第01讲 概率的初步（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第01讲 概率的初步 知识点1：事件的类型 知识点2：概率 知识点3：频率与概率 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 【题型1事件类型】 【典例1】下列语句所描述的事件是随机事件的是（   ） A．任意画一个四边形，其内角和为 B．在平面内任意画一个三角形，它是等腰三角形 C．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形 D．过平面内不在同一直线上的三点画一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念. 必然事件：在给定条件下必定会发生的事件．不可能事件：在给定条件下永远不会发生的事件．随机事件：在给定条件下既可能发生也可能不发生，结果不确定的事件．根据事件发生的可能性的大小逐项进行判断即可得. 【详解】解：A. 四边形的内角和恒为 ，而不是 ，因此该描述的事件根本不可能出现， ∴是不可能事件，故A不符合题意； B. 画一个三角形时，是否为等腰三角形是不确定的．有可能画出等腰三角形，也有可能画出不等腰三角形．结果不确定，取决于怎么画． ∴这是一个随机事件，故B符合题意； C. 平行四边形的对角线互相平分，图形绕交点旋转 后与自身重合，必然满足中心对称的性质， ∴是必然事件，故C不符合题意； D. 三个不共线的点唯一确定一个圆（即唯一的外接圆），作圆的过程必然成功， ∴是必然事件，故D不符合题意． 故选：B． 【变式1】掷一枚均匀的骰子，下列属于确定事件的是（　　） A．朝上的数字小于7B．朝上的数字是奇数C．朝上的数字是6 D．朝上的数字大于3 【答案】A 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的定义，确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可解答． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字小于7是必然事件，即确定事件，故A符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是奇数是随机事件，故B不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是6是随机事件，故C不符合题意； D、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字大于3是随机事件，故D不符合题意； 故选：A． 【变式2】下列事件是必然事件的是（   ） A．打开电视，正在播放广告 B．某射击运动员射击一次，命中靶心 C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．任意画一个三角形，它的内角和是 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，解答本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 根据必然事件的定义判断即可． 【详解】A、打开电视，正在播放广告，是随机事件； B、某射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件； C、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件； D、任意画一个三角形，它的内角和是，是必然事件； 故选：D． 【变式3】下列语句所描述的事件是随机事件的是（    ） A．任意画一个四边形，其内角和为360° B．经过任意两点画一条直线 C．任意画一个菱形，是中心对称图形 D．过平面内任意三点画一个圆 【答案】D 【分析】根据随机事件的定义，判断各选项是否为可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A． 四边形的内角和恒为，是必然事件； B． 两点确定一条直线，是必然事件； C． 菱形对角线相互平分，必为中心对称图形，是必然事件； D． 过三点画圆需三点不共线，而“任意三点”可能共线也可能不共线，故为随机事件． 故选D． 【题型2可能性大小】 【典例2】．若气象部门预报明天下雨的概率是，下列说法正确的是（   ） A．明天一定不会下雨 B．明天下雨的可能性比较小 C．明天下雨的可能性比较大 D．明天一定会下雨 【答案】C 【分析】本题主要考查随机事件，熟练掌握随机事件的定义是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：若气象部门预报明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大； 故选C． 【变式1】不透明的袋子里有10个球，分别标注序号．从中任意摸一个，摸到号码是下面哪一种数的可能性最小（   ） A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】C 【分析】本题考查了事件发生的可能性大小，先分别确定中奇数，偶数，质数，合数的个数，再比较个数的大小，个数最少的摸到可能性最小，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在中的奇数有：，共个， 在中的偶数有：，共个， 在中的质数有：，共个， 在中的合数有：，共个， ∵， ∴摸到质数的可能性最小， 故选：C． 【变式2】把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 【答案】D 【分析】本题考查可能性，可能性的大小是指所求情况数占总情况数的几分之几，结合题意逐项判断即可． 【详解】解：7张卡片中，数字1有4张，数字2有1张，数字3有2张， 因此摸出卡片1、2、3的可能性分别为：，，， 随意摸出一张，不一定能摸出，故 A选项描述错误； 随意摸出一张，可能摸出，故 B选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最小，故 C选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最大，故D选项描述正确； 故选：D． 【变式3】不透明的袋子中装有标号为1，2，2，3，3，3的完全相同的六个小球，从中任意摸出一个球，则最有可能摸到的标号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查的是对可能性大小的判断，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．根据题意得到相应的可能性，然后再比较即可． 【详解】解：摸到标号为1的球的可能性为， 摸到标号为2的球的可能性为， 摸到标号为3的球的可能性为， ∵， ∴摸到标号为3的球的可能性最大． 故选：C． 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的计算公式：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 3.求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【题型3概率的意义】 【典例3】已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（　　） A．连续抛一枚均匀硬币2次，必有1次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币10次，都可能正面朝上 C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 【答案】A 【分析】本题考查概率的意义． 根据概率的意义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．连续抛一枚均匀硬币2次，都可能反面朝上，原说法错误，符合题意； B．连续抛一枚均匀硬币10次，都可能正面朝上，原说法正确，不符合题意； C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次，原说法正确，不符合题意； D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，原说法正确，不符合题意． 故选：A． 【变式1】学完《概率初步》这章后，老师让同学结合实例说说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件 C．丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 【答案】A 【分析】本题考查了概率的意义，随机事件，根据随机事件、必然事件、不可能事件及概率的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件，正确，故A符合题意； B、乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是必然事件，原说法错误，故B不符合题意； C、丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，原说法错误，故C不符合题意； D、丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是，是不正确的，因为试验次数太少，不能确定钉尖朝上的概率，故D不符合题意； 故选：A． 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是必然事件 B．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 D．了解某型号电视机的使用寿命，适合用全面调查的方式 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，判断全面调查与抽样调查，概率的意义理解，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是随机事件，本选项说法不正确，不符合题意； B、“明天降雨的概率为”，表示明天有一半的可能性降雨，本选项说法不正确，不符合题意； C、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，本选项说法正确，符合题意； D、了解某型号电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式，本选项说法不正确，不符合题意． 故选：C． 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点 B．可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 C．天气预报说明天下雨的概率是，意思是说明天将有一半时间在下雨 D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义，即可解决，关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量，概率小的有可能发生，概率大的有可能不发生． 【详解】解：A、每个点数出现的机会是相同的， 故错误； B、可能性很小的事件，只是出现的机会比较小，也可能发生，故错误； C、天气预报说明天下雨的概率是，是指降雨这件事发生的可能性是，并不表示下雨的时间占总时间的一半，故错误； D、由于图钉的结构不对称，钉尖触地和钉尖朝上不是等可能事件，所以它们的概率不相等，故正确． 故选：D． 【题型4几何概率】 【典例4】如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是，再根据几何概率求解即可． 【详解】解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是， 则这个点取在阴影部分的概率是． 故答案为：． 【变式1】如图是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形若直角三角形的两条直角边长分别为和，在大正方形内任意取一点，则点落在阴影区域内的概率是 ． 【答案】 【分析】本题以弦图为背景考查了几何概率，勾股定理，二次根式的乘法运算，掌握其性质是解题的关键． 根据题意求得直角三角形的斜边长，即可求得大正方形的面积和小正方形的面积，结合几何概率即可求得答案． 【详解】解：直角三角形的两条直角边长分别为和， 直角三角形的斜边长为，个直角三角形的面积为 大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴点落在阴影影区域内的概率是． 故答案为：． 【变式2】一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，解题的关键掌握根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 根据正方形的性质求出阴影部分占整个面积的，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的， 故答案为：． 【变式3】如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/0.25 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【题型5概率公式】 【典例4】2025年是乙巳年，也是我们俗称的“蛇年”，其中“乙”是天干，“巳”是地支．其中地支包括子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪．从“地支”中抽一个，抽到“巳蛇”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单的概率的求法，掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键；直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：所有等可能的情况共有12种，其中抽到“巳蛇”的情况有1种， 所以抽到“巳蛇”的概率是， 故选：． 【变式1】一个不透明的盒子中装有9个除颜色外大小质量等都相同的球，4个是黄球，2个是白球，3个红球，从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有9个除颜色外其他均相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球3个红球， ∴从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是：． 故答案为：． 【变式2】一架钢琴有个琴键，其中白键比黑键多个，随机弹下一个琴键，弹中白键的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用概率公式求概率，解题关键是列出有所事件的数量与符合条件的数量． 先求出黑键的数量，再求出白键的数量，然后利用概率公式求概率 【详解】解：∵一架钢琴有个琴键，其中白键比黑键多个， ∴这架钢琴黑键有，白键有， ∴随机弹下一个琴键，弹中白键的概率为， 故答案为：． 【变式3】从中任取一个数作为，则抛物线的开口向上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求概率，二次函数的图象和性质，对于二次函数，其开口方向由二次项系数判定． 根据时开口向上求出开口向上的数量，进而求概率即可． 【详解】解：∵时，抛物线的开口向上 ∴时，抛物线的开口向上 ∴使抛物线的开口向上 即抛物线的开口向上的概率是 故答案为： 【题型6列表法与树状图法】 【典例6】一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”、“好”、“数”、“学”四个字，卡片除文字外都相同、并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到写有“数”的卡片概率是____________； (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张写有“数”、1张写有“学”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【详解】（1）解：盒子里装有四张卡片， 从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“数”的概率是， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“数”，1张为“学”的结果有2种， ∴抽取的卡片恰好1张为“数”、1张为“学”的概率为：． 【变式1】小滨的父母决定周末带她去旅游，初步商量有意向的四个景点分别为：A．明月山，B．庐山，C．婺源，D．三清山．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小滨的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任何不同），让小滨随机先抽一次（不放回），再抽一次，每次抽一个签，每个签抽到的机会相等． (1)小滨最希望去婺源，则小滨第一次恰好抽到婺源的概率是 ； (2)除婺源外，小滨还希望去明月山，求小滨抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率是多少．（通过“画树状图”或“列表”进行分析） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查利用列表法或树状图法求概率及概率公式，熟练掌握运用列表法或树状图法是解题关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）由列表法或树状图法得出所有结果及满足条件的结果，然后由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小滨从中抽签，共有4种等可能结果，其中第一次恰好抽到婺源的有1种结果，概率． 故答案为：． （2）解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的情况数有10种， ∴抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率． 【变式2】一个不透明的盒子里装有分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节的4张书签，书签除图案外其余都相同，将4张书签充分混匀． (1)若从盒子中随机抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为_______； (2)若从盒子中先随机抽取1张书签，记录季节后放回，将其充分混匀后再随机抽取1张书签，请你用画树状图或列表的方法，求抽取的书签恰好1张为“秋”，1张为“冬”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查简单概率计算，根据树状图求概率等，正确进行计算是解题关键． （1）根据题意可直接得到答案； （2）先根据题意画出树状图，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵盒子里装有4张书签， ∴从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为：， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“秋”，1张为“冬”的结果有2种， ∴概率为：． 【变式3】国家航天局消息：神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： (1)此次调查中接受调查的人数为______人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______； (2)补全条形统计图； (3)该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率． 【答案】(1)50， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了树状图求概率及条形统计图和扇形统计图等知识． （1）由“关注”的人数除以所占百分比得出此次调查中接受调查的人数；用关注的人数所占百分比乘以即可得到“关注”对应扇形的圆心角的度数； （2）求出“非常关注”的人数，补全条形统计图即可； （3）列出表格，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（人）， ， 故答案为：50；； （2）解：“非常关注”的人数为：（人），补全条形统计图如下： （3）解：如表所示： A B C D A B C D 共有12种等可能结果，其中抽到A、B两位的结果有2种：，， ． 【题型7游戏的公平性】 【典例7】甲、乙两人做游戏，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．试问这个游戏公平吗？请用列表法或树状图法说明理由． 【答案】该游戏不公平，理由和树状图见解析 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到牌面数字之和为奇数和牌面数字之和不为奇数的结果数，最后根据概率计算公式分别计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】解：该游戏不公平，理由如下： 画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中牌面数字之和为奇数的结果数有8种，牌面数字之和不为奇数的结果有4种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率比乙获胜的概率大， ∴这个游戏不公平． 【变式1】“五一”期间，小明一家为外出游玩目的地争执不下，小明爸爸想去崂山巨峰，而妈妈想去北九水．于是小明设计了一个游戏：有一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，转动转盘两次，若第次指针指向的数字减去第次的差为正数，则去崂山巨峰，若差为负数则去北九水．若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】这个游戏对双方是公平的，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式求出去崂山巨峰、去北九水的概率的概率，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：这个游戏对双方是公平的，理由如下： 列表如下： 第2次    第1次 由表知，共有种等可能结果，其中差为正数的有种结果，差为负数的有种结果， 所以去崂山巨峰的概率去北九水的概率， 则这个游戏对双方是公平的． 【变式2】现有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中装有2个小球，它们分别写有英文字母A、C，乙袋中装有3个小球，它们分别写有英文字母E、G、H，这些球除所写字母不同外其余完全相同． (1)将乙袋摇匀，然后从乙袋中随机取出一个小球，则所写字母恰好是元音字母的概率是____； (2)小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的甲、乙两袋中各随机取出一个小球，取出的这两个小球，若所写字母一个是元音字母，另一个是辅音字母，则小华获胜；若所写字母都是辅音字母，则小林获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 【答案】(1) (2)图见解析，这个游戏规则对双方不公平 【分析】本题考查了概率的简单计算，解题的关键是明确元音字母的判断以及概率公式是总情况数，是事件发生的情况数）的运用． （1）先确定乙袋中元音字母的个数，再根据概率公式计算从乙袋取到元音字母的概率． （2）先通过列表法列出所有可能的结果，再分别找出小华获胜、小林获胜对应的结果数，根据概率公式计算出各自获胜的概率，比较概率大小判断公平性． 【详解】（1）解：从乙袋中随机地摸出1个小球，恰好写有元音字母的概率是， 故答案为： （2）解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，取出的2个小球上全是辅音字母的有2种情况， ∴取出的2个小球上全是辅音字母的概率是： ， 取出的2个小球上一个是元音字母，另一个是辅音字母的概率是：， ， ∴这个游戏规则对双方不公平． 【变式3】某校4个社团的情况（每人限参加1个社团）如下：合唱团有36人，民乐队有30人，足球队有22人，篮球队有12人． (1)若从4个社团里随机抽取一名学生，则抽到民乐队学生的概率是________． (2)若篮球队要招收一个新成员，小王、小李都想参加，决定采取抛掷一枚各面分别标有数字的正四面体骰子的方法来确定，具体规则如下：每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，这次机会给小王，否则给小李．试用列表或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，以及概率在游戏公平性的应用． 游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平． （1）利用民乐有30人参加，除以总人数即可得出答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由图可求得机会给小王和给小李的概率； 比较概率的大小，即可得这个规则对双方是否公平． 【详解】（1）解：由题意得：． 则抽到民乐队学生的概率是． （2）解：不公平．画树状图如图： 由树状图可知，共有16种等可能的结果， 其中小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小的结果有6种． ，． ， 这个规则对双方不公平． 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 【题型8用频率估计概率】 【典例8】一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据统计图可得摸到红球的频率逐渐稳定在附近，则摸到红球的概率为，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由统计图可知，随着试验次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴可估计袋子中红色玻璃球的个数为， 故选：B． 【变式1】一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（    ） A．20 B．24 C．27 D．30 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算n的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球． 故选：D． 【变式2】某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解，理解频率和概率之间的关系是解题的关键． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：． 【变式3】如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率． 首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式，小球落在不规则图案的概率为：， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为， 综上有：， 解得． 故答案为：． 一、单选题 1．下列事件是不可能事件的是（　　） A．买一张电影票，座位号是奇数 B．从一个只装有红球的袋子里摸出白球 C．三角形两边之和大于第三边 D．掷一次骰子，向上一面的数字是3 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解决本题的关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：A、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，不符合题意； B、从一个只装有红球的袋子里摸出白球，是不可能事件，符合题意； C、三角形两边之和大于第三边，是必然事件，不符合题意； D、掷一次骰子，向上一面的数字是3，是随机事件，不符合题意； 故选：B． 2.小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色，2件是蓝色，从中任意取出一件正好是蓝色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色，2件是蓝色， ∴从中任意取出一件正好是蓝色的概率为， 故选：A． 3．从，0，1三个数中，随机抽取两个不同的数相乘，积为负数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图的方法是解题的关键．画树状图，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有6种等可能的结果，其中积为负数的有2种等可能结果， ∴积为负数的概率是， 故选：C． 4．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（    ） A．21 B．27 C．28 D．30 【答案】D 【分析】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算．直接由概率公式求解即可. 【详解】解：根据题意得，解得：， 经检验：符合题意， 所以估计盒子中小球的个数为30． 故选：D． 5．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【答案】B 【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，即可得解． 【详解】解：由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，故成活的概率约为0.90. 故选：B． 6．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ）    A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上 B．任意写一个整数，它能被2整除 C．不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 D．从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃” 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率的计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据统计图可知，实验结果在附近波动，即其概率，再计算四个选项的概率，约为的即符合题意． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上的概率为，不符合题意； B、任意写一个整数，它能2被整除的概率为，不符合题意； C、不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率，符合题意； D、从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃”的概率是，不符合题意． 故选C． 二、填空题 7．一个布袋内只装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同．随机摸出两个球，则摸出的两个球都是黑球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法以及画树状图求概率，根据题意列出表格，然后得出总的情况以及摸出的两个球都是黑球的情况，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：列表如下： 黑 黑 白 黑 （黑，黑） （白，黑） 黑 （黑，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （黑，白） 一共有6种情况，摸出的两个球都是黑球的有2种情况， ∴摸出的两个球都是黑球的概率为：， 故答案为：． 8．不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机摸出1个球，则摸出黄球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单概率的计算，解题的关键是掌握概率计算公式． 利用概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：从袋子中随机摸出1个球，摸出黄球的概率是， 9．某生物实验室为研究果蝇的基因遗传特性，对培养皿内的果蝇群体进行抽样统计．培养皿中共有200只除基因标记外完全一致的果蝇，实验通过多次随机抽样（每次抓取后放回并摇匀），统计携带显性基因标记果蝇的频率，实验数据记录如下： 实验次数 100 300 500 700 900 1000 1100 携带显性基因标记果蝇 43 138 226 319 408 451 495 频率 0.43 0.46 0.452 0.456 0.453 0.451 0.45 通过实验，估计培养皿中携带该显性基因标记的果蝇数量约为 ． 【答案】90 【分析】本题考查了用频率估计概率，用稳定的频率来估计携带显性基因标记果蝇在总体中的概率是解决本题的关键． 先根据实验数据可得携带显性基因标记果蝇的频率稳定在0.45，根据用频率估计概率可知，携带显性基因标记果蝇的概率为0.45，由此计算即可． 【详解】解：由实验数据可得携带显性基因标记果蝇的频率稳定在0.45， ∴携带显性基因标记果蝇的概率为0.45， ∵培养皿中共有200只除基因标记外完全一致的果蝇， ∴估计培养皿中携带该显性基因标记的果蝇数量约为(只)． 故答案为：90 ． 三、解答题 10．一个不透明的口袋中装有四个小球，分别标有汉字“我”、“爱”、“滨”、“河”，这些小球除汉字不同之外，没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)若从中任取一个球，取出的球上的汉字是“爱”的概率为_______； (2)小明同学从口袋中任取一个球，记下标有的汉字后放回，再从口袋中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求出小明取出两个球上的汉字恰能组成“滨河”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接利用概率计算公式求解即可； （2）先两边得到所有等可能性的结果数，再找到小明取出两个球上的汉字恰能组成“滨河”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四个小球，且每个小球被取出的概率相同，其中写有汉字“爱”的小球有一个， ∴从中任取一个球，取出的球上的汉字是“爱”的概率为； （2）解：设分别用A、B、C、D表示标有汉字“我”、“爱”、“滨”、“河”的小球， 列表如下： 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中小明取出两个球上的汉字恰能组成“滨河”的结果数有2种， ∴小明取出两个球上的汉字恰能组成“滨河”的概率为． 11．济南因泉水众多素有“泉城”之称．某文创店内以“泉水”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．                   调查问卷                                     年    月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是（   ）（单选） A．玩偶  B．冰箱贴   C．创意摆件   D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题： （1）本次随机抽取的问卷总数是______； （2）请补全条形图； （3）扇形图中“创意摆件”对应扇形的圆心角的度数是______度； 【做出合理估计】 （4）若全校共有1200名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 （5）文创店负责人为了宣传以“泉水”为主题的文创产品，国庆节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D（A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 【答案】（1）120；（2）见详解；（3）36；（4）400名；（5） 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合利用，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键； （1）用喜爱冰箱贴的人数除以所占的比例，求出样本容量即可； （2）先求出喜爱玩偶的人数即可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜爱“创意摆件”的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （4）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （5）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：（1）（名）； 故答案为：120； （2）喜爱玩偶的人数：（名）， 补全条形图如下： （3）扇形图中“创意摆件”对应扇形的圆心角的度数是：， 故答案为：36； （4）（名）， 答：全校最喜爱手机挂件的学生人数是400名； （5）根据题意，可以画出如下树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，，，，，，，，，，，，，，，，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即，，，． 所以，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 概率的初步 知识点1：事件的类型 知识点2：概率 知识点3：频率与概率 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①  必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②  不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③  如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 【题型1事件类型】 【典例1】下列语句所描述的事件是随机事件的是（   ） A．任意画一个四边形，其内角和为 B．在平面内任意画一个三角形，它是等腰三角形 C．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形 D．过平面内不在同一直线上的三点画一个圆 【变式1】掷一枚均匀的骰子，下列属于确定事件的是（　　） A．朝上的数字小于7B．朝上的数字是奇数C．朝上的数字是6 D．朝上的数字大于3 【变式2】下列事件是必然事件的是（   ） A．打开电视，正在播放广告 B．某射击运动员射击一次，命中靶心 C．抛掷一枚硬币，正面向上 D．任意画一个三角形，它的内角和是 【变式3】下列语句所描述的事件是随机事件的是（    ） A．任意画一个四边形，其内角和为360° B．经过任意两点画一条直线 C．任意画一个菱形，是中心对称图形 D．过平面内任意三点画一个圆 【题型2可能性大小】 【典例2】．若气象部门预报明天下雨的概率是，下列说法正确的是（   ） A．明天一定不会下雨 B．明天下雨的可能性比较小 C．明天下雨的可能性比较大 D．明天一定会下雨 【变式1】不透明的袋子里有10个球，分别标注序号．从中任意摸一个，摸到号码是下面哪一种数的可能性最小（   ） A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【变式2】把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 【变式3】不透明的袋子中装有标号为1，2，2，3，3，3的完全相同的六个小球，从中任意摸出一个球，则最有可能摸到的标号是（    ） A．1 B．2 C．3 D．不确定 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的计算公式：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 3.求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【题型3概率的意义】 【典例3】已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（　　） A．连续抛一枚均匀硬币2次，必有1次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币10次，都可能正面朝上 C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 【变式1】学完《概率初步》这章后，老师让同学结合实例说说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　） A．甲说打开电视机，正在播放广告是随机事件 B．乙说掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6是不可能事件 C．丙说某彩票的中奖概率是，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖 D．丁说做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是必然事件 B．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 D．了解某型号电视机的使用寿命，适合用全面调查的方式 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点 B．可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 C．天气预报说明天下雨的概率是，意思是说明天将有一半时间在下雨 D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 【题型4几何概率】 【典例4】如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ． 【变式1】如图是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形若直角三角形的两条直角边长分别为和，在大正方形内任意取一点，则点落在阴影区域内的概率是 ． 【变式2】一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 ． 【变式3】如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【题型5概率公式】 【典例4】2025年是乙巳年，也是我们俗称的“蛇年”，其中“乙”是天干，“巳”是地支．其中地支包括子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪．从“地支”中抽一个，抽到“巳蛇”的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1】一个不透明的盒子中装有9个除颜色外大小质量等都相同的球，4个是黄球，2个是白球，3个红球，从该盒子中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ． 【变式2】一架钢琴有个琴键，其中白键比黑键多个，随机弹下一个琴键，弹中白键的概率为 ． 【变式3】从中任取一个数作为，则抛物线的开口向上的概率是 ． 【题型6列表法与树状图法】 【典例6】一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”、“好”、“数”、“学”四个字，卡片除文字外都相同、并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到写有“数”的卡片概率是____________； (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张写有“数”、1张写有“学”的概率． 【变式1】小滨的父母决定周末带她去旅游，初步商量有意向的四个景点分别为：A．明月山，B．庐山，C．婺源，D．三清山．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小滨的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任何不同），让小滨随机先抽一次（不放回），再抽一次，每次抽一个签，每个签抽到的机会相等． (1)小滨最希望去婺源，则小滨第一次恰好抽到婺源的概率是 ； (2)除婺源外，小滨还希望去明月山，求小滨抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率是多少．（通过“画树状图”或“列表”进行分析） 【变式2】一个不透明的盒子里装有分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节的4张书签，书签除图案外其余都相同，将4张书签充分混匀． (1)若从盒子中随机抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为_______； (2)若从盒子中先随机抽取1张书签，记录季节后放回，将其充分混匀后再随机抽取1张书签，请你用画树状图或列表的方法，求抽取的书签恰好1张为“秋”，1张为“冬”的概率． 【变式3】国家航天局消息：神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图： (1)此次调查中接受调查的人数为______人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______； (2)补全条形统计图； (3)该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率． 【题型7游戏的公平性】 【典例7】甲、乙两人做游戏，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为1、2、3、4的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为奇数，则甲胜，否则乙胜．试问这个游戏公平吗？请用列表法或树状图法说明理由． 【变式1】“五一”期间，小明一家为外出游玩目的地争执不下，小明爸爸想去崂山巨峰，而妈妈想去北九水．于是小明设计了一个游戏：有一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，转动转盘两次，若第次指针指向的数字减去第次的差为正数，则去崂山巨峰，若差为负数则去北九水．若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏对双方是否公平． 【变式2】现有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中装有2个小球，它们分别写有英文字母A、C，乙袋中装有3个小球，它们分别写有英文字母E、G、H，这些球除所写字母不同外其余完全相同． (1)将乙袋摇匀，然后从乙袋中随机取出一个小球，则所写字母恰好是元音字母的概率是____； (2)小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的甲、乙两袋中各随机取出一个小球，取出的这两个小球，若所写字母一个是元音字母，另一个是辅音字母，则小华获胜；若所写字母都是辅音字母，则小林获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 【变式3】某校4个社团的情况（每人限参加1个社团）如下：合唱团有36人，民乐队有30人，足球队有22人，篮球队有12人． (1)若从4个社团里随机抽取一名学生，则抽到民乐队学生的概率是________． (2)若篮球队要招收一个新成员，小王、小李都想参加，决定采取抛掷一枚各面分别标有数字的正四面体骰子的方法来确定，具体规则如下：每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，这次机会给小王，否则给小李．试用列表或画树状图的方法分析，这个规则对双方是否公平． 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 【题型8用频率估计概率】 【典例8】一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 【变式1】一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（    ） A．20 B．24 C．27 D．30 【变式2】某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A． B． C． D． 【变式3】如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为 ． 一、单选题 1．下列事件是不可能事件的是（　　） A．买一张电影票，座位号是奇数 B．从一个只装有红球的袋子里摸出白球 C．三角形两边之和大于第三边 D．掷一次骰子，向上一面的数字是3 2.小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黄色，2件是蓝色，从中任意取出一件正好是蓝色的概率为（   ） A． B． C． D． 3．从，0，1三个数中，随机抽取两个不同的数相乘，积为负数的概率是（   ） A． B． C． D． 4．一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（    ） A．21 B．27 C．28 D．30 5．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（    ） A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 6．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ）    A．掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现1点朝上 B．任意写一个整数，它能被2整除 C．不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 D．从一副扑克牌中抽取1张，抽到的牌是“黑桃” 二、填空题 7．一个布袋内只装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同．随机摸出两个球，则摸出的两个球都是黑球的概率是 ． 8．不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，若从袋子中随机摸出1个球，则摸出黄球的概率是 ． 9．某生物实验室为研究果蝇的基因遗传特性，对培养皿内的果蝇群体进行抽样统计．培养皿中共有200只除基因标记外完全一致的果蝇，实验通过多次随机抽样（每次抓取后放回并摇匀），统计携带显性基因标记果蝇的频率，实验数据记录如下： 实验次数 100 300 500 700 900 1000 1100 携带显性基因标记果蝇 43 138 226 319 408 451 495 频率 0.43 0.46 0.452 0.456 0.453 0.451 0.45 通过实验，估计培养皿中携带该显性基因标记的果蝇数量约为 ． 三、解答题 10．一个不透明的口袋中装有四个小球，分别标有汉字“我”、“爱”、“滨”、“河”，这些小球除汉字不同之外，没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)若从中任取一个球，取出的球上的汉字是“爱”的概率为_______； (2)小明同学从口袋中任取一个球，记下标有的汉字后放回，再从口袋中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求出小明取出两个球上的汉字恰能组成“滨河”的概率． 11．济南因泉水众多素有“泉城”之称．某文创店内以“泉水”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．                   调查问卷                                     年    月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是（   ）（单选） A．玩偶  B．冰箱贴   C．创意摆件   D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题： （1）本次随机抽取的问卷总数是______； （2）请补全条形图； （3）扇形图中“创意摆件”对应扇形的圆心角的度数是______度； 【做出合理估计】 （4）若全校共有1200名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 （5）文创店负责人为了宣传以“泉水”为主题的文创产品，国庆节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D（A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $