专题04 二次函数最值问题（专项训练）数学沪科版九年级上册

专题4 二次函数最值问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数全范围最值 1 题型二、二次函数范围内最值：定轴定区间 2 题型三、二次函数范围内最值：动轴定区间 3 题型四、二次函数范围内最值：定轴动区间 4 题型五、二次函数范围内最值：动轴动区间 5 B 综合攻坚・能力跃升 7 题型一、二次函数全范围最值 1．（25-26九年级上·山西忻州·阶段练习）关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与y轴的交点坐标是 D．当时，y有最大值2 2．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知是的二次函数，表中列出了部分与的对应值： 则该二次函数有 （填“最小值”或“最大值”）， 3．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数的最大值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 4．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）二次函数的自变量与函数值的对应值如下表： 4 下列说法正确的是（　　） A．此抛物线开口向下 B．此抛物线与轴交于点 C．当时，随的增大而减小 D．此二次函数的最小值是 5．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ． 6．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）二次函数的最小值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二、二次函数范围内最值：定轴定区间 7．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）二次函数，若，则的取值范围是 ． 8．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）已知点与点都在二次函数的图象上． (1)求和的值，并直接写出该拋物线的对称轴、顶点坐标和开口方向． (2)当时，直接写出的最大值和最小值． 9．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数． (1)画出函数图象； … … … … (2)该函数图象与轴交于点和点，则线段的长为________； (3)当时，结合图象直接写出的取值范围_______． 10．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数的解析式为． (1)若点在该二次函数的图象上，求的值； (2)当时，函数有最大值和最小值，求证：． 11．（25-26九年级上·重庆忠县·阶段练习）已知函数，当时，函数的最大值与最小值的差等于 ． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）当时，二次函数的最大值为8，则 ． 题型三、二次函数范围内最值：动轴定区间 13．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）关于的二次函数． (1)若，二次函数图像的顶点坐标为_____； (2)求出二次函数图像的顶点坐标（用含的式子表示），判断顶点是否在直线上； (3)在时二次函数的最大值与最小值的差等于15，求的值． 14．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数（为常数）． (1)若图象经过点，判断图象是否经过点，并说明理由； (2)设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的函数关系式； (3)若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值． 15．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)若，且二次函数象经过点，求函数顶点坐标； (2)若， ①求证：二次函数的图象和轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，的最小值是，求的值． 16．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）二次函数，当时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为 ． 17．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是 ． 18．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）已知函数 (1)若时，求函数的最小值． (2)若函数在有最小值，求实数的值 题型四、二次函数范围内最值：定轴动区间 19．（2025·河南·模拟预测）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，y的最小值为，求t的值； (3)记抛物线上点A，B之间（含点A，B）的部分为图象U，若直线与图象U只有一个交点，请直接写出m的取值范围． 20．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与于点，已知抛物线经过A、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，且与的面积相等，直接写出点的坐标为________； (3)如图，点是在直线上方的抛物线上的动点，连接、，当点到直线的距离最大值为，求的值． (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为6，直接写出的值________． 21．（2023·吉林松原·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线(a为常数，且)，此抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．    (1)抛物线的对称轴为直线_______； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当(m为常数)时，y的最小值为，求m的值； (3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为，当以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出a的值． 22．（2025·江苏泰州·一模）已知二次函数（为常数，且）． (1)当时，求的值； (2)若二次函数的图像经过点，，比较和的大小，并说明理由； (3)若二次函数满足当时，，直接写出的取值范围． 题型五、二次函数范围内最值：动轴动区间 23．（2025·浙江湖州·三模）已知抛物线的顶点坐标为． (1)求a，c的值，并写出函数表达式． (2)已知在该抛物线上． ①将点A向右平移6个单位后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标． ②若，时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 24．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）已知二次函数 （a为常数）． (1)求二次函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）； (2)当时，若时，，求m的取值范围； (3)当时，若函数 （a为常数）的图像的最低点到直线的距离为2，求a的值． 25．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）已知：二次函数在的范围内有最小值，则这个最小值是 ． 26．（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 27．（2025·江苏无锡·一模）定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则； ④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 28．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数（、为常数）． (1)当时，求二次函数在上的取值范围； (2)当时，求二次函数在上的最小值； (3)当时，若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为21，求此时二次函数的解析式． 29．（2023·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（22-23九年级上·浙江·期中）已知函数（b为常数）的图象经过点．当时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 31．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，当时，函数的最大值为． (1)求二次函数的解析式； (2)直接写出当时，y的取值范围； (3)若当时，y既存在最大值也存在最小值，直接写出m的取值范围． 32．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（  ） A．或10 B．10或2 C．2 D． 33．（24-25九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 34．（2021·福建·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中． (1)求证：不论m取何值，抛物线过定点； (2)点在抛物线上，当时，y有最小值，试求出m的值； (3)抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，当时，求m的值． 35．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）综合探究题： 已知二次函数． (1)求证：该函数图像与x轴总有两个交点； (2)若该函数图像的顶点在直线上，求 m的值； (3)当时，函数的最小值为，求m的值． 36．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）已知二次函数，（a，c为常数，且） (1)若此二次函数的图像经过点和点，求二次函数的解析式 (2)在（1）的条件下，当时，二次函数的最大值与最小值的和为3，求t的值； (3)当时，已知点，，若二次函数的图像与线段只有1个交点，求a的取值范围． 37．（25-26九年级上·吉林通化·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），且点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． (1)求抛物线的解析式及点C 的坐标； (2)当时，y的取值范围是______； (3)当图象G的最大值与最小值的差为4时，求m的值． 38．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线经过点，当时，的最小值为． (1)求与的数量关系； (2)抛物线的对称轴和解析式； (3)当时，的取值范围是，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 二次函数最值问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数全范围最值 1 题型二、二次函数范围内最值：定轴定区间 4 题型三、二次函数范围内最值：动轴定区间 9 题型四、二次函数范围内最值：定轴动区间 17 题型五、二次函数范围内最值：动轴动区间 25 B 综合攻坚・能力跃升 35 题型一、二次函数全范围最值 1．（25-26九年级上·山西忻州·阶段练习）关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与y轴的交点坐标是 D．当时，y有最大值2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数（抛物线）的基本性质，包括开口方向、对称轴、与y轴的交点及函数最值；解题的关键是熟练掌握二次函数一般式（）的性质：的符号决定开口方向，对称轴公式为，与y轴交点为，时函数有最小值、时函数有最大值（均在对称轴处取得）． 先明确抛物线中、、；判断选项A时，根据的符号确定开口方向；选项B用对称轴公式计算；选项C令求对应的值得到与y轴交点；选项D根据的符号判断最值类型，再计算对称轴处的函数值确定最值． 【详解】解：对于抛物线，其中，， A、∵，根据二次函数性质，时抛物线开口向下，此选项不符合题意； B、根据对称轴公式，代入、得：，即对称轴是直线，此选项不符合题意； C、求与y轴的交点，令，则，即交点坐标是，此选项不符合题意； D、∵，抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值；对称轴为，代入函数得：，即当时，有最大值2，此选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·天津·阶段练习）已知是的二次函数，表中列出了部分与的对应值： 则该二次函数有 （填“最小值”或“最大值”）， 【答案】最大值 【分析】本题考查了待定系数法求解析式以及抛物线的最值判断，先运用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次项系数的正负判断即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 由题意可知，函数图象过点、和， 将以上个点代入解析式可得，， 把代入和得，， 得，， 得，， 解得，， 把代入中得， ， 二次函数的解析式为：， 二次项系数， 二次函数开口向下，有最大值． 故答案为：最大值． 3．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数的最大值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数的最值，根据二次函数可知其顶点坐标为，再结合，可知抛物线开口向下，结合函数图像即可得出答案． 【详解】解：，其顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴二次函数的最大值是3， 故选D 4．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）二次函数的自变量与函数值的对应值如下表： 4 下列说法正确的是（　　） A．此抛物线开口向下 B．此抛物线与轴交于点 C．当时，随的增大而减小 D．此二次函数的最小值是 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可知当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 函数开口向上， 故A选项错误； 由二次函数的对称性可知，与对应的值相等， 抛物线与轴交于点， 故B选项正确； 由二次函数的对称性可知，抛物线的对称轴是， 当时，随的增大而减小， 故C选项错误； 由表格可知，抛物线的对称轴是， 当时，函数取最小值， 二次函数的最小值小于， 故D选项错误， 故选：B． 5．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 6．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）二次函数的最小值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查将二次函数一般式化为顶点式，二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．将二次函数通过配方化为顶点式，即可求出函数最小值． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴二次函数的最小值为2． 故选：B． 题型二、二次函数范围内最值：定轴定区间 7．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）二次函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据，得开口方向向下，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，再把代入，得出，因为，再把代入，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， ∴把代入，得，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵， ∴把代入，得； ∴在，则的取值范围是， 故答案为： 8．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）已知点与点都在二次函数的图象上． (1)求和的值，并直接写出该拋物线的对称轴、顶点坐标和开口方向． (2)当时，直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)，拋物线的对称轴为y轴、顶点坐标为原点、开口方向向上； (2)最小值为0，最大值为32 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的最值等知识，掌握这些基础知识是关键； （1）把点A的坐标代入二次函数中，即可求得a的值，从而确定二次函数，再把点B的坐标代入二次函数式中，可求得t的值，最后可确定抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）当时，函数在原点取得最小值，在取得最大值，求出最大值即可． 【详解】（1）解：把点代入中，得：， 解得：， ∴二次函数为； 把点代入中，得：； ∵二次函数为， ∴拋物线的对称轴为y轴、顶点坐标为原点、开口方向向上； （2）解：当时， 函数在原点取得最小值，即最小值为0； 函数在取得最大值，最大值为． 9．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数． (1)画出函数图象； … … … … (2)该函数图象与轴交于点和点，则线段的长为________； (3)当时，结合图象直接写出的取值范围_______． 【答案】(1)表格和图象见解析 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求二次函数与x轴的交点坐标，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据列表、描点、连线的作图步骤画图即可； （2）令求出函数与轴的交点的横坐标，再计算线段的长即可； （3）利用数形结合的思想求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： … 1 2 … … 2 … 画函数图象如下： （2）解：令得， 解得， ∴该函数图象与轴交点的横坐标分别为、， ∵该函数图象与轴交于点和点， ∴线段的长为， 故答案为：； （3）解：当时，；当时，， 由函数图象可得，在范围内，当时，有最大值；当时，有最小值， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数的解析式为． (1)若点在该二次函数的图象上，求的值； (2)当时，函数有最大值和最小值，求证：． 【答案】(1)或； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是二次函数的解析式转化为顶点式，找出二次函数的对称轴． 把点代入二次函数的解析式中，可得：，解方程求出的值； 把二次函数的解析式转化为顶点式，利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法证明即可． 【详解】（1）解：点在二次函数上， ， 整理得：， 解得：或； （2）证明：， 抛物线开口向上，对称轴为， 在时，随的增大而减小，在时，随的增大而增大； 当时函数取得最小值； 当时函数取得最大值； ， 即． 11．（25-26九年级上·重庆忠县·阶段练习）已知函数，当时，函数的最大值与最小值的差等于 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的最值问题，根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最小为，当时，函数值最大为， ∴； 故答案为：9 12．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）当时，二次函数的最大值为8，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ； 当时，在内， 当时，取最大值8，代入解析式得： ， ， ． 故答案为：或． 题型三、二次函数范围内最值：动轴定区间 13．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）关于的二次函数． (1)若，二次函数图像的顶点坐标为_____； (2)求出二次函数图像的顶点坐标（用含的式子表示），判断顶点是否在直线上； (3)在时二次函数的最大值与最小值的差等于15，求的值． 【答案】(1)； (2)，顶点在直线上； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）把二次函数化为顶点式即可； （2）把二次函数化为顶点式，再把顶点坐标代入直线即可； （3）根据自变量的取值范围与对称轴的关系，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， 顶点坐标为． 故答案为：． （2）解：， 顶点坐标为， 当时，， 顶点在直线上． （3）解：， 对称轴为直线且开口向上， 当时， ， ， ． 解得； 当时， ， ， ， 解得， ， 这两个解都舍去； 当时， ， ， ， 解得． ， 这两个解都舍去； 当时， ， ， ， 解得． 综上， 或． 14．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数（为常数）． (1)若图象经过点，判断图象是否经过点，并说明理由； (2)设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的函数关系式； (3)若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值． 【答案】(1)不经过，理由见解析 (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解． （1）把点代入中，即可得到函数表达式，然后根据当时，，即可判断得解； （2）利用顶点坐标公式得到，，然后消去可得到与的关系式． （3）由抛物线不经过第三象限可得的取值范围，分别讨论与时，为最大值求解． 【详解】（1）解：把点代入中， ． ． 此函数表达式为：， 当时，． 图象不经过点． （2）解：抛物线函数的顶点坐标是， ，． ∴ 把代入， ． 与的函数解析式为． （3）解：由题意，把代入，得， ， ∴顶点坐标为： ∴抛物线不经过第三象限， 当对称轴在轴右侧时，，解得， 当对称轴在轴左侧时，，解得：。 综上所述：抛物线不经过第三象限时 当时，函数的最大值与最小值之差为16， 把代入，得， 把代入，得， 当时，， ∵， ∴， ∴当时，函数总是取最小值， ①当，为最大值时，依题意得：， 解得：，（不合题意舍去） ②当，为最大值时，依题意得：， 解得：，（不合题意舍去） 综上所述，或． 15．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数． (1)若，且二次函数象经过点，求函数顶点坐标； (2)若， ①求证：二次函数的图象和轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，的最小值是，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②2 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）先利用待定系数法求得函数解析式，再利用性质可得顶点坐标； （2）①利用判别式证明即可； ②先求得，再根据二次函数的性质，分和两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，且二次函数象经过点， ∴，解得， ∴， ∴顶点坐标为； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象和轴有两个交点； ②∵点在该二次函数图象上， ∴， ∵， ∴，则， ∵当时，的最小值是， ∴当，即时，当时，n取最小值， ∴， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 当，即时，当时，n有最小值， ∴， 解得，不符合题意，舍去； 综上，b的值为2． 16．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）二次函数，当时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为 ． 【答案】或3/3或 【分析】按对称轴所在位置情况分别作图，由二次函数图象性质可知到x轴距离的最大值的点是图象顶点或两端点，分类讨论即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线．顶点记作点； 当时，；记作点； 当时，，记作点； 当时，图象上的点到x轴距离的最大值为4， Ⅰ．若图象位于抛物线对称轴右侧，即对称轴，如图1： 则点P为满足图象上的点到x轴距离的最大值为4的点， 此时有 ， 解得：， Ⅱ．若对称轴在P、Q两点之间（包含P、Q两点）时， 即：对称轴满足，如图2， ①若P为满足图象上的点到x轴距离的最大值为4的点， 则 ， 此时无解， ②若M为满足图象上的点到x轴距离的最大值为4的点， 则，， 解得：， Ⅲ．若图象位于抛物线对称轴左侧，即对称轴，如图3： 此时P为满足图象上的点到x轴距离的最大值为4的点， 则，， 此时没有符合的解， 综上，或3， 故答案为或3． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，增减性，点到x轴距离，分类讨论，是解题关键． 17．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是 ． 【答案】0或7/7或0 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的性质得到图象开口向下，对称轴为，最大值为9，再分3种情况讨论：①；②；③，利用二次函数的性质求出y取最大值时对应x的值，从而得到关于h的方程，即可求出h的值． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为，最大值为9， ①若，当时，y随着x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值1， ∴， 解得或（舍去）； ②若，当时，y取得最大值9，不符合题意，舍去； ③若，当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值1， ∴， 解得或（舍去）； ∴综上所述，常数h的值是0或7． 故答案为：0或7． 18．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）已知函数 (1)若时，求函数的最小值． (2)若函数在有最小值，求实数的值 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质． （1）把代入抛物线可得抛物线为，再利用二次函数的性质求解即可． （2）二次函数的对称轴为，分以下三种情况：①当时，在内，随的增大而增大，②当时，则当时，取得最小值，③当时，在内，随的增大而减小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，函数最小值为：， ∴函数最小值为：． （2）解：二次函数的对称轴为， 由题意，分以下三种情况： ①当时，在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为 解得：，符合题意； ②当时，则当时，取得最小值， ， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴； ③当时，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最小值，最小值为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上，或． 题型四、二次函数范围内最值：定轴动区间 19．（2025·河南·模拟预测）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，y的最小值为，求t的值； (3)记抛物线上点A，B之间（含点A，B）的部分为图象U，若直线与图象U只有一个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的解析式求解、最值问题以及直线与抛物线的交点问题，解题关键是熟练掌握二次函数的性质、方程与函数的关系以及分类讨论思想的运用． （1）将点和代入抛物线，得到方程组，解方程组求出和的值，从而确定抛物线解析式； （2）由（1）可得抛物线在处取得最小值，故对t的取值范围分两种情况进行讨论：①，即；②； （3）分别求出直线在点A，B处时m的值，结合函数图象即可得到m的一个取值范围，再联立二次函数与直线的解析式，利用根的判别式得到m的另外一个取值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）可得，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 由（1）可得，当时，y取得最小值为， 当时，y的最小值为，分两种情况进行讨论： ①当，即时， 此时在处取得最小值， 则， 解得(舍去)或． ②当时，此时在处取得最小值， 则， 解得或(舍去)． 综上所述，t的值为或； （3）解：当直线经过点A时， 可求得， 当直线经过点B时， 可求得， 当直线与图象U只有一个公共点时， 联立， 得， 则， 解得， ∴当直线与图象U只有一个交点时， m的取值范围为或． 20．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与于点，已知抛物线经过A、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，且与的面积相等，直接写出点的坐标为________； (3)如图，点是在直线上方的抛物线上的动点，连接、，当点到直线的距离最大值为，求的值． (4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为6，直接写出的值________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）求出直线与x轴的交点A，与y轴的交点B的坐标，然后代入，求出的值，即可求出抛物线的解析式； （2）分两种情况：点P是在直线上方的抛物线上的动点，②点P是直线下方的抛物线上的点，分别进行求解即可； （3）点P是在直线上方的抛物线上的动点，长度不变，当点P到直线的距离最大值时，最大，转化为求最大时，求点到直线的距离最大值； （4）求出抛物线的对称轴，顶点为，由得到当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而增大，得到当时，最大值为，当时，最小值为，根据当时，二次函数的最大值与最小值的差为6列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：对于， 当，即 当时，即， 将，代入得： ， 解得： ∴抛物线的解析式为：； （2）①当点P是在直线上方的抛物线上的动点，不动，当点P到直线的距离最大值时，最大，过点P作轴，交于点N，设点，，设A到距离为，B到距离为， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大值为， ∵，， ∴， ∵， ∴点P不可能是在直线上方的抛物线上的点， 当点P是直线下方的抛物线上的点时，根据两平行线间距离处处相等可知， 点P在过点O且平行于直线的直线上， 即点P在直线上， 与抛物线联立可得， ， 解得，或， 即点P的坐标为或； 故答案为：或 （3）∵点P是在直线上方的抛物线上的动点，不动，当点P到直线的距离最大值时，最大，过点P作轴，交于点N，设点，，设A到距离为，B到距离为，    ∴ ， ∵， ∴当时，， 点P到直线的距离最大值为s， ∵，， 解得； （4）对于， ∴抛物线的对称轴，顶点为， ∵， ∴当时，y随着x的增大而增大， 当时，y随着x的增大而增大， 当时，最大值为， 当时，最小值为， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为6， ∴ 整理得到， 解得， 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，平行线的距离，正确理解题意，用分类讨论的数学思想是解题的关键． 21．（2023·吉林松原·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线(a为常数，且)，此抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．    (1)抛物线的对称轴为直线_______； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当(m为常数)时，y的最小值为，求m的值； (3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为，当以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出a的值． 【答案】(1)2 (2)①；②或3 (3)或3 【分析】（1）根据对称轴公式求对称轴即可； （2）①由抛物线经过坐标原点可得，从而得到二次函数的解析式； ②分，，三种情况，根据二次函数的增减性求解即可； （3）由以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形可知点P是直角顶点，根据点A、B的坐标求得点P的坐标为，由题意可知点P的坐标为，从而得到，从而得解． 【详解】（1）解：依题意得∶ 抛物线的对称轴为直线 故答案为：2； （2）解：①∵抛物线经过坐标原点， ，解得， 抛物线的解析式为． ②当，即时， 此时开口向上，在上，y随着x的增大而减小， ∴当时，y取最小值，即 解得(不合题意，舍去)，； 当，即时， 此时对称轴处取最小值， ∴当时，y的最小值为，不存在最小值为的情况； 当时，此时开口向上，在上，y随着x的增大而增大， ∴当时，y取最小值，即， 解得，(不合题意，舍去)． 综上所述，m的值为或3． （3）解：∵以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形，点P是抛物线对称轴上的点， ∴点P是直角顶点，(否则点P在直线或y轴上，不合题意) 设与对称轴的交点为Q，则根据对称性可知点Q是的中点． 作出图形如下：    令，解得， ∴ 又令，解得 ∴ ∴， 又∵点Q是的中点， ∴ ∵点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形，点P是直角顶点， ∴， ∴ 又∵点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为， ∴点P的坐标为， ∴， 解得：或3 即a的值为或3． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数与几何综合等知识，掌握相关知识和分类讨论思想是解题的关键． 22．（2025·江苏泰州·一模）已知二次函数（为常数，且）． (1)当时，求的值； (2)若二次函数的图像经过点，，比较和的大小，并说明理由； (3)若二次函数满足当时，，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)；见解析 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式求出y的值即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，得出当时，y随x的增大而增大，根据，即可得出答案； （3）根据抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，得出y的最小值为，根据二次函数满足当时，，得出，把代入，求出或，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入得：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴y的最小值为， ∵二次函数满足当时，， ∴， 把代入得： ， ∴， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∵当时，， ∴， 综上分析可知：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数值或自变量的值，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 题型五、二次函数范围内最值：动轴动区间 23．（2025·浙江湖州·三模）已知抛物线的顶点坐标为． (1)求a，c的值，并写出函数表达式． (2)已知在该抛物线上． ①将点A向右平移6个单位后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标． ②若，时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 【答案】(1)，， (2)①；②m的值为或 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为可得，，求出a，c的值，即可得解； （2）①由坐标平移的性质可得，由点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线，求得，进而可得，代入二次函数的解析式计算即可得解；②由抛物线解析式可得该抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 分三种情况：当，即时，此时随着的增大而减小；当时，，且；当时，，且；分别利用二次函数的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为． ∴，， ∴，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①将点向右平移6个单位后得到点B， ∴， ∵点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将代入抛物线解析式可得：， ∴， ∴； ②∵抛物线的表达式为； ∴该抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 当，即时，此时随着的增大而减小， 当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， ∵该二次函数的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：或， ∵， ∴； 当时，，且， 此时，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， ∵该二次函数的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：或， ∵， ∴； 当时，，且， 此时，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， ∵该二次函数的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：或， ∵， ∴此种情况不成立； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 24．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）已知二次函数 （a为常数）． (1)求二次函数图象的对称轴（用含a的代数式表示）； (2)当时，若时，，求m的取值范围； (3)当时，若函数 （a为常数）的图像的最低点到直线的距离为2，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）将抛物线转化成顶点式求解即可； （2）将代入抛物线求出解析式，然后根据二次函数的对称性得到当时，，最后根据时，，结合二次函数的性质求解即可； （3）根据题意分和两种情况讨论，分别根据“函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为2”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为 ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴∴抛物线解析式为， ∵当时，， ∵抛物线的对称轴为，顶点坐标为，开口向上， ∴抛物线最小值为4， ∴当时，， ∵时，， ∴m的取值范围是； （3）解：∵抛物线的对称轴为， 当时， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，图象取得最低点，代入抛物线解析式得，， ∵函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为2， ∴， 即或 当时， ∴ ∴或 ∴当时， 解得 ∵ ∴舍去， 即， ∴当时，当时，函数的最低点为顶点， ∵函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为2， ∴，即或 ∴解得：或 ∵ ∴； 综上所述，当或或或时，函数（为常数）的图象的最低点到直线的距离为2． 25．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）已知：二次函数在的范围内有最小值，则这个最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，正确理解二次函数的性质是解题的关键．判断图象开口向下，顶点坐标为，结合，，可得当时，函数取最小值，再进一步可得答案. 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，顶点坐标为， ∵，， ∵当时，函数有最小值， ∴当时，函数取最小值，最小值为：； 故答案为：． 26．（2025·陕西咸阳·二模）已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．先求出顶点坐标为 ，可得当时，该函数的最小值为，再由二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为 ， ∵，即抛物线开口向上， ∴最小值为， ∴当时，该函数的最小值为， ∵， ∴当时，函数取得最大值，为， ∵当时，该函数的最大值与最小值的差是， ∴， 解得：． 故选：C． 27．（2025·江苏无锡·一模）定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数的最小值不超过，“巅峰”值是b，则； ④函数的“巅峰”值为3，则a的值为0或 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． 根据反比例函数的性质即可判断①，根据一次函数的性质求出函数的最大值即可判断②；由题意可知：，再由，即可求的取值范围，即可判断③；根据对称轴方程和“顶峰”值为 3 ，分类讨论时和时，列方程求解，即可判断④． 【详解】解：函数无最大值，不是“顶峰”函数，故①错误； 在中， ∵，∴随值的增大而增大， 当时，有最大值， 即函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1，故②正确； ∵随值的增大而减小， 当时，， ∵“巅峰”值是， ， ∵函数的最小值不超过， ， ， ， ， ， ∴的取值范围为：，故③正确； ∵的对称轴是直线， 当，即时， 函数的“巅峰”值是， ∴， 解得：（舍去）或； 当，即时， 函数的“巅峰”值是， ∴， 解得：，符合题意． 综上所述：的值为或 0，故④错误． ∴正确的是②③， 故选：C． 28．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数（、为常数）． (1)当时，求二次函数在上的取值范围； (2)当时，求二次函数在上的最小值； (3)当时，若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为21，求此时二次函数的解析式． 【答案】(1) (2)当时，y有最小值为；当时，y有最小值；时，y有最小值为； (3)或 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数性质，理解题意，注意分情况讨论． （1）把代入函数解析式，根据二次函数的性质即可求出函数在上的取值范围； （2）根据当时，根据二次函数的性质结合对称轴分，，三种情况讨论即可； （3）当时，写出解析式，分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数解析式为， ∴当时，二次函数y的值随x的增大而增大， ∴时，函数取得最小值为，时，时函数取得最大值为， ∴二次函数在上的取值范围为； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∴二次函数的图象关于对称， ①若，即时，则当时，y有最小值为； ②若，即时，则当时，y有最小值； ③若，即时，则当时，y有最小值为； 综上，当时，y有最小值为；当时，y有最小值；时，y有最小值为； （3）解：当时，二次函数的解析式为， 则二次函数图象开口向上，对称轴为的抛物线， ①若，即时，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y随x增大而增大， ∴当时，为最小值， ∴， ∴或（舍去）， ∴二次函数的解析式为； ②若，即， 当时，代入，得y最小值为， ∴， ∴（舍去）或（舍去）， ③若，即，在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y随x增大而减小， ∴当时，代入二次函数的解析式为中，得y最小值为， ∴， ∴或（舍去）， ∴二次函数的解析式为． 综上所述，二次函数的解析式为或． 29．（2023·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题的关键． 解二次函数与直线的方程，由得，方程的根为，从而求出，所以函数解析式为，根据函数解析式求得顶点坐标与纵轴的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围． 【详解】解：令，即， 由题意，，即， 又方程的根为， 解得， 故函数是 ∴函数图象开口向下，顶点为， 与y轴交点为，由对称性，该函数图象也经过， 由于函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小， 且当时，函数的最小值为，最大值为， ∴， 故选：C． ． 30．（22-23九年级上·浙江·期中）已知函数（b为常数）的图象经过点．当时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】将点代入即可求得b的值，进而求得抛物线的最大值，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可． 【详解】把代入， 得， ∴， ∴当时，y有最大值为6； ①当时， 当时，y有最小值为， 当时，y有最大值为 ∵y的最大值与最小值之和为2， ∴， ∴或(舍去)。 ②当时， 当时，y有最大值为6， ∵y的最大值与最小值之和为2， ∴y最小值为， ∴或舍去) 综上所述：或 故选：C 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，解题的关键是正确分类讨论得出m的取值范围． 31．（25-26九年级上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，当时，函数的最大值为． (1)求二次函数的解析式； (2)直接写出当时，y的取值范围； (3)若当时，y既存在最大值也存在最小值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题； （1）根据题意设顶点式，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意当时，函数的最大值为，根据时离对称轴较远，则时取得最小值，即可求解； （3）当时，只有最大值，没有最小值；根据抛物线的对称性可得当时，则时，没有最小值，时，y既存在最大值，也存在最小值． 【详解】（1）解：∵当时，函数的最大值为． 设二次函数解析式为， 代入得， 解得： ∴二次函数解析式为， （2）解：∵抛物线对称轴为直线，当时，函数的最大值为，抛物线开口向下． 又∵ 当时，取得最小值为； ∴当时，y的取值范围为； （3）解：当时， 当时，只有最大值，没有最小值； ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，且当时，随的增大而减小， ∴当时，则时，没有最小值， ∴当时，y既存在最大值，也存在最小值． 32．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（  ） A．或10 B．10或2 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，解题的关键是运用分类讨论思想．首先根据待定系数法得到n与m的关系，再根据二次函数的对称轴位置分情况讨论，求出m的值． 【详解】解：二次函数的图象经过点， 代入，得，即， 二次函数对称轴为直线， 然后分情况讨论： ①对称轴为直线，即， 此时在上，y随x的增大而增大， 当时，y有最小值0，不符合题意，舍去； ②对称轴为直线满足时，即， 此时二次函数的顶点在范围内，顶点的纵坐标为最小值， 二次函数顶点纵坐标公式为，将代入， 可得， 解得或， ， ； ③对称轴为直线，即， 此时在上y随x的增大而减小， 当时，y有最小值， 令，解得，不符合题意，舍去； 故答案为， 故选：C． 33．（24-25九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 【答案】（1）①3；②81    （2），    （3）最优纵横值为 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，二次函数的图象和性质． （1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优纵横值”的定义计算即可； （2）先求出二次函数，再根据“最优纵横值”的定义可知，求出c的值即可； （3）根据“最优纵横值”的定义可知，分类讨论：当时，当时，逐一求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴点的“纵横值”为3； 故答案为：3． ② 当时，随的增大而减小 当时，取得最大值81 函数（）的“最优纵横值”是81； （2）二次函数的对称轴为直线 ，解得 “最优纵横值”为3， ， （3） 当时，随时取最大值，即最大值为 “最优纵横值”是 当时，随时取最大值， 即最大值为 “最优纵横值”是 综上所述，最优纵横值为. 34．（2021·福建·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，其中． (1)求证：不论m取何值，抛物线过定点； (2)点在抛物线上，当时，y有最小值，试求出m的值； (3)抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，当时，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为 (3)m的值为或 【分析】本题考查抛物线与几何综合问题，涉及抛物线过定点，抛物线的最值，勾股定理，直角三角形的性质等， 熟练掌握相关知识点，数形结合、分类讨论是解题的关键； （1）将函数解析式化为，再列方程组求解，可得定点坐标； （2）根据题中条件确定当时，，代入求解即可； （3）先确定A，B，C三点的坐标，再分，，讨论，利用等腰三角形的判定，直角三角形的性质和勾股定理求解，综合可得m的值． 【详解】（1）将化为， 由，解得． 不论m取何值，抛物线过定点． （2）抛物线开口向上，对称轴， 当时，y有最小值， 函数的对称轴在的右侧，即，， 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）． m的值为． （3）当时，，故． 当时，，解得，． 不妨设，，则． 当时，如图1：过点A作交延长线于点D，则． ，， ，， ， ， ， 由勾股定理得，， ， ， 又， ， 由，解得，（舍去）， ． 当时，如图2：过点A作于点E，则． 同理可得，，，． ， ， ， 由勾股定理得， ， ， 又， ． 由，解得（舍去），， ． 当时，如图3所示： ， ，不存在的情况． 综上可知，m的值为或． 35．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）综合探究题： 已知二次函数． (1)求证：该函数图像与x轴总有两个交点； (2)若该函数图像的顶点在直线上，求 m的值； (3)当时，函数的最小值为，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图像与性质，二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）令，函数图像与x轴总有两个交点，即一元二次方程总有两个实数根，通过证明求解； （2）的顶点坐标为，因为顶点在直线上，将顶点坐标代入直线解析式求解即可； （3）二次函数图象的对称轴为直线，分别讨论对称轴在的左侧，之间，右侧，从而确定取最小值的位置，代入解析式求解即可． 【详解】（1）证明：令，则， 函数图像与x轴总有两个交点，即一元二次方程总有两个实数根， ， 不论为何实数，方程总有两个不相等的实数根， 无论为何实数，该二次函数的图象与轴总有两个交点； （2）解：， ∴其顶点坐标为， ∵顶点在直线上， 代入得：， 解得； （3）解：由（2）知，抛物线的对称轴为直线， 分三种情况讨论： ①当时，在范围内，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值， 将代入函数可得：， 解得； ②当时，函数在处取得最小值， 此时m的取值范围是； ③当时，在范围内，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值， 将代入函数可得：， 解得； 综上所述，m的取值范围为． 36．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）已知二次函数，（a，c为常数，且） (1)若此二次函数的图像经过点和点，求二次函数的解析式 (2)在（1）的条件下，当时，二次函数的最大值与最小值的和为3，求t的值； (3)当时，已知点，，若二次函数的图像与线段只有1个交点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)0或 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）先求得当时，该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为，与y轴的交点为，分和时两种情况，利用二次函数的图像与性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵此二次函数的图像经过点和点， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由得二次函数的图像的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∵， ∴当时，二次函数的最大值为，最小值为， 由题意，， 解得，（不符题意，舍去）； 当时，二次函数的最大值为，最小值为， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当时，二次函数的最大值为8，最小值为， 由题意，， 解得，（不符题意，舍去）； 综上，满足条件的t值为0或； （3）解：当时，， ∴该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为，与y轴的交点为， 当时，， 当时，二次函数的图像的开口向上，且，， 若二次函数的图像与线段只有1个交点，则，解得； 当时，二次函数的图像的开口向下，且，， 当即时，该二次函数的图像与线段只有1个交点； 当即时， 若二次函数的图像与线段只有1个交点，则，解得， ∵， ∴， 综上，满足条件的a取值范围为或或． 37．（25-26九年级上·吉林通化·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），且点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G． (1)求抛物线的解析式及点C 的坐标； (2)当时，y的取值范围是______； (3)当图象G的最大值与最小值的差为4时，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据已知条件将点A，B代入抛物线解析式中，得到一个二元一次方程组可求出b，c的值，进而得到抛物线解析式．再令，求出对应的y值，得到点C的坐标； （2）先将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，因为，所以抛物线开口向下，在顶点处取得最大值9，再分别计算当和时y的值，比较大小后确定y的取值范围即可； （3）先根据抛物线顶点式确定其顶点坐标，再求出时x的值，然后分三种情况讨论：①当时，最大值为顶点纵坐标9，最小值为5，满足最大值与最小值的差为4；②当时，最大值小于9，最小值为5，不存在最大值与最小值的差为4；③当时，最大值为5，最小值为，根据最大值与最小值的差为4列出方程求解，舍去不符合条件的值即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，两点， 将点A，点B的坐标分别代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． 抛物线与y轴交于点C， 当时，得， ∴点C的坐标为． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点为， 又∵， ∴当时，y的最大值为9， 当，则， 当，则， ∴当时，y的取值范围是． 故答案为：． （3）解：∵， ∴抛物线的顶点为， 当时，， 解得：，， 此时有三种情况讨论： ①当时，图象G的最大值为9，最小值为5， ∴图象G的最大值与最小值的差为4； ②当时，图象G的最大值为，最小值为5， ∴不存在图象G的最大值与最小值的差为4； ③当时，图象G的最大值为5，最小值为， ∴， 解得：，（负值舍去）， 综上所述，当或时，图象G的最大值与最小值的差为4． 【点睛】本题考查二次函数的解析式求解、函数值的取值范围以及根据函数最值求参数的值，涉及利用抛物线与x轴交点坐标求抛物线解析式，二次函数的顶点坐标公式，根据二次函数的性质求函数在给定区间内的最值等． 38．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线经过点，当时，的最小值为． (1)求与的数量关系； (2)抛物线的对称轴和解析式； (3)当时，的取值范围是，求的值． 【答案】(1) (2)对称轴为直线， (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，弄清题意，把分成两种情况进行分类讨论是解题的关键． ()根据抛物线经过点，代入抛物线解析式即可解答； ()由（）知，得，对称轴为直线，而当时，的最小值为，可得到方程，求出，即可求解； ()由当时，的取值范围是，可知不能取最小值，即，在对称轴的同侧，分两种情况讨论：与时，当和代入解析式，可得的值； 【详解】（1） 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． （2） ∵由（1）知， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵当时，的最小值为， 即：当时，， 解得：， ∴； （3） 由（）知，抛物线为， ∵当时，的取值范围是， ∴不能取最小值，即，在对称轴的同侧， 分两种情况讨论： ①，即时，在对称轴左侧随的增大而减小， 当时，，解得：或， 当时，， 解得：或， ∵， ∴． ②时，在对称轴右侧随的增大而增大， 当时，， 整理得：， 当时，， 整理得：， ∵与不一致， ∴不合题意，舍去． 综上所述，当时，的取值范围是时，． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $