专题05 二次函数实际应用（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题5 二次函数实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数实际应用：拱桥问题 1 题型二、二次函数实际应用：投球问题 8 题型三、二次函数实际应用：喷水问题 15 题型四、二次函数实际应用：面积问题 22 题型五、二次函数实际应用：销售问题 28 题型六、二次函数实际应用：动点问题 37 B 综合攻坚・能力跃升 51 题型一、二次函数实际应用：拱桥问题 1．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． (1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 【答案】(1) (2)船的宽度须不超过10米 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意并运用二次函数的图象与性质解题是关键． （1）根据题意得，，所以可设抛物线的解析式为，再将代入解析式求解即可； （2）令，得到方程，可求出当高为3米时，船能通过的最大宽度，即得答案． 【详解】（1）解：由已知，抛物线的顶点D的坐标为，抛物线与x轴的交点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得， 船的宽度须不超过米． 2．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽． (1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式． (2)水面下降，水面宽度增加多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系、二次函数解决实际问题： （1）建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式，再代入点求出解析式； （2）根据新的纵坐标，求出对应横坐标即可求出增加的宽度 【详解】（1）以拱顶为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系 则抛物线的顶点在原点，设其解析式为 当拱顶离水面时，水面宽 即当时， 将代入解析式得： 解得： 所以函数解析式为： （2）当水面下降时，此时拱顶离水面，即 代入解析式得： 解得： 此时水面宽度为 原水面宽 所以水面宽度增加： 3．（2023·安徽宣城·二模）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立平面直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴），拱桥高度，跨度，为了使观景拱桥更加坚固，在拱桥内部修建一个“”型支架，其中点在拱桥上，点在上，点在上． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若，用含的式子表示出图形“”的长为，并求出的最大值． 【答案】(1) (2)，的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出抛物线的表达式是解题的关键． （1）由题意得，，，再利用待定系数法即可求解； （2）由抛物线的对称性可得，则，，，进而得到，用含的式子表示出周长，再利用二次函数的性质即可求出的最大值． 【详解】（1）解：（1）由题意得，，， 设抛物线的函数表达式为， 代入得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性可得， ∴，，， 当时，；当时，； ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， 同理可得，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，的最大值为． 4．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）综合与实践 【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系． 【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和矩形构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为5米，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知米，米． （1）求抛物线的表达式； 【应用模型】 （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？ （3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线内部建两个正方形的窗户，（正方形的边和正方形的边都在上，点，都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米，如图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1米，参考数据：，，） 【答案】（1）；（2）当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米；（3）5平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，点代入求解即可； （2）设点的坐标为，由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，得到，， 则 “支撑架”的长度为：，得出答案； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为，，求解即可得出答案． 【详解】解：（1）设抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）设点的坐标为， 由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，，， “支撑架”的长度为：， ，， 当时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米． 即当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为， 点在抛物线上， ， 整理得， 解得或（舍去）， 两个窗户的面积和（平方米）． 5．（2025·陕西榆林·模拟预测）赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【答案】(1) (2)4条 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程等知识，读懂题意，准确求出二次函数表达式是解决问题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式，将代入求解即可得到答案； （2）由（1）知，抛物线的表达式为，，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为（为常数，且）， 将点的坐标代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为， 当时，， 解得或， 可设计赛道的宽度为， ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为 (1)如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； (2)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)这串彩灯的最大长度为米 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意得到用二次函数表示的彩灯的长度是解决本题的难点． （1）设抛物线的解析式为：，得拱顶和点D的坐标，代入所设的解析式，可得a和k的值，即可求得抛物线的解析式； （2）表示出彩灯的长度，根据二次函数的性质得到最大值即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：拱顶的坐标为，点D的坐标为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由题意设，点， ， 彩灯两端的最低点到水面的距离为，秋季水位会下降约， 彩灯的最低点M，N在直线上， 点N为， ， 设彩灯的长度为w， ， ， 时，w最大，， 答：这串彩灯的最大长度为米． 题型二、二次函数实际应用：投球问题 7．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据铅球落地时的水平距离为，可得点的坐标是，把点的坐标代入，求出，可得抛物线的解析式是，当时，对应的函数值就是高度． 【详解】解：铅球落地时的水平距离为， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是， 当时，可得：， 铅球出手时离地面的高度是． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为 米． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．将代入二次函数的解析式可得或，再根据二次函数的对称轴为直线，然后根据篮球框在抛物线的对称轴的右侧即可得． 【详解】解：由题意，将代入抛物线得：， 解得或， 抛物线的对称轴为直线， ∵篮球框在抛物线的对称轴的右侧，且， ∴篮球出手至入筐过程中的水平距离长为4米， 故答案为：4． 9．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小明同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示的平面直角坐标系，下列结论中正确的是（   ） A．的长为 B．实心球运行过程中的最大高度是 C．实心球运行路径的函数表达式为 D．小明投掷实心球的成绩为 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为，即小明投掷实心球的成绩为． 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 10．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，一小球从斜坡上的点处抛出，建立如图所示的平面直角坐标系，小球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线：的一部分．解答下列问题： (1)求小球到达的最高点的坐标； (2)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)小球M能飞过这棵树，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）配方成顶点式即可求出最高点坐标； （2）把代入求出，把代入求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴最高点的坐标为； （2）解：小球M能飞过这棵树，理由如下： 把代入得：， 把代入得：， ∵， ∴小球M能飞过这棵树． 11．（2024·河北·模拟预测）如图，一女排运动员在比赛中将球从处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离近似满足函数关系．已知球网与O点的水平距离为，球网的高度为，球场的边界距O点的水平距离为．      (1)c的值为 ． (2)当，时，球能否越过球网？球会不会出界？请判断并说明理由． (3)当球一定能越过球网（不能擦网而过），又恰好落在边界上时，求a的取值范围． 【答案】(1)2 (2)球能越过球网，球会出界，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题关键是理解题意，运用数形结合的思想分析问题． （1）将点代入并求解，即可获得答案； （2）首先确定该函数解析式，当时，可有，即可判断球是否能越过球网；当时，可有，即可判断球是否会出界； （3）根据当球要过网且不擦网而过时，可得①，而根据当球刚好落在边界时，可知②，整理可得③，将③代入①并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入， 可得，解得． 故答案为：2； （2）球能越过球网，球会出界，理由如下： 若，时，结合（1）可知该函数解析式为， 当时，可有， ∵， ∴球能越过球网； 当时，可有， ∵， ∴球会出界； （3）根据当球要过网且不擦网而过时，①， 根据当球刚好落在边界时，②， 由②得③， 将③代入①得， 解得． 12．（24-25九年级下·安徽黄山·阶段练习）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米． (1)若，求发射石块在空中飞行的最大高度． (2)在（1）的条件下判断石块能否飞越防御墙． (3)①若石块恰好落在防御墙顶部的B处，求抛物线的表达式． ②若石块飞跃防御墙后落在斜坡上点的左侧，直接写出a的范围． 【答案】(1)石块在空中飞行的最大高度为10米 (2)石块能飞越防御墙，见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）先求出函数解析式，再求最大值即可； （2）把代入函数解析式，求出值，与垂直距离的高度比较即可； （3）①由待定系数法即可求解；②将和代入中，解得，将和代入中，解得，即可求解取值范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线的表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴解析式为：， ∵， 石块在空中飞行的最大高度为10米； （2）解：石块能飞越防御墙，理由如下： 由（1）可知抛物线的表达式为， 把代入上式， 得， ， 石块能飞越防御墙． （3）解：①将和代入中， 得，， 解得． 此时抛物线的表达式为 ②将和代入中， 得， 解得， 将和代入中， 得，解得， ． 题型三、二次函数实际应用：喷水问题 13．（11-12九年级·湖南郴州·课后作业）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（    ）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴两个交点的横坐标的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：当时，解得或， ∴水喷出的最远水平距离是米， 故选：A． 14．（2025·安徽合肥·一模）如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，把点、代入已知函数关系式，运用待定系数法求解，再化为顶点式即可 【详解】解：把点、代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； ∴顶点坐标为， 故选A． 15．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，求水管长应为多少米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系： 设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，． 水管的长度是． 16．（2025·安徽蚌埠·三模）一种移动灌溉装置（如图1）喷出的水柱的路径可近似看作一条抛物线，喷水头距水平地面的距离为，若采用最大功率灌溉，则喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离为处达到最高，高度为，灌溉时水柱的高度y（单位：m）与水柱落地处距离喷水头的水平距离x（单位：m）的图象如图2所示．李师傅采用最大功率灌溉一坡度为的斜坡草地． (1)求此时抛物线形水柱的解析式； (2)求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若到喷水头水平距离为的A处有一棵大树，由于刚喷洒过农药不能灌溉（水柱经过大树上方会有水滴落），则应该将灌溉装置向左至少移动多少米，才能避开对这棵大树的灌溉？ 【答案】(1) (2)水柱与坡面之间的最大铅直高度为； (3)应该将移动灌溉装置向左至少移动，才能避开对这棵大树的灌溉． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）设喷出的抛物线形水柱的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得坡面的函数解析式，设抛物线上一点，过点P向x轴作垂线，交于点Q，用表示出，再利用二次函数的性质求解即可； （3）设灌溉装置向左平移后的抛物线的解析式为，求得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，采用最大功率灌溉时，抛物线的顶点坐标为， 设喷出的抛物线形水柱的解析式为， 将代入， 得，解得， 此时抛物线形水柱的解析式为； （2）解：设坡面的函数解析式为，由坡度为可知， 当时， ，即， ∴坡面的函数解析式为， 令， 解得，， 又∵， ∴， 设抛物线上一点， 如图，过点P向x轴作垂线，交于点Q，则， ∴， 其中， ∵，其中， ∴当时，最大，最大值为， 答：水柱与坡面之间的最大铅直高度为； （3）解：设灌溉装置向左平移后的抛物线的解析式为， 由（2）可知，， 将代入，得， ∴， 将代入， 得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：应该将移动灌溉装置向左至少移动，才能避开对这棵大树的灌溉． 17．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出上边缘抛物线解析式是解题的关键． （1）根据题意可知是上边缘抛物线的顶点，然后把抛物线设为顶点式，然后代入进行求解即可； （2）先求出上边缘抛物线与x轴的交点C的坐标，再求出上边缘抛物线上与点H对称的点的坐标，进而确定下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点B是点C向左平移得到的，由此即可得到答案； （3）对于上边缘抛物线，先求出当，当时，，进而确定，要使，则，从而得到d的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，则d的最小值为2，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴可设上边缘抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得或， ∴； ∵上边缘抛物线的对称轴为直线， ∴在上边缘抛物线上点的对称点为， ∵下边缘抛物线是有上边缘抛物线向左平移得到的，且下抛物线经过， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B是点C向左平移得到的， ∴点B的坐标为； （3）解：∵， ∴点F的纵坐标为， 对于上边缘抛物线，当时，则， 解得， ∵， ∴， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，要使，则， ∵当时，y随x的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴d的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴d的最小值为2， 综上所述，d的取值范围是． 18．（2025九年级下·全国·专题练习）综合与实践 【问题情境】图1是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点O为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为x轴，所在直线为y轴，点C、D为水花的落水点在x轴上，抛物线的解析式为． 【问题解决】 (1)求喷水管的高度； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为，已知喷水管降低后，喷水管喷出的水花抛物线形状不改变，且水柱在距原点的水平距离处达到最高，求喷水管要降低的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键. （1）依据题意，由抛物线为再令 则，从而可以判断得解； （2）依据题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为结合抛物线过，从而可得新抛物线为 再令 ，进而可以判断得解. 【详解】（1）解：∵抛物线为 ， ∴令则， ∴喷水管的高度为； （2）解：由题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为， 又∵抛物线过， ， ， ∴新抛物线为， 又令， ， 由（1）得 ， ∴喷水管要降低的高度为： ． 题型四、二次函数实际应用：面积问题 19．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． (1)设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； (3)求车棚面积的最大值． 【答案】(1)；； (2)长为，宽为或长为，宽为； (3)； 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽． （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴，， ∴与之间的函数关系式，自变量的取值范围为． （2）由题意得： 整理得： 解得：，； 当宽，长，符合题意； 当宽，长，符合题意； 答：自行车车棚的长为，宽为；或自行车车棚的长为，宽为； （3）自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ∵ ，， ∴当 时，有最大值为 ， ∴自行车车棚面积最大可达到． 20．（24-25九年级下·全国·随堂练习）用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，长表示窗框的宽，（铝合金条的宽度忽略不计）． (1)求窗框的透光面积与窗框的宽之间的函数关系式． (2)如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (3)当窗框的透光面积不小于时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质及应用，准确表示窗框的长和宽，进而得到面积函数，再结合二次函数的图像与性质分析是解题的关键． （1）首先根据铝合金条长度与窗框各边的关系求出，建立透光面积与宽的函数关系即可． （２）根据二次函数的图像和性质回答即可； （3）由于，根据二次函数图像与一元二次函数的关系列方程求方程的根，再结合图像即可求解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， ∴． ∴， 即． （2）∵， ∴当时，． 即当时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是． （3）当时，即，即， 解方程得， 二次函数开口向上， 所以不等式的解集为． ． 21．（2025·湖北·二模）如图，用总长为48的篱笆，围成一块一边靠墙的矩形花圃，一道垂直于墙的篱笆将矩形分成两个矩形和．墙的最大可用长度为．篱笆在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形花圃与墙垂直的一边长为（单位：m），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）．    (1)直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写的取值范围）； (2)矩形花圃的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； (3)当的值是多少时，矩形花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，； (2)能，18； (3)当时，有最大值，的最大值是． 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）将代入函数中，求出的值，结合题意解答即可； （3）先求出的取值范围，将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故，． （2）解：令，则， 解得：， ， 当时，，不合题意，舍去， ， ． （3）解：， 由得， 由得， ， 在中，随的增大而减小， 当时，有最大值， ，即的最大值是， 答：当时，有最大值，的最大值是． 22．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）用总长的木板制作矩形置物架（图中外框和内部三条分割线的长度和为）．已知四边形是正方形，四边形、、是矩形，．为了便于放置物品，的长不小于，设的长为． (1)若矩形的面积为，求x的值． (2)若矩形的面积为，求S最大时，x的值． 【答案】(1)x的值为70 (2)x的值为80 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用， （1）根据题意表示出，，然后列方程求出，，然后分别代入求解判断即可； （2）表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴，， 由题意，得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意， ∴x的值为70． （2）解：由（1）知， 由题意，得， ∵的高度不小于， ∴，解得， ∴当时，S最大， ∴x的值为80． 23．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． (1)按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②求矩形的面积的最大值． (2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 【答案】(1)①；②矩形的面积最大为 (2)乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，面积最大是，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键； （1）①根据题意可直接进行求解；②由①根据二次函数的性质可进行求解； （2）分别计算甲、乙两种方案的面积，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①∵的长为， 的长为， ； ②∵甲中的长不超过墙长， ， 由可知： ， 时，随的增大而增大， 当时，矩形的面积最大，最大为； （2）解：乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下： 乙方案中，设的长为，矩形的面积为， 则， 方案乙中的长大于墙长， ， ， ， ， 当时，矩形的面积最大，最大为， ， 乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是． 24．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙，另外的边（虚线部分）用长为28米的篱笆围成，并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽1米的门方便进出．已知墙的长度为12米，设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S． (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求出鸡舍的面积S的最大值，此时x为多少米？ 【答案】(1) (2)当时，鸡舍的面积有最大值，最大值为72 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到函数关系式，然后利用二次函数的性质进行求解即可． （1）由篱笆长28米，根据矩形的面积即可得出关于的函数关系式，再根据题意可求出自变量的取值范围； （2）根据自变量的取值范围和函数的增减性确定函数的最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 根据题意得，即， ∴与之间的函数关系式为： （2）， 当时，随的增大而减小， 而， ∴当时，有最大值，此时， 即：当时，鸡舍的面积有最大值，最大值为72． 题型五、二次函数实际应用：销售问题 25．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）综合与实践：根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元， 素材2 经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． 任务1 （1）设该茶叶的日销售利润为元，分别求出与与之间的函数表达式； 任务2 （2）若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 任务3 （3）若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 【答案】任务1：，；任务2：80元，1600元；任务3：． 【分析】任务1：理解题意，设，再把，分别代入计算，得，根据每千克成本为60元，茶叶的日销售利润为w元，进行列式得，即可作答． 任务2：根据该茶叶的日销量不低于80千克，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，得出，由，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 任务3：根据公司想获得不低于1000元的日利润，令，解得，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：任务1：设， 将，代入， 得 解得， ， ∵每千克成本为60元， ∴ ； 任务2：∵该茶叶的日销量不低于80千克，且由任务1得出， ， 解得． ∵每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本， 又， 得， ， 由任务1得出 ， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ∵， 当时，． 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元； 任务3：依题意，令， 解得． ∵，且 ∴开口向下， 由图象可知，当时，， 售价不高于100元， 售价范围为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，一元一次不等式的应用，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 26．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习）某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．据调查，该商品在网上的销售价为60元/件时，网上平均每天的销售量是200件，而当网上的销售价每降低1元，平均每天就可以多售出20件．设网上的销售价降低元，网上每天销售该商品的利润为元． (1)求与的函数表达式． (2)若该公司网上每天销售该商品的利润为4500元，则网上销售的价格应定为每件多少元？ (3)该商品在实体店的销售价定为80元/件．据调查，该实体店的销售受网上影响，其每天的销售量为件．当该商品在网上的销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种商品的总利润最大？最大总利润是多少？（总利润网上利润实体店利润） 【答案】(1) (2)网上销售的价格应定为每件55元 (3)当该商品在网上的销售价是每件57元时，该公司每天销售这种商品的总利润最大，最大总利润是8180元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意找到题目中的等量关系列出函数解析式是解题的关键． （1）根据总利润（实际售价进价）销售量，即可得函数解析式； （2）根据题意得到关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）设总利润为元，根据总利润网上利润实体店利润，列出与x间的函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得， ， 答：网上销售的价格应定为每件55元； （3）解：设总利润为元， ， 当，即时，（元）． 答：当该商品在网上的销售价是每件57元时，该公司每天销售这种商品的总利润最大，最大总利润是8180元． 27．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） 120 130 135 销售量（件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值； (3)电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)W最大值（元） (3)销售单价为110元 【分析】本题考查了一次函数及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据利润W元等于单个利润乘以销售量，可列出W关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案； （3）若获得等于1000元周利润，则，解方程并根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，把和分别代入， 得， 解得， ； （2）依题意，， ， 时，W有最大值， W最大值元； （3）依题意，当时，， 解得，， ，尽可能让利于顾客， 销售单价为110元． 28．（2024·四川南充·模拟预测）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第天生产的产品数量为件，与满足关系式为：． (1)小强第___________天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【答案】(1)小强第10天生产的产品数量为200件 (2)与之间的函数关系式为： (3)①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间的关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可 【详解】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 29．（22-23九年级上·全国·期中）涪陵榨菜是重庆市农村经济中产销规模最大、品牌知名度最高、辐射带动能力最强的特色支柱产业．某知名榨菜企业为顺应市场需求推出了“五味榨菜”礼盒，成本为20元/盒．年销售量y（万盒）与售价x（元/盒）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)结合图象求y与x之间的函数关系； (2)求“五味榨菜”礼盒的年获利w（万元）与x之间的函数关系，并求当售价为多少元时可以获得最大利润，最大利润是多少万元？ (3)去年，公司一直按照（2）中获得最大利润时的售价进行销售，今年在保持售价不变的基础上，公司发力品牌营销，决定拿出部分资金进行广告宣传．经调查发现：①每年有11万盒产品供给固定客户，其余产品全部被潜在客户购买；②若广告投入为a万元，则潜在客户的购买量将是去年购买量的m倍，则；③受公司生产规模及资金限制，公司的年产量不超过28万盒，广告投入不超过32万元．问公司在广告上投入多少资金可以使公司获得最大利润，最大利润为多少万元？（利润总销售额总成本广告费） 【答案】(1) (2)，定价为30元时，利润最大，最大利润为200万元 (3)当广告费为20万时，利润最大，最大利润为260万元 【分析】本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式及配方法求二次函数最值等知识． （1）根据函数图象可得经过点，，利用待定系数法求解析式即可． （2）表示出w与x之间的函数关系式，然后利用配方法可确定答案； （3）先求出潜在客户的购买量，根据②、③的要求可得出a的值，结合二次函数的性质确定最大利润． 【详解】（1）解：设，将点，代入得：， 解得：， 故； （2）解：， 当时，， 答：定价为30元时，利润最大，最大利润为200万元； （3）解：当时，，则潜在客户购买量为万盒， ， 由题意：， 整理得：， 解得或， 又， ， 在中，当时，w随a的增大而增大， 故当时，． 答：当广告费为20万时，利润最大，最大利润为260万元． 30．（20-21九年级下·四川成都·自主招生）某公司生产的某种时令商品每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表： 时间（天） 1 3 6 10 36 … 日销售量（件） 94 90 84 76 24 … 未来天内，前天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为：（且为整数）；后天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为：（且为整数）．下面我们来研究这种商品的有关问题． (1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式； (2)请预测未来天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？ (3)在实际销售的前天中该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程，公司通过销售记录发现，前天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，利润最大，最大利润是元 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数应用销售问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设时间为，日销售量为，待定系数法求解析式即可． （2）设销售利润为，根据题意可得或，化为顶点式即可求解． （3）由题意列出利润的式子，并化成顶点式再根据前天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大即可列，求解即可． 【详解】（1）解：设时间为，日销售量为， 经分析和成一次函数关系，设， 将，代入上式， 可得， 解得：， ∴． （2）解：设销售利润为， 根据题意可得：或， 整理得或， 综上知，当时，利润最大，最大利润是元； （3）解：由题意得， 整理得， ∵前天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大， ∴， 解得：， 综上可得：． 题型六、二次函数实际应用：动点问题 31．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，点沿方向以的速度从点向点运动，同时点沿方向以的速度从点向点运动，当点运动到点时，点也停止运动． (1)设运动时间为时，则___________，___________． (2)当为何值时，的面积为． (3)求四边形面积的最小值． 【答案】(1)， (2)当或时，的面积为 (3)当时，四边形面积的最小值，最小面积为 【分析】本题主要考查勾股定理，动点的计算，二次函数图象的性质，一元二次方程的应用，理解图示中动点的运用，二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理得到，根据点的运动，线段长度的计算即可求解； （2）结合（1）的计算，根据面积公式计算即可； （3）根据题意，，，则，由此列式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 点沿方向以的速度从点向点运动，同时点沿方向以的速度从点向点运动， 设运动时间为， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：根据题意，点从的时间为，点从的时间为， 由面积公式得，， 整理得，， 解得，， ∴当或时，的面积为； （3）解：，， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积的最小值，最小面积为． 32．（19-20九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接、，过E点作，交直线于点F．E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设的面积为，点的运动时间为x秒． (1)求证：； (2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)用配方法说明的面积有最大值，并求出它的最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当时，y有最大值是；即面积的最大值是 【分析】（1）过E作，交于M，交于N，则，结合正方形的性质，先证明，再证明，得到，即可得证； （2）由勾股定理得，根据题意得，，由（1）知：，从而得出，再根据，即可求出解析式； （3）利用配方法求二次函数最大值即可． 【详解】（1）证明：过E作，交于M，交于N，则， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）解：在中，由勾股定理得：， E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动， ，， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， 当时，y有最大值是；即面积的最大值是． 【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，难度适中，熟练掌握正方形中利用辅助线构建全等来解决问题是本题的关键． 33．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，，矩形的边在边上，边在边上，点与点重合，，矩形从点的位置出发，以每秒的速度沿着的方向做匀速直线运动，当点与点重合时停止运动．设矩形运动的时间为，矩形与重叠部分的面积为． (1)当点落在边上时，求的值； (2)求与之间的函数关系式； (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得三角形是等腰直角三角形，根据几何关系求得的长，则可求出矩形的运动时间； （2）分4种情况：当时，此时重叠部分图形为矩形本身；当时，此时重叠部分图形为矩形减去一个三角形，求出三角形面积即可；当时，此时重叠部分图形为梯形，求出梯形的上底和下底即可求得梯形面积；当时，此时重叠部分为三角形，由三角形面积公式易得，最后综合即可； （3）将代入所求函数解析式中即可求得的值． 本题考查了求动点问题的函数关系式，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程等，注意分类讨论． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴如图1当点落在边上时，三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∵矩形速度为每秒， ∴， ∴当点落在边上时，的值为2． （2）①当时，如图1，； ②当时，如图2，设交于点，交于点， 由（1）得三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴ 又在矩形中， ∴三角形是等腰直角三角形，， 又，， ∴； ③当时，如图3，设交于点， 在矩形中，， ∴四边形是直角梯形， ，， ∴； ④当时，如图4，设交于点， 在矩形中，， 又∵ ∴三角形是等腰直角三角形， ∵， ∴； 综上所述，与之间的函数关系式为． （3）当时，， 整理得， 解得，（舍去）， 随着矩形的移动，矩形与重叠部分的面积越来越小，故当时，． 34．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度/s的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为． (1)直接写出线段长．（用含的代数式表示） (2)求当点落在线段上时的值． (3)设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)当时，．当时， (2) (3) 【分析】本题考查矩形的性质，动点问题； （1）分为或两种情况解答即可； （2）由题意列方程求出t值即可； （3）分为，或三种情况求出关系式即可． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 当时，． 当时，． （2）解：当点落在线段上时，． ， 解得； （3）当时，如图，点在的左侧，设与交于点，重叠部分是， 这时， ∵， ∴， ∴， ． 当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，则重叠部分为五边形， 这时， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，交于点，则重叠部分为五边形， 则， ． ∴． 35．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形中，为边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动；同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，连接、、，当点P、Q相遇时停止运动．设的面积为S，点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当的面积是时，直接写出t的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）分两种情况讨论：当点P在上时，；当点P在上时，； （2）当点P、Q相遇时，，求出相遇时t的值，然后分两种情况讨论：当点P在上时，，，；当点P在上时，，，，分别求出关系式即可； （3）当点P在上时，令；当点P在上时，令，分别解方程即可． 【详解】（1）解：分以下两种情况： 当点P在上时，根据题意得， ∴； 当点P在上时，根据题意得， ∴． 综上，或； （2）解：∵在矩形中，， ∴，，， ∵为边的中点， ∴， 当点P、Q相遇时，， 解得， 分以下两种情况： 当点P在上时，， 根据题意得，，， ； 当点P在上时，，，， ． 综上所述，S与t的函数关系式为； （3）解：当点P在上时，令， 解得或； 当点P在上时，令， 解得（不符合舍去）， 综上，t的值为或． 36．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①，；②或5 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得； ②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形梯形；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； ②分以下五种情况讨论： 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ， 解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，如图， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：舍去，； 当时，重叠部分为矩形，如图， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形性质，等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． 37．（2025·湖北武汉·三模）问题背景：学校计划对校园里一块长，宽m的矩形场地进行绿化，如图1，将该矩形场地划分成5个区域，阴影部分宽度相同，空白部分宽度相同，阴影部分种植花卉，空白部分种植花卉（，两种花卉都要种植）．已知花卉的种植成本是9元，花卉的种植面积为，花卉的种植成本元，满足． 问题解决： (1)若种植花卉的成本为5200元，求此时花卉的种植面积； (2)学校按该方案对场地进行绿化，最多需要投入的种植成本是多少元？ (3)若学校计划投入不超过10000元种植这两种花卉，且种花卉种植面积不少于，直接写出每块阴影部分宽的取值范围． 【答案】(1) (2)10800元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的运用，不等式的应用等知识，解题的关键是∶ （1）把代入，求出B的种植面积，然后用总面积减去B的种植面积即可求解； （2）设种植总成本为元，则，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）每块阴影部分的宽为，则每块空白区域的宽为，花卉的种植总费用为，空白区域总面积为，种花卉种植成本为（元）．花卉的种植总费用为，然后根据“投入不超过10000元种植这两种花卉，且种花卉种植面积不少于”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得或（舍）， ． 答：花卉的种植面积为； （2）解∶ 设种植总成本为元， 则， 当时，取最大值为10800元； （3）解∶每块阴影部分的宽为，则每块空白区域的宽为，花卉的种植总费用为，空白区域总面积为，种花卉种植成本为（元）．花卉的种植总费用为， 由题意，得， ， ． ， ， ． 38．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）每年12月下旬至次年3月上旬为诸暨水果“红美人”的采摘时间，如图①是红美人采摘园大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线构成（如图②），点为抛物线顶点．以所在直线和垂直平分线所在直线建立坐标系，为一个单位长度．已知，，．    (1)求抛物线解析式（不需要写出的取值范围）； (2)现需在上方至顶端部分加装两根关于轴对称立柱和，若两立柱间的距离为，求立柱的长度． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据题意，得到，，得到抛物线的对称轴为，设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程即可求抛物线的解析式． （2）根据题意，两立柱间的距离为，则，，把代入解析式，再计算的值，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，矩形的性质，根据自变量的值求函数的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形，上部近似为一条抛物线．，，． ∴，，，， 故抛物线的对称轴为， 则， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：． （2）解：根据题意，两立柱间的距离为， 则，， 把代入解析式， 得， 故． 故立柱的长度为米． 39．（2025九年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表： 售价x（元/件） 50 60 70 周销售量y（件） 80 60 40 周销售利润w（元） 800 1200 1200 注：周销售利润=周销售量×（售价-进价） (1)写出y关于x的函数解析式：___________； (2)求该商品的进价和周销售的最大利润： (3)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（），物价部门规定该商品售价不得超过60元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1080元，求m的值． 【答案】(1) (2)商品的进价为40元/件时，周销售利润最大，为1250元 (3) 【分析】（1 ）依题意设，将分别代入，解方程组即可得到结论； （2 ）设进价为a元，由售价50元时，周销售量为80件，周销售利润为800元，根据利润=售价-进价，列方程求出进价，根据周销售利润=周销售量×（售价-进价）列出函数关系式，根据性质求出利润最大值即可； （3 ）列出在进价涨价情况下的函数解析式，得二次函数图象开口向下，对称轴为直线，限制，利用二次函数的对称性和增减性解答即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，将分别代入得， ，解得， ∴y与x的函数关系式是； 故答案为：； （2）解：设进价为a元，由售价50元时，周销售量为80件，周销售利润为800元，得 ， 解得： 即该商品的进价为40元/件； 依题意有 ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，w有最大值为1250， 即售价为65元/件时，周销售利润最大，为1250元． （3）解：依题意有， ∵， ∴对称轴， ∵， ∵ ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握函数的表格数据，销售利润问题，利用待定系数法一次函数解析式，由利润和数量的关系求二次函数解析式,二次函数与一次函数的图象和性质，二次函数对称性和增减性的最值问题，是解题的关键． 40．（2025·湖北·模拟预测）某种蔬菜的销售单价与销售月份x之间的关系如图①所示，成本与销售月份x之间的关系如图②所示（图①的图象是线段，图②的图象是抛物线），已知6月份这种蔬菜的成本最低． (1)直接写出与x以及与x之间的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围） (2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（收益=售价一成本） (3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克． 【答案】(1)与x的函数解析式为，与x之间的函数解析式为 (2)5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大 (3)4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克 【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数表达式； （2）根据（1）中求出的、关于的函数关系式，二者作差后利用二次函数的性质即可解决最值问题； （3）求出当时，的值，设4月份的销售量为万千克，则5月份的销售量为万千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设与x的函数表达式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得：， ∴与x的函数表达式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴设与x之间的函数解析式为， 又当时，， ∴，解得：， ∴与x之间的函数解析式为； （2）∵； ． ∴ ， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大； （3）当时，， 设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为万千克， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是利用待定系数法求出函数关系式． 41．（2025·山西吕梁·模拟预测）综合与实践 问题情境： 发展青少年校园篮球运动是贯彻党的教育方针、促进青少年身心健康的重要举措．某校积极开展校园篮球运动、如图，这是身高为的小明同学站在距篮圈中心的水平距离处原地（不跳起）投篮的路线示意图，篮球运行路线呈抛物线，球在小明头顶的正上方的点处出手．当篮球飞行的水平距离为时，达到最高点，此时球离地面．已知篮圈高为，现以篮圈中心所在铅垂线为轴，点为原点建立平面直角坐标系． 数学思考： (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断篮球能否直接从篮圈的正中心投进（忽略其他因素）． 深入探究： (2)对本次训练进行分析，若投篮路线的形状、最大高度均保持不变，小明的活动范围不能超过，请解决下面问题． ①小明向正前方（篮圈方向）走了几步准备第2次投篮，要使篮球直接从篮圈的正中心投入，求小明移动的距离． ②在①的条件下，体育老师（身高，向上伸出双手超过头顶）在小明正前方处进行拦截，求体育老师至少需要跳起多高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 【答案】(1)，篮球不能直接从篮圈的正中心投进，见解析； (2)①他应该带球向正前方移动投球，恰好能将篮球从篮圈的正中心投入；②体育老师至少需要跳起高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求抛物线的解析式，二次函数的图象平移规律，掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； （1）根据题意，求出抛物线的顶点坐标和点A的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；然后求得当时，的值，即可判断篮球能否投进； （2）①设小明带球向正前方移动，根据平移规律求出平移后抛物线的解析式，再代入点，解方程求出的值；②由①知小明移动后抛物线的函数表达式，然后计算时，该抛物线的值，再根据老师身高，双手超过头顶高度进行计算，作答即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为，， 设该抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ，解得， 该抛物线的函数表达式为． 当时，， 此时篮球不能直接从篮圈的正中心投进． （2）解：①设小明带球向正前方移动，能使篮球直接从篮圈的正中心投入， 由题意可得移动后的抛物线为． 把点代入得， 解得或， 小明的活动范围不能超过， ，即小明应该带球向正前方移动投球，恰好能将篮球从篮圈的正中心投入． ②由①知小明移动后抛物线的函数表达式为． ∵小明移动后距篮圈中心的水平距离为，体育老师在小明正前方处进行拦截， ∴当时，， ， 体育老师至少需要跳起高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 42．（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】 小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． 任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】 如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 【答案】任务1：，最大水平距离为；任务2：；任务3：，见解析 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．根据函数值的最大值求出函数的另一个值对应的x的取值，进而来判断的取值范围，是解决本题的难点． 任务1：设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为用待定系数法求解，再求出其与轴交点，再求解即可； 任务2：由将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变，可得优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为，设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为将代入，得，再求解即可； 任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为将分别代入中，得，则有，解得，得，可得进一步优化后抛物线的函数表达式为，当时，，解得，求得接近黄金比，再求解即可． 【详解】解：任务1：由题可知，原喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 令，得， 解得（不符合题意，舍去）． 喷泉水流到喷水管的最大水平距离为 任务2：将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变， 优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 当时，， 优化后喷水口的竖直高度为； 任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为 将分别代入中， 得 ①，②， ， ②①，得， 解得（负值已舍去）， 代入①，得， 进一步优化后抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得， ， 接近黄金比0.618， 所设计的喷泉比较美观． 43．（24-25九年级下·山东烟台·期中）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： (1)【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点    O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为，把绿化带截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程； ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (2)【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），利用上述信息直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②（2，0） (2) 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）①由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； ②由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标； （2）求出的最小值为，的最大值为，得到的最大值为，从而得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：，， 是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为； 令，则， 解得或（舍去）， 洒水车喷出水的最大射程为； ②对称轴为直线， 点的对称点为， 平移后仍过点， 是由向左平移得到的， ，点是由点向左平移得到的， 点的坐标为； （2）解：由题意可得，当点与点B重合时，最小， ∵点的坐标为， ∴， ∴的最小值为， ∵ 当点在抛物线上时，最大， ， 点的纵坐标为1， 当时，解得或（舍去）， ， ∴的最大值为， 的最大值为， 的取值范围为． 44．（2025·河北石家庄·三模）生活情境：一天放学后，妈妈带淇淇到面馆吃面，爱思考的淇淇仔细观察盛面汤的碗，发现汤碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽，与碗底宽AB平行．当碗中装满面汤时，面汤的最大深度．以为原点，水平线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)喝掉部分面汤后，汤的表面（后面简称“汤面”）下降了至处，求此时汤面的长； (3)将面汤碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，直接写出此时汤面的长． 【答案】(1) (2)汤面的宽度为 (3) 【分析】（1）分别求出，，，设抛物线的解析式为，再将点代入即可求的值； （2）根据题意可得，求出，再求汤面的宽度为； （3）作出线段，设与轴的交点为，求出，直线与抛物线的交点为点，求出点再由两点间距离公式求的长即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，， 抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：汤面下降了， 此时汤面与碗底距离为，即， 令， 解得（舍去），， 汤面的宽度为； （3）解：，， ． 作出线段，设与轴的交点为， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，分别代入， 得，解得 直线的解析式为， 令， 解得或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，能够根据所给的问题情境，转化为二次函数的图象及性质是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5 二次函数实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数实际应用：拱桥问题 1 题型二、二次函数实际应用：投球问题 3 题型三、二次函数实际应用：喷水问题 5 题型四、二次函数实际应用：面积问题 8 题型五、二次函数实际应用：销售问题 10 题型六、二次函数实际应用：动点问题 13 B 综合攻坚・能力跃升 15 题型一、二次函数实际应用：拱桥问题 1．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． (1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 2．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽． (1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式． (2)水面下降，水面宽度增加多少？ 3．（2023·安徽宣城·二模）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立平面直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴），拱桥高度，跨度，为了使观景拱桥更加坚固，在拱桥内部修建一个“”型支架，其中点在拱桥上，点在上，点在上． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若，用含的式子表示出图形“”的长为，并求出的最大值． 4．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）综合与实践 【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系． 【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和矩形构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为5米，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知米，米． （1）求抛物线的表达式； 【应用模型】 （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？ （3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线内部建两个正方形的窗户，（正方形的边和正方形的边都在上，点，都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米，如图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1米，参考数据：，，） 5．（2025·陕西榆林·模拟预测）赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为 (1)如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； (2)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 题型二、二次函数实际应用：投球问题 7．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是 ． 8．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）苍南队在浙训练中发现，每一次篮球投篮轨迹满足抛物线，篮球出手至入筐过程中的水平距离长为 米． 9．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小明同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示的平面直角坐标系，下列结论中正确的是（   ） A．的长为 B．实心球运行过程中的最大高度是 C．实心球运行路径的函数表达式为 D．小明投掷实心球的成绩为 10．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，一小球从斜坡上的点处抛出，建立如图所示的平面直角坐标系，小球的抛出路线是抛物线的一部分，斜坡可以看作直线：的一部分．解答下列问题： (1)求小球到达的最高点的坐标； (2)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由． 11．（2024·河北·模拟预测）如图，一女排运动员在比赛中将球从处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离近似满足函数关系．已知球网与O点的水平距离为，球网的高度为，球场的边界距O点的水平距离为．      (1)c的值为 ． (2)当，时，球能否越过球网？球会不会出界？请判断并说明理由． (3)当球一定能越过球网（不能擦网而过），又恰好落在边界上时，求a的取值范围． 12．（24-25九年级下·安徽黄山·阶段练习）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米． (1)若，求发射石块在空中飞行的最大高度． (2)在（1）的条件下判断石块能否飞越防御墙． (3)①若石块恰好落在防御墙顶部的B处，求抛物线的表达式． ②若石块飞跃防御墙后落在斜坡上点的左侧，直接写出a的范围． 题型三、二次函数实际应用：喷水问题 13．（11-12九年级·湖南郴州·课后作业）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（    ）    A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 14．（2025·安徽合肥·一模）如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，求水管长应为多少米． 16．（2025·安徽蚌埠·三模）一种移动灌溉装置（如图1）喷出的水柱的路径可近似看作一条抛物线，喷水头距水平地面的距离为，若采用最大功率灌溉，则喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离为处达到最高，高度为，灌溉时水柱的高度y（单位：m）与水柱落地处距离喷水头的水平距离x（单位：m）的图象如图2所示．李师傅采用最大功率灌溉一坡度为的斜坡草地． (1)求此时抛物线形水柱的解析式； (2)求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若到喷水头水平距离为的A处有一棵大树，由于刚喷洒过农药不能灌溉（水柱经过大树上方会有水滴落），则应该将灌溉装置向左至少移动多少米，才能避开对这棵大树的灌溉？ 17．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 18．（2025九年级下·全国·专题练习）综合与实践 【问题情境】图1是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点O为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为x轴，所在直线为y轴，点C、D为水花的落水点在x轴上，抛物线的解析式为． 【问题解决】 (1)求喷水管的高度； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为，已知喷水管降低后，喷水管喷出的水花抛物线形状不改变，且水柱在距原点的水平距离处达到最高，求喷水管要降低的高度． 题型四、二次函数实际应用：面积问题 19．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，学校准备在教学楼后面搭建两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏呈“山”字形． (1)设自行车车棚面积为，车棚宽为，求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若车棚面积为，求自行车车棚的长和宽； (3)求车棚面积的最大值． 20．（24-25九年级下·全国·随堂练习）用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，长表示窗框的宽，（铝合金条的宽度忽略不计）． (1)求窗框的透光面积与窗框的宽之间的函数关系式． (2)如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (3)当窗框的透光面积不小于时，直接写出x的取值范围． 21．（2025·湖北·二模）如图，用总长为48的篱笆，围成一块一边靠墙的矩形花圃，一道垂直于墙的篱笆将矩形分成两个矩形和．墙的最大可用长度为．篱笆在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形花圃与墙垂直的一边长为（单位：m），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）．    (1)直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写的取值范围）； (2)矩形花圃的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； (3)当的值是多少时，矩形花圃的面积最大？最大面积是多少？ 22．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）用总长的木板制作矩形置物架（图中外框和内部三条分割线的长度和为）．已知四边形是正方形，四边形、、是矩形，．为了便于放置物品，的长不小于，设的长为． (1)若矩形的面积为，求x的值． (2)若矩形的面积为，求S最大时，x的值． 23．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． (1)按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②求矩形的面积的最大值． (2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 24．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙，另外的边（虚线部分）用长为28米的篱笆围成，并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽1米的门方便进出．已知墙的长度为12米，设这个鸡舍垂直于墙的一边的长为x米，鸡舍的面积为S． (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求出鸡舍的面积S的最大值，此时x为多少米？ 题型五、二次函数实际应用：销售问题 25．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）综合与实践：根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元， 素材2 经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． 任务1 （1）设该茶叶的日销售利润为元，分别求出与与之间的函数表达式； 任务2 （2）若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 任务3 （3）若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 26．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习）某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件．据调查，该商品在网上的销售价为60元/件时，网上平均每天的销售量是200件，而当网上的销售价每降低1元，平均每天就可以多售出20件．设网上的销售价降低元，网上每天销售该商品的利润为元． (1)求与的函数表达式． (2)若该公司网上每天销售该商品的利润为4500元，则网上销售的价格应定为每件多少元？ (3)该商品在实体店的销售价定为80元/件．据调查，该实体店的销售受网上影响，其每天的销售量为件．当该商品在网上的销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种商品的总利润最大？最大总利润是多少？（总利润网上利润实体店利润） 27．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）电商平台销售一种T恤衫，每件进价为100元．经市场调查发现：每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系（其中x为整数，且）部分数据如下表所示： 销售单价（元/件） 120 130 135 销售量（件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)求每周销售这种T恤衫获得的利润（元）的最大值； (3)电商平台希望每周获得1000元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元？ 28．（2024·四川南充·模拟预测）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第天生产的产品数量为件，与满足关系式为：． (1)小强第___________天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 29．（22-23九年级上·全国·期中）涪陵榨菜是重庆市农村经济中产销规模最大、品牌知名度最高、辐射带动能力最强的特色支柱产业．某知名榨菜企业为顺应市场需求推出了“五味榨菜”礼盒，成本为20元/盒．年销售量y（万盒）与售价x（元/盒）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)结合图象求y与x之间的函数关系； (2)求“五味榨菜”礼盒的年获利w（万元）与x之间的函数关系，并求当售价为多少元时可以获得最大利润，最大利润是多少万元？ (3)去年，公司一直按照（2）中获得最大利润时的售价进行销售，今年在保持售价不变的基础上，公司发力品牌营销，决定拿出部分资金进行广告宣传．经调查发现：①每年有11万盒产品供给固定客户，其余产品全部被潜在客户购买；②若广告投入为a万元，则潜在客户的购买量将是去年购买量的m倍，则；③受公司生产规模及资金限制，公司的年产量不超过28万盒，广告投入不超过32万元．问公司在广告上投入多少资金可以使公司获得最大利润，最大利润为多少万元？（利润总销售额总成本广告费） 30．（20-21九年级下·四川成都·自主招生）某公司生产的某种时令商品每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量（件）与时间（天）的关系如下表： 时间（天） 1 3 6 10 36 … 日销售量（件） 94 90 84 76 24 … 未来天内，前天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为：（且为整数）；后天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为：（且为整数）．下面我们来研究这种商品的有关问题． (1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式； (2)请预测未来天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？ (3)在实际销售的前天中该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程，公司通过销售记录发现，前天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围． 题型六、二次函数实际应用：动点问题 31．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，点沿方向以的速度从点向点运动，同时点沿方向以的速度从点向点运动，当点运动到点时，点也停止运动． (1)设运动时间为时，则___________，___________． (2)当为何值时，的面积为． (3)求四边形面积的最小值． 32．（19-20九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接、，过E点作，交直线于点F．E点从B点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设的面积为，点的运动时间为x秒． (1)求证：； (2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)用配方法说明的面积有最大值，并求出它的最大值． 33．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，，矩形的边在边上，边在边上，点与点重合，，矩形从点的位置出发，以每秒的速度沿着的方向做匀速直线运动，当点与点重合时停止运动．设矩形运动的时间为，矩形与重叠部分的面积为． (1)当点落在边上时，求的值； (2)求与之间的函数关系式； (3)当时，直接写出的值． 34．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度/s的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为． (1)直接写出线段长．（用含的代数式表示） (2)求当点落在线段上时的值． (3)设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式． 35．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形中，为边的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动；同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，连接、、，当点P、Q相遇时停止运动．设的面积为S，点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当的面积是时，直接写出t的值． 36．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 37．（2025·湖北武汉·三模）问题背景：学校计划对校园里一块长，宽m的矩形场地进行绿化，如图1，将该矩形场地划分成5个区域，阴影部分宽度相同，空白部分宽度相同，阴影部分种植花卉，空白部分种植花卉（，两种花卉都要种植）．已知花卉的种植成本是9元，花卉的种植面积为，花卉的种植成本元，满足． 问题解决： (1)若种植花卉的成本为5200元，求此时花卉的种植面积； (2)学校按该方案对场地进行绿化，最多需要投入的种植成本是多少元？ (3)若学校计划投入不超过10000元种植这两种花卉，且种花卉种植面积不少于，直接写出每块阴影部分宽的取值范围． 38．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）每年12月下旬至次年3月上旬为诸暨水果“红美人”的采摘时间，如图①是红美人采摘园大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线构成（如图②），点为抛物线顶点．以所在直线和垂直平分线所在直线建立坐标系，为一个单位长度．已知，，．    (1)求抛物线解析式（不需要写出的取值范围）； (2)现需在上方至顶端部分加装两根关于轴对称立柱和，若两立柱间的距离为，求立柱的长度． 39．（2025九年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表： 售价x（元/件） 50 60 70 周销售量y（件） 80 60 40 周销售利润w（元） 800 1200 1200 注：周销售利润=周销售量×（售价-进价） (1)写出y关于x的函数解析式：___________； (2)求该商品的进价和周销售的最大利润： (3)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（），物价部门规定该商品售价不得超过60元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1080元，求m的值． 40．（2025·湖北·模拟预测）某种蔬菜的销售单价与销售月份x之间的关系如图①所示，成本与销售月份x之间的关系如图②所示（图①的图象是线段，图②的图象是抛物线），已知6月份这种蔬菜的成本最低． (1)直接写出与x以及与x之间的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围） (2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（收益=售价一成本） (3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克． 41．（2025·山西吕梁·模拟预测）综合与实践 问题情境： 发展青少年校园篮球运动是贯彻党的教育方针、促进青少年身心健康的重要举措．某校积极开展校园篮球运动、如图，这是身高为的小明同学站在距篮圈中心的水平距离处原地（不跳起）投篮的路线示意图，篮球运行路线呈抛物线，球在小明头顶的正上方的点处出手．当篮球飞行的水平距离为时，达到最高点，此时球离地面．已知篮圈高为，现以篮圈中心所在铅垂线为轴，点为原点建立平面直角坐标系． 数学思考： (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断篮球能否直接从篮圈的正中心投进（忽略其他因素）． 深入探究： (2)对本次训练进行分析，若投篮路线的形状、最大高度均保持不变，小明的活动范围不能超过，请解决下面问题． ①小明向正前方（篮圈方向）走了几步准备第2次投篮，要使篮球直接从篮圈的正中心投入，求小明移动的距离． ②在①的条件下，体育老师（身高，向上伸出双手超过头顶）在小明正前方处进行拦截，求体育老师至少需要跳起多高才能将小明投出去的篮球拦截下来． 42．（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】 小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． 任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】 如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 43．（24-25九年级下·山东烟台·期中）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下： (1)【建立模型】 数据收集：如图2，选取合适的原点    O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场测量结果，喷水口H离地面竖直高度为，把绿化带截面抽象为矩形，其中D，E点在x轴上，测得其水平宽度，竖直高度，那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． ①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，求上边缘抛物线的函数解析式，并求出洒水车喷出水的最大射程； ②下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (2)【问题解决】 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛线所夹区域内），利用上述信息直接写出的取值范围． 44．（2025·河北石家庄·三模）生活情境：一天放学后，妈妈带淇淇到面馆吃面，爱思考的淇淇仔细观察盛面汤的碗，发现汤碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽，与碗底宽AB平行．当碗中装满面汤时，面汤的最大深度．以为原点，水平线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)喝掉部分面汤后，汤的表面（后面简称“汤面”）下降了至处，求此时汤面的长； (3)将面汤碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，直接写出此时汤面的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $