的垂 直平分线.设AB=3,则EF1,AD=2,D-1,-弓，0)， E0,-,V2,B1,3,0,F0,,V2) DE=(1,1,V2),BF=(-1,-1,V2),DE BF=-1x1+1x(-1)+V2xV2-0,DE1BF,异面 直线DE与BF所成的角为受.故选A 26 1.2.2空间中的平面与空间向量 要点精析 例1解：：在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD为矩形，PA⊥ 平面ABCD,E为PD的中点， AB=AP=1,AD=V3, ·.以A为原点，AB所在直 线为x轴，AD所在直线为y 轴，AP所在直线为z轴，建立 例1答图 如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),C(1,V3,0), D0,V5,0,P0,0,1,E0,, aE=o,.,C=1,Vs,0. 设平面ACE的法向量n=(x,y,z), 则 正+0， n.AC=x+V3y-0, 取y=-V3,得n=(3,-V3,3). .平面ACE的一个法向量为=(3，-V3,3). 变式训练1解：以A为原点，分别以AB,AC,AP的 方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 (图略)，可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0), P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1), N(1,2,0). (1)DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2). 设n=(xo,o,o)为平面BDE的法向量， n-D2-0,即 2y0=0, nDB=0.2x-20. 令z0=1,n=(1,0,1),又MN=(1,2,-1),可得 MNn=O.MNt平面BDE,MN∥平面BDE. (2)BE=(-2,2,2),设AH=h(0≤h≤4)， 则H(0,0,h),进而可得N☑=(-1，-2，h). 由已知得kos(N7,BEL☑.BEi。2-21 NHIBEI Vh+5·2V3 1V7 21 整理得10-21h+80,解得M号或k=号 :线段AH的长为袋或号 5 例2证明：(1)以D为原点， 向量DA,DC,DD的方向分别 为x轴、y轴、z轴的正方向建 立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则D(0,0,0),A(1,0,0), E1,1,,G(0.1,1). 例2答图 M1,0,3,D1=(1,0.0. E-1,1,,c-1,-1, 设平面ADE的法向量为m=(a,b,c), 则m10,=0. m-DE=0 ab+7c-0 令c=2,得m=(0,-1,2). mCf=0,-1,2)1,-1,-3)0+1-10, .CM⊥m 又.CM￠平面ADE,..CM∥平面ADE 2)由D(0,0.1,A(1,0.1D,F0,,0. 得0-1,0,0,0-0.分- 设平面ADF的法向量为n=(x,y,z), 则n-D40.=0 →1 n-DF-0 2=0. 令y=2,则n=(0,2,1). m=(0,-1,2)(0,2,1)=0-2+2=-0, m⊥n.平面ADE⊥平面ADE 变式训练2①④【解析】a=(1,-1,2),b= 2,1,2,ab=1x2-1x1+2x--0,a1b, .直线l与m垂直，故①正确： a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1),∴.an=0x1+1× (-1)+(-1)×(-1)=0,a⊥n,∴l∥ax或1Ca,故②错误； n=(0,1,3),2=(1,0,2),n与2不共线， ∴α∥B不成立，故③错误； 点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0), AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0),向量n=(1,u,t) 是平面α的法向量， na-0,即-l+-0,则+ n-BC=0, -1+u-0, 1,故④正确。 参考答案。 综上，真命题的序号是①④. 变式训练3证明：如例2，设正方体棱长为1，以D为 原点，AD,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴 的正方向建立空间直角坐标系（图路），则1,1，方， N分，，A1,0,0.B,11,c0,1,0. B-号，分，AB-0,1,0,AC-(1,1, 0),.EN·AB=0,EAC-0,EN⊥AB,EN⊥AC, 即EN⊥AB,EN⊥AC.又AB,∩AC=A,.EN⊥平面 BAC. 例3证明：如图所示，连接BD, AB,.:四边形ABCD是正方形， AC⊥BD. 又DD⊥平面ABCD, .BD是斜线BD1在平面 ABCD内的射影，BD⊥AC. 例3答图 而AB是BD1在平面ABBA,内的射影， .BD1⊥AB 又AB∩AC=A,BD11平面ABC 变式训练4证明：如图，过点P 作PH⊥平面ABC,连接AH并延 长交BC于点E,连接BH并延长交 AC于点F,PH⊥平面ABC,PA⊥ BC,而PA在平面ABC内的射影为 AH,由三垂线定理的逆定理知 变式训练4答图 BC⊥AH,同理可证BF⊥AC,则H 为△ABC的垂心.连接CH并延长交AB于点G,于是 CG⊥AB,而CH是PC在平面ABC的射影，故PC⊥AB. 数学文化 14【解析】如图所示，过点 A分别作CD,EF的高，垂足分 别为N,M, .·平面ABCD⊥平面ABEF,D ABH∥CD∥EF, 平面ABCD∩平面ABEF=AB,例题答图 故NA⊥平面ABEF,故AN⊥AB,AN⊥AM 又.AM⊥AB,故AN,AB,AM两两垂直 以A为坐标原点，AB,AM,AN的方向分别为x 轴、y轴、z轴的正方向， 建立空间直角坐标系A2,则由题意可知： B(6,0,0),D(-2,0,3),F(-1,7,0), A(0,0,0), 27 高中数学选择性必修第一册人教B版 故BF=(-7,7,0),AD=(-2,0,3), 故AD.BF-14 1.2.3直线与平面的夹角 要点精析 例1(1)证明：PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, .PA⊥BC. 又∠BCA=90°，AC⊥BC.又ACC平面PAC, PAC平面PAC,PA∩AC=A,.BC⊥平面PAC. (2)解：如图所示，取PC的中点 E,连接DE D为PB的中点，.DE∥BC .DE⊥平面PAC. 连接AE,则AE是AD在平面 PAC内的射影， 例1答图 ..∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角. 设PA=AB=a,在Rt△ABC中， LABC=60°，∠BCA=90°，：BC=号，DE=4 A 在Rt△ABP中，AD=V2。 2a, ∴sin∠DAE-DE、 4 =V2 AD V2 4 2 -a 即AD与平面PAC夹角的正弦值为V 4 变式训练1D【解析】连接 D BD,BD,BB1⊥平面ABCD, DA⊥平面AAB,B,所以BD与 平面ABCD和平面AABB所成 的角分别为∠BDB,∠ABD, .∠BDB=∠ABD=30° 变式训练1答图 设AD=1,则AB1=V3,BD=2,BB=1,BD= V3,AB=V2.AB=V2AD,故A错误； 易求AC=V3,CB,=V2,AC≠CB,故C错 误；过B作BH⊥AB,交AB,于H,.∠HAB为AB 与平面AB,CD所成的角，：BH=ABBB=V6 AB :sin∠HAB=B盟=Y3,故B错误： ΓAB3 又∠DBC为BD与平面BBCC所成的角， n∠B品-竖，∠DR45,故D正确 例2解：方法一：OA=0B=0C=a, 28 ∠AOB=∠AOC=60°，.AB=AC=a. 又BC=V2a,.AB2+AC-BC .△ABC为等腰直角三角形. 同理△BOC也为等腰直角三角形 如图所示，取BC的中点H, 连接AH,OH. 例2答图 On-,A0m. AH2+OH2-AO. ∴.△AHO为等腰直角三角形.AH⊥OH 又AH⊥BC,OHnBC=H,∴AH⊥平面a .OH为A0在平面内的射影，∠AOH为OA与平 面α所成的角。 在Rt△AOH中，.sin/AOH=4-V2 A0-21 .∠A0H=45°..0A与平面所成的角为45° 方法二：.∠AOB=∠AOC=60°， .OA在c内的射影为∠BOC的平分线 作∠BOC的平分线OH交BC于H, 又.OB=0C-a,BC=V2a,∴.∠B0G-90, 故∠B0H=45°.由公式cos0=cos0cosA, 得cos∠A0H=Cos∠A0B=V2 Cos∠B0H2, .OA与平面所成的角为45° 变式训练2解：由题意得∠CBD=45°， ∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角O ·.cos∠PBC=cos0Cos∠CBD,∠PBC=60°. 即cos60°=c0s0-c0s45°，c0s0=Y2,0=45. 2 例3(1)证明：在直三棱柱ABC-ABC中，AC⊥ BC,AC=BC=1,CC=2,点M是AB1的中点 以C为原点，建立如图所示的 空间直角坐标系， 则B(0,1,2),C(0,0,0) A(1,0,0),C(0,0,2), A(1,0,2), M3,3,2 例3答图 BC=(0,-1,-2),AC1=(-1,0,2), am3,分2 设平面ACM的法向量n=(x,y,z), n·AC1=-x+2z=0,高中数学选择性必修第一册人教B版 1.2.2 空间中的 学习目标 1.理解平面的法向量的概念，会求平面 的法向量。 2.会用平面的法向量证明平面的平行与 垂直. 3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理 证明有关垂直问题， 要点精析 川要点1平面的法向量 1.如果a是空间中的一个平面，n是空 间中的一个非零向量，且表示n的有向线段 所在的直线与平面ax垂直，则称n为平面x 的一个法向量.此时，也称n与平面ax垂直， 记作n⊥x 2.平面的法向量的性质 (1)如果直线1垂直平面α，则直线1 的任意一个方向向量都是平面的一个法 向量 (2)如果n是平面的一个法向量，则 对任意的实数入≠0，空间向量入n也是平面 α的一个法向量，且平面α的任意两个法向 量都平行. (3)如果n为平面a的一个法向量，A 为平面α上一个已知的点，则对于平面ax上 任意一点B,向量AB一定与向量n垂直， 即n·AB=0,从而可知平面a的位置可由n 和A唯一确定！ 3.如果v是直线l的一个方向向量，n 16)学 平面与空间向量 是平面a的一个法向量，则n∥v台l⊥a, n⊥v→l∥ax,或lCa. 4.如果n1是平面a的一个法向量，2 是平面a2的一个法向量，则n1⊥n2台a1⊥2， n1∥n2台a1∥2或a1与a2重合. 思考平面α的法向量唯一吗？如果 不唯一，它们之间有什么关系？ 例1如图1-2-6，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD, E为PD的中点，AB=AP=1,AD=V3,试 建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量. 图1-2-6 B变式训练① 如图1-2-7，已知在三棱锥PABC中， PA⊥底面ABC,∠BAC=90°，点D,E,N 分别为棱PA,PC,BC的中点，M是线段 AD的中点，PA=AC=4,AB=2. (1)求证：MW∥平面BDE; (2)已知点H在棱PA上，且直线NH 与直线服所成角的余弦值为7，求线 段AH的长 M N 图1-2-7 例2如图1-2-8所示， D 在正方体ABCD-A B C D1中， E,F,M分别为棱BB1, CD,AA1的中点.求证： (1)CM∥平面ADE; 图1-2-8 (2)平面ADE⊥平面ADF 反思感悟 利用向量法证明空间中平行或垂直的 关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证 法的核心是利用向量的数量积或数乘运算. 第一章空间向量与立体几何。 B变式训练2 给出下列命题： ①直线l的方向向量为a=(1,-1,2), 直线m的方向向量为b=2,1,-2,则1 与m垂直； ②直线l的方向向量为a=(0,1,-1), 平面ax的法向量为n=(1,-1,-1),则1⊥x; ③平面a,B的法向量分别为n1=(0,1, 3),n2=(1,0,2),则ax∥B; ④平面x经过三点A(1,0,-1),B(0, 1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是 平面a的法向量，则u+t=1. 其中真命题的是 (把你认为正 确命题的序号都填上) B变式训练③ (变条件、变结论)在例2中，设DB, 的中点为N,其他条件不变.试证：EWL平 面BAC. 学(17 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 川要点2三垂线定理及其逆定理 1.三垂线定理：如果平面内的一条直线 与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直， 则它也和这条斜线垂直. 2.三垂线定理的逆定理：如果平面内的 一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它 也和这条斜线在该平面内的射影垂直， 例3如图1-2-9，已知在正方体 ABCD-ABCD1中，连接BD1,AC,CB1, BA,求证：BD1⊥平面ABC 图1-2-9 反思感悟 利用三垂线定理证明垂直的步骤： (1)找平面（基准面）及平面的垂线， (2)找射影线（平面上的直线与斜线）. (3)证明射影线与直线垂直，从而得 线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面 垂直 18)学 B变式训练④ 在四面体PABC中，PA⊥BC,PB⊥ AC,求证：PC⊥AB. 数学文化 例《九章算术》第 五卷中涉及一种隧道— 羡除.书中描述如下：今 有羡除，下广六尺，上广 一丈，深三尺，末广八 图1-2-10 尺，无深，袤七尺.如图，可知该羡除是一 个如图1-2-10所示的多面体ABCDFE,四 边形ABCD、四边形ABEF均为等腰梯形， AB∥CD∥EF,平面ABCD⊥平面ABEF,梯 形ABCD,梯形ABEF的高分别为3,7，且 AB=6,CD=10,EF=8,则AD·BF= 分析过点A分别作CD,EF的高， 垂足分别为N,M,可证明AN,AB,AM 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求 出B,D,F,A的坐标，从而求出AD·BF 的值即可