重难点专题4.1 实数指数幂和幂函数十三种题型（高效培优专项训练）数学湘教版2019必修第一册

重难点专题4.1 实数指数幂和幂函数十三种题型 题型一 根式的化简、求值 题型二 分数指数幂与根式的互化 题型三 指数幂的化简、求值 题型四 根式、指数幂的混合运算 题型五 幂函数的解析式与求值 题型六 幂函数定义域问题 题型七 幂函数最值、值域问题 题型八 幂函数的图象及其应用 题型九 比较大小问题 题型十 不等式的求解 题型十一 幂函数图象和性质的综合问题 题型十二 幂函数奇偶性、单调性综合应用 题型十三 不等式恒成立及有解问题 题型一 根式的化简、求值 1．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 3．（25-26高一上·陕西·开学考试）先化简：，再从中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】答案见详解 【分析】根据题意求的取值范围，结合因式分解化简整理，代入运算即可. 【详解】令，解得或； 令，解得； 可知的取值范围为. 则， 结合题意只可取，代入得. 题型二 分数指数幂与根式的互化 4．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列等式中正确的是（   ） A． B． C．（） D．（） 【答案】ACD 【分析】根据分数指数幂与根式的转化判断各个选项. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：当时，，B选项不正确； 对于C：时，C选项正确； 对于D：时，D选项正确； 故选：ACD. 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则关于的表达式 ． 【答案】4 【分析】将根式转化为分数指数幂，结合指数幂运算性质计算即可. 【详解】原式， 故答案为：4. 题型三 指数幂的化简、求值 6．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）（1）求值：； （2）已知，求和的值. 【答案】（1）18；（2）；18 【分析】（1）由指数的运算性质即可求解； （2）通过和即可求解. 【详解】（1）； （2）因为， 所以， 所以， 因为，即， 所以. 7．（25-26高一上·全国·单元测试）回答下列问题： (1)计算：； (2)已知，求； (3)若，且，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用指数幂的运算法则以及根式分数指数幂的互化解答，化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时被开方数非负． 【详解】（1）． （2），所以． （3）当，时，． 8．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）(1)已知，，求的值； (2)已知，为正实数，求的值；新增小题 (3)已知，求的值.新增小题 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据指数幂的运算法则求解即可； （2）根据指数幂的运算法则及完全平方公式、立方差公式求解即可； （3）由题可得，利用换元法及求根公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2）因为， ， 所以. （3）由可得， 即， 又，令，则， 解得，即. 题型四 根式、指数幂的混合运算 9．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）（1）化简求值：. （2）已知，求的值. 参考公式：立方和公式：；立方差公式： 【答案】（1）7；（2）65 【分析】（1）根据指数的运算法则计算即可； （2）配凑立方和公式求解. 【详解】（1）原式. （2）因为，所以，所以， 所以. 10．（25-26高一上·江苏扬州·阶段练习）（1）求值：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）;（2）3 【分析】（1）利用根式与分数指数幂的运算法则计算即可； （2）利用完全平方公式化简计算即可. 【详解】（1）原式； （2）易知∵，∴． 11.（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； （3）将有理数指数幂化为根式或分式形式求值即可. 【详解】（1）原式 （2）原式； （3）由得. 题型五 幂函数的解析式与求值 12．（25-26高三上·河南商丘·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，利用代入法进行求解即可. 【详解】设，由题意可知，，所以，则， 所以． 故选：C． 13．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知定义在上的幂函数，则（    ） A．0 B． C．1 D．不确定 【答案】B 【分析】根据常见幂函数的图象特点求解即可. 【详解】由题意函数过点，， 所以. 故选：B. 14．（25-26高二上·上海嘉定·阶段练习）已知幂函数的图像经过点和点则 . 【答案】3 【分析】依次代入点和点即可求解. 【详解】， ， . 故答案为：3 题型六 幂函数定义域问题 15．（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则（    ） A． B．1 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由幂函数的定义可求出或，结合幂函数的定义域为，即可选出正确答案. 【详解】由幂函数的概念可得，解得或. 当时，，定义域为，不符合题意，舍去； 当时，，定义域为，符合题意，所以， 所以. 故选：C 16．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据幂函数求参数，再由函数定义域确定最终参数值. 【详解】由， 所以或，则或， 又的定义域为，即，所以. 故选：A 17．（17-18一年级·江西·单元测试）若函数则函数y＝f(4 x－3)的定义域是(　　) A．(－∞，＋∞) B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】幂函数， , 所以，所以， 所以函数的定义域是，故选D. 18．（23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可. 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 故答案为： 19．（17-18高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，则的定义域为 . 【答案】 【分析】根据根式，分式与幂函数的定义域求解即可. 【详解】要使函数有意义，则需，解得且，所以其定义域为. 故答案为：. 题型七 幂函数最值、值域问题 20．（18-19高一·广东深圳·课后作业）若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据复合函数的值域得函数的最小值要小于等于，进而结合二次函数性质求解即可． 【详解】解：由题意：函数是一个复合函数，要使值域为， 则函数的值域要包括，即最小值要小于等于． 当时，显然不成立， 所以，当时，则有，解得， 所以的取值范围是. 故选：B． 21．（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【详解】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 22．（22-23高一上·吉林·期末）幂函数的图像过点，则它在上的最大值为（    ） A． B．－1 C．1 D．－3 【答案】C 【分析】 设出幂函数的解析式，待定系数法求出，结合函数的单调性，求出最大值. 【详解】设幂函数，将代入，得：， 解得：， 故，它在上单调递减，故当时，取得最大值， . 故选：C 23．（20-21高一·全国·课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【答案】（1）作图见解析，定义域为；（2）. 【分析】（1）根据函数解析式，求出图象上的五个点坐标，描点即可画出图象，观察解析式即可得出定义域； （2）设，从而有，即可得出的值域. 【详解】解：（1）由于， 则，，， 所以过点， 故的图象，如图所示，函数的定义域为； （2）由题可知， 设，则， 当时取等号，故的值域为． 题型八 幂函数的图象及其应用 25．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C 26.（21-22高一上·上海徐汇·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在第一象限内单调递减， 当时，幂函数在第一象限内单调递增， 所以， 当时，幂函数在第一象限内单调递增， 所以， 所以相应曲线的依次为. 故选：A 27．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 28．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出定点A的坐标，并求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】依题意，，则，因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：D 29．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知图象可确定与的正负情况，进而判断根据幂函数单调性判断各选项正误. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，所以，又对称轴在轴右侧，则，所以， 则在第一象限，根据幂函数的单调性可得单调递增，单调递减． 故选：B. 30．（24-25高二下·浙江温州·期中）若直线与幂函数的图象依次交于不同的三点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上说法都不正确 【答案】D 【分析】根据题给条件写出三点的坐标，计算的长度逐一判断即可. 【详解】 因为，由得；得；得. 则. 因为，所以是关于的减函数. 因为，所以，则. 故以上选项都不对. 故选：D. 31．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作轴于，过作轴于，根据反比例函数的图象性质可求，的面积，证明，根据相似三角形的性质可求，由此可得结论. 【详解】如图， 过作轴于，过作轴于，则． 因为顶点分别在反比例函数与的图象上， 所以． 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 故选：D. 题型九 比较大小问题 32．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 33．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 34．（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根已知幂函数图象在或时图象上下关系，结合构造函数，利用指数函数的单调性做出判断. 【详解】由已知图象可知当时，， 当时，， 而函数在底数时为的单调增函数， 在底数满足时为的单调减函数， . 故选：A 35．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】先通过函数是幂函数以及单调性求出的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为对任意，且，满足， 即对任意，都有， 故函数是幂函数且在上单调递增， 所以， 所以， 则，明显为上的奇函数， 由得， 所以， 所以. 故选：A. 36．（21-22高一上·陕西咸阳·阶段练习）若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则､的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质以及图象的特点即可得､的大小关系，进而可得正确选项. 【详解】和在上单调递增，所以，， 当时，图象在上方，所以， 当时，图象在下方，所以， 所以， 故选：A. 37．（25-26高一上·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 38．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 39．（多选）（25-26高三上·广东中山·阶段练习）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】根据是幂函数可求m为2或，再根据在上单调递增可得m为2，根据即可求出a，b的关系，从而得到答案． 【详解】∵函数是幂函数， ∴或． ∵对任意，且，满足， ∴在上单调递增． 当时，满足题意， 当时，不符合题意， ∴， ∴在上单调递增． ∵的值为负数， ∴． 当时，，故A可能成立； 当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立； 故选：ABC． 题型十 不等式的求解 40．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由单调性求解. 【详解】因为在单调递减， 所以由可得，解得， 故选：C. 41．（25-26高三上·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 42．（24-25高一上·江苏南通·期中）若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质可知在定义域上单调递减，结合题干列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为幂函数在定义域上单调递减， 所以， 故答案为：. 43．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用是幂函数和图象经过点得到解析式，再根据单调性列不等式求解即可. 【详解】因为是幂函数且图象经过点， 所以，解得，所以， 易知在上单调递增，则由得， 解得，故原不等式的解集为， 故答案为： 题型十一 幂函数图象和性质的综合问题 44．（多选）（23-24高一上·宁夏银川·期中）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．恒过定点 C．若时， D．若时，关于轴对称 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义可求得的值判断出；根据幂函数的性质可判断；根据幂函数的单调性可判断；根据函数的奇偶性定义可判断. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，则，故正确； 根据幂函数的图象恒过定点，故正确； 当时，，故函数上单调递增， 则，故错误； 当时，，定义域为，且， 故为偶函数，关于轴对称，故正确. 故选： 45．（多选）（21-22高一上·广东茂名·期末）下列说法正确的是（    ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．若表示递增的幂函数，则 D．幂函数的图像都过点， 【答案】AC 【分析】利用幂函数的定义、性质，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，设，则，即，解得，，A正确； 对于B，函数不是幂函数，B错误； 对于C，是幂函数，则，解得或， 当时，在上单调递减，不符合题意， 当时，是R上的增函数，符合题意，因此，C正确； 对于D，幂函数不过点，D错误. 故选：AC 46．（多选）（25-26高三上·甘肃·阶段练习）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则或 D．当时，，若，则 【答案】ABD 【分析】代入点可求解，进而根据幂函数的性质即可求解ABC，利用作差法即可求解D. 【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得， 所以，故A正确； 的定义域为，对，则，且， 所以函数是偶函数，故B正确； 因为，所以在上单调递增， 由，是偶函数，得，即， 解得，故C错误； 因为当时，，所以，， 又， 所以，故D正确. 故选：ABD. 题型十二 幂函数奇偶性、单调性综合应用 47．（22-23高一上·云南昭通·期中）使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由幂函数单调性，奇偶性可得答案. 【详解】因为偶函数，则不能为，，可以为，. 又在上是减函数，则. 故选：C 48．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据，代入化简得到，解出后得到函数解析式，最后再代入计算即可. 【详解】由题意得，函数且的定义域为． 因为是奇函数，所以，即． 得，即，所以． 解得或（舍去），所以． 所以． 故选：C． 49．（多选）（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）已知幂函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则. 【答案】ACD 【分析】求出函数的解析式，根据幂函数的图像性质即可逐项求解. 【详解】设幂函数（为实数），其图像经过点，，解得， ，其定义域为，且在上为增函数，A正确； 的定义域为，不具有奇偶性，所以B错误； 时，，选项C正确； 函数是上凸函数， 对定义域内任意的，都有成立，选项D正确. 故选：ACD. 50．（多选）（25-26高三上·海南·阶段练习）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．的图象关于y轴对称 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的定义求得或，进而有或，结合幂函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由是幂函数，则， 所以或，故或，A错， 所以或，B对， 显然、都是偶函数，C对， 由，而，故，D对. 故选：BCD 51．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)为奇函数． (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 52．（25-26高三上·宁夏银川·开学考试）已知幂函数为偶函数，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到在区间上为减函数，求得，结合以及函数为偶函数，进而确定实数的值； （2）由（1）得，结合幂函数的性质，把不等式转化为，即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数， 所以，解得， 又因为，则m的值为， 函数为偶函数，所以为偶数，所以． （2）由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数， 所以不等式，即为， 解得或，即的取值范围是． 53．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数是偶函数，且在区间上单调递减，若正数满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性求出，则等价于，令，再根据幂函数的单调性和奇偶性列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递减，所以，解得， 因为，所以或2或3， 当时，；当时，；当时，， 因为幂函数为偶函数，故， 因此等价于， 因为幂函数满足，所以为偶函数， 又由幂指数得在上单调递减，则在单调递增， 所以可转化为， 又是正数，所以解得或， 故的取值范围是. 题型十三 不等式恒成立及能成立问题 54．（20-21高一·全国·课后作业）已知.若满足：当时，恒成立，则k取值的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以.要使， 则在区间上应大于0，所以，，，1时显然不成立. 当时，，在区间上有成立； 当时，，在区间上有成立； 当时，，在区间上有成立； 当时，，由及，知成立； 当时，，由及，知成立. 综上所述，k可取的值共有4个. 故选：A 55．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性及解析式可得，结合对应幂函数的单调性及奇函数的对称性得在R上为增函数，则恒成立，即可求范围. 【详解】∵，且定义域为R， ∴是奇函数，故等价于. ∵，则 ∴， 当时，，易知在上单调递增， 结合奇函数对称性，知在R上为增函数，故恒成立， ∴，得. 故选：D 56．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)① ；② 【分析】（1）由幂函数定义求解； （2）取值-做差-变形-判断符号-结论； （3）①由单调性求解；②分离参数，利用基本不等式求最值得范围. 【详解】（1）由题意得，解得，则． （2）由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数． （3）①由（2）知，在上是减函数． 因为，则， 解得，所以实数的取值范围． ②因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 令． 当且仅当，即时等号成立， 则，所以，则实数的取值范围是． 57．（25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，解出的值，再根据幂函数的单调性检验，即可得到答案； （2）分离变量，再结合基本不等式可得的范围； （3）代入，化简，因式分解，按两根的大小关系分类讨论，即得答案. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. （2）因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题4.1 实数指数幂和幂函数十三种题型 题型一 根式的化简、求值 题型二 分数指数幂与根式的互化 题型三 指数幂的化简、求值 题型四 根式、指数幂的混合运算 题型五 幂函数的解析式与求值 题型六 幂函数定义域问题 题型七 幂函数最值、值域问题 题型八 幂函数的图象及其应用 题型九 比较大小问题 题型十 不等式的求解 题型十一 幂函数图象和性质的综合问题 题型十二 幂函数奇偶性、单调性综合应用 题型十三 不等式恒成立及有解问题 题型一 根式的化简、求值 1．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高一上·陕西·开学考试）先化简：，再从中选择一个合适的数代入并求值． 题型二 分数指数幂与根式的互化 4．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列等式中正确的是（   ） A． B． C．（） D．（） 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则关于的表达式 ． 题型三 指数幂的化简、求值 6．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）（1）求值：； （2）已知，求和的值. 7．（25-26高一上·全国·单元测试）回答下列问题： (1)计算：； (2)已知，求； (3)若，且，求代数式的值． 8．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）(1)已知，，求的值； (2)已知，为正实数，求的值；新增小题 (3)已知，求的值.新增小题 题型四 根式、指数幂的混合运算 9．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）（1）化简求值：. （2）已知，求的值. 参考公式：立方和公式：；立方差公式： 10．（25-26高一上·江苏扬州·阶段练习）（1）求值：． （2）已知，求的值． 11.（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值. 题型五 幂函数的解析式与求值 12．（25-26高三上·河南商丘·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 13．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知定义在上的幂函数，则（    ） A．0 B． C．1 D．不确定 14．（25-26高二上·上海嘉定·阶段练习）已知幂函数的图像经过点和点则 . 题型六 幂函数定义域问题 15．（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则（    ） A． B．1 C．4 D．8 16．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（17-18一年级·江西·单元测试）若函数则函数y＝f(4 x－3)的定义域是(　　) A．(－∞，＋∞) B． C． D． 18．（23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为 . 19．（17-18高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，则的定义域为 . 题型七 幂函数最值、值域问题 20．（18-19高一·广东深圳·课后作业）若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 22．（22-23高一上·吉林·期末）幂函数的图像过点，则它在上的最大值为（    ） A． B．－1 C．1 D．－3 23．（20-21高一·全国·课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 题型八 幂函数的图象及其应用 25．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 26.（21-22高一上·上海徐汇·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（    ）    A． B． C． D． 27．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 29．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高二下·浙江温州·期中）若直线与幂函数的图象依次交于不同的三点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．以上说法都不正确 31．（2025高一·全国·专题练习）如图，在中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则（   ） A． B． C． D． 题型九 比较大小问题 32．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（   ） A． B． C． D． 33．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 34．（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 36．（21-22高一上·陕西咸阳·阶段练习）若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则､的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高一上·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 38．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 39．（多选）（25-26高三上·广东中山·阶段练习）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型十 不等式的求解 40．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 41．（25-26高三上·江苏苏州·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高一上·江苏南通·期中）若，则实数的取值范围是 . 43．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 题型十一 幂函数图象和性质的综合问题 44．（多选）（23-24高一上·宁夏银川·期中）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．恒过定点 C．若时， D．若时，关于轴对称 45．（多选）（21-22高一上·广东茂名·期末）下列说法正确的是（    ） A．若幂函数过点，则 B．函数表示幂函数 C．若表示递增的幂函数，则 D．幂函数的图像都过点， 46．（多选）（25-26高三上·甘肃·阶段练习）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是偶函数 C．若，则或 D．当时，，若，则 题型十二 幂函数奇偶性、单调性综合应用 47．（22-23高一上·云南昭通·期中）使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（    ） A． B． C． D．2 48．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．1 B．3 C． D． 49．（多选）（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）已知幂函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则. 50．（多选）（25-26高三上·海南·阶段练习）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．的图象关于y轴对称 D．若，则 51．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 52．（25-26高三上·宁夏银川·开学考试）已知幂函数为偶函数，且． (1)求； (2)若，求的取值范围． 53．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数是偶函数，且在区间上单调递减，若正数满足，求的取值范围． 题型十三 不等式恒成立及能成立问题 54．（20-21高一·全国·课后作业）已知.若满足：当时，恒成立，则k取值的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 55．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）设函数，若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 56．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知为幂函数． (1)求的解析式； (2)用定义法证明：在上是减函数； (3)①若，求实数的取值范围； ②若恒成立，求实数的取值范围． 57．（25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $