专题4.2 平行线的基本概念与平行线的判定（高效培优讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题4.2 平行线的基本概念与平行线的判定 1.理解平行线的概念,掌握平行线的一个基本事实及其推论 2.能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线 3.掌握平行线的判定和性质,并会用几何语言表述 4.理解平行线的性质和判定的区别与联系,能综合运用平行线的性质和判定进行推理与计算 5.初步了解推理论证的方法,提升逻辑思维能力 知识点1 平行线的定义及表示方法 1.定义在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 特别提醒:平行线定义的三要素: (1)在同一平面内; (2)不相交; (3)都是直线 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系:相交和平行。 重合的直线视为一条直线，不属于相交与平行中的任何一种位置关系 2.表示方法 用＂∥＂表示平行，如图所示，两条 直 线 、 互相平行记作＂ ＂或＂ ＂，读作＂ 平行于 ＂或＂ 平行于 ＂． 知识点2 平行线的画法 1.过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落:把三角尺的一边落在已知直线上; 二靠:紧靠三角尺的另一边放一直尺; 三移:把三角尺沿着直尺移动使原先落在已知直线上的边经过已知点; 四画:沿三角尺过已知点的边画直线。此直线即为已知直线的平行线 2.示图 1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线, 2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线。 3.借助三角尺画平行线时，必须要保持紧靠，否则画出的直线不平行。 知识点3 垂线 1.平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 特别提醒:平行线基本事实的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线 “有且只有”。强调这样的直线的存在性和唯一性 2．平行线基本事实的推论 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 简称：平行于同一条直线的两条直线平行。 表达方式：如果 ，那么 ． 知识点4 平行线的判定方法 1 1.判定方法 1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简写成:同位角相等，两直线平行 “同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系(相等)推导出两直线的位置关系(平行).它构建起了角的大小关系与直线的位置关系的桥梁 构成同位角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对同位角相等，这两条被截线才平行。 知识点5 平行线的判定方法 2 1.判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简写成:内错角相等，两直线平行 利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的内错角再说明这两条被截直线平行 1.构成内错角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对内错角相等，这两条被截线才平行 2.“内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的。 知识点6 平行线的判定方法 3 1.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简写成:同旁内角互补，两直线平行 用数量关系判定两直线平行的方法: 在“三线八角”中，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，只要其中一个结论成立就可得到两直线平行 知识点7 过直线外一点作已知直线的平行线 过直线 A B 外一点 作直线 A B 的平行线的作法（如图）： （1）在直线 A B上取一点 ，经过点 和点 ，作直线 M N ； （2）作 ，并使得 与 是一对同位角； （3）反向延长射线 P D ，得到直线 $C D$ ，直线 $C D$ 就是过点 所要求作的直线 A B的平行线 知识点8 平行线判定方法的推论 1.推论 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，表达方式:如图，直线a、b、c在同一平面内 2.拓展 a、b、c为同一平面内的三条不重合的直线，有下列结论: 已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立。 三条直线在同一平面内是前提，丢掉这个前提，结论不一定成立。 题型1 平面内两直线的位置关系 1．在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定 2．（2024·安徽宿州期中）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（    ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合 3．在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 题型2 平行公理的应用 1．（2025·湖南衡阳期末）下列说法正确的有（   ） ①同位角相等：②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·广西贵港期末）下列说法中正确的个数为（    ） ①同一平面内不相交的两条直线互相平行；②经过一点能作一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·广西防城港期末）已知直线，，则下列结论正确的是（　　） A．直线a与c互相垂直 B．直线a与c互相平行 C．直线a与c相交 D．直线a与b相交 题型3 平行公理推论的应用 1．在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 2．（2024·山西吕梁期末）数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点． 画图操作： 第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 观察发现：． 上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（    ） 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A． B． C． D． 3．（2025·浙江宁波期末）下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 4．已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 5．（2025·江苏南京期末）如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 6．如图，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下去．这样做的数学依据是 ． 7．（2024·河南濮阳期末）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 8．如图，已知直线，则A，B，C三点在同一直线上，理由是 ． 题型4 根据已知条件判断两直线是否平行 1．如图所示，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昆明期末）如图，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点E在AC的延长线上，给出的四个条件：    （1）；（2）；（3）；（4）能判断的有 个. 题型5 同位角相等两直线平行 1．如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理： ． 2．如图，将木条与钉在一起，，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转的度数是（    ）    A． B．15° C．17° D．19° 3．已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：． 4．填空(理由或数学式) 如图，已知，，，，则与平行吗？ 与平行吗？ 解：，已知， 等量代换，         ． 又        ， ， 等式的性质． 同理可得 ． 等量代换， (        ) 题型6 内错角相等两直线平行 1．（2025·广东深圳期末）下列各图形中，，能确定的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山西晋中期末）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 3.如图所示，有一副三角板按图摆放，可得到，依据是 4．以下四种沿折叠的方法中，若，一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（   ） A． B． C． D． 题型7 同旁内角互补，两直线平行 1．（2025·山西运城·期中）如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 3．（2025·河南洛阳期末）完成下面的解答过程： 已知：如图，平分，平分，且．试判断与是否平行． 解：平分（已知）， （    ） 平分（已知）， （角平分线的定义）． （    ）． （已知）， （等量代换）． （    ）． 4. 如图所示： ，（已知）， （___________）， _____________（_________________）， 、相交， （__________________）， （等量代换）， （已知）， ． _______________（__________________）． 题型8 尺规画图问题 1．（2025·江苏淮安期末）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)线段_____的长度是点O到的距离； (3)过点A画的平行线． 2．（2025·江苏淮安期末）如图，点P是的边上的一点 (1)过点P画的平行线． (2)过点P画的垂线，交于H． (3)线段的长度是点H到___________的距离． 3．（2025·陕西榆林期末）如图，直线和相交，点是直线外一点．若直线也经过点且与直线垂直，垂足为；直线经过点，且与直线平行，与直线相交于点，根据以上描述画出图形． 4．（2025·福建泉州期末）如图，已知直线和直线外三点，按下列要求画图．（只画图，不写画法及结论）    (1)画射线，画直线； (2)画点到直线的垂线段，垂足为； (3)过点画直线的平行线． 题型8 平行线判定综合 1．（2024·山西吕梁期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 2．如图（a）五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地示意图，经过多年开垦荒地，现已经变成图（b）所示的形状.但承包土地与开垦荒地的分解小路，即图（b）中折线CDE还保留着.张大爷想过E点修一条直路EF，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.（不计分解小路与直路的占地面积）请你用有关知识，按张大爷的修路要求在图（b）中画出相应的图形（请务必保留作图痕迹）. 3．已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上． （1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程． （2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：； （3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示） 试卷第1页，共3页 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 平行线的基本概念与平行线的判定 1.理解平行线的概念,掌握平行线的一个基本事实及其推论 2.能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线 3.掌握平行线的判定和性质,并会用几何语言表述 4.理解平行线的性质和判定的区别与联系,能综合运用平行线的性质和判定进行推理与计算 5.初步了解推理论证的方法,提升逻辑思维能力 知识点1 平行线的定义及表示方法 1.定义在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 特别提醒:平行线定义的三要素: (1)在同一平面内; (2)不相交; (3)都是直线 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系:相交和平行。 重合的直线视为一条直线，不属于相交与平行中的任何一种位置关系 2.表示方法 用＂∥＂表示平行，如图所示，两条 直 线 、 互相平行记作＂ ＂或＂ ＂，读作＂ 平行于 ＂或＂ 平行于 ＂． 知识点2 平行线的画法 1.过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 一落:把三角尺的一边落在已知直线上; 二靠:紧靠三角尺的另一边放一直尺; 三移:把三角尺沿着直尺移动使原先落在已知直线上的边经过已知点; 四画:沿三角尺过已知点的边画直线。此直线即为已知直线的平行线 2.示图 1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线, 2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线。 3.借助三角尺画平行线时，必须要保持紧靠，否则画出的直线不平行。 知识点3 垂线 1.平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 特别提醒:平行线基本事实的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线 “有且只有”。强调这样的直线的存在性和唯一性 2．平行线基本事实的推论 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 简称：平行于同一条直线的两条直线平行。 表达方式：如果 ，那么 ． 知识点4 平行线的判定方法 1 1.判定方法 1两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简写成:同位角相等，两直线平行 “同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系(相等)推导出两直线的位置关系(平行).它构建起了角的大小关系与直线的位置关系的桥梁 构成同位角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对同位角相等，这两条被截线才平行。 知识点5 平行线的判定方法 2 1.判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简写成:内错角相等，两直线平行 利用“内错角相等”来确定“两直线平行”的关键是弄清这对内错角是哪两条直线被第三条直线所截得到的内错角再说明这两条被截直线平行 1.构成内错角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对内错角相等，这两条被截线才平行 2.“内错角相等，两直线平行”是利用“对顶角相等”和“同位角相等，两直线平行”推导得出的。 知识点6 平行线的判定方法 3 1.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简写成:同旁内角互补，两直线平行 用数量关系判定两直线平行的方法: 在“三线八角”中，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，只要其中一个结论成立就可得到两直线平行 知识点7 过直线外一点作已知直线的平行线 过直线 A B 外一点 作直线 A B 的平行线的作法（如图）： （1）在直线 A B上取一点 ，经过点 和点 ，作直线 M N ； （2）作 ，并使得 与 是一对同位角； （3）反向延长射线 P D ，得到直线 $C D$ ，直线 $C D$ 就是过点 所要求作的直线 A B的平行线 知识点8 平行线判定方法的推论 1.推论 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，表达方式:如图，直线a、b、c在同一平面内 2.拓展 a、b、c为同一平面内的三条不重合的直线，有下列结论: 已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立。 三条直线在同一平面内是前提，丢掉这个前提，结论不一定成立。 题型1 平面内两直线的位置关系 1．在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查对平行线和相交线的理解和掌握，根据在同一平面内两条不重合的直线的位置关系得出即可，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键． 【详解】解：在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行和相交． 故选：C． 2．（2024·安徽宿州期中）在同一平面内两条直线的位置关系可能是（    ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或重合 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查了平行线，根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案． 【详解】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确； 故选：C． 3．在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 【答案】（或垂直） 【知识点】平面内两直线的位置关系、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：（或垂直）． 【点睛】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． 题型2 平行公理的应用 1．（2025·湖南衡阳期末）下列说法正确的有（   ） ①同位角相等：②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】对顶角相等、平面内两直线的位置关系、平行公理的应用 【分析】本题考查对顶角，平行线的性质，平行公理，平面内两直线的位置关系，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：同位角不一定相等，故①错误； 对顶角相等，故②正确； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误； 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种；故④正确； 故选B． 2．（2024·广西贵港期末）下列说法中正确的个数为（    ） ①同一平面内不相交的两条直线互相平行；②经过一点能作一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用 【分析】本题考查平行线的判定与性质，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质、平行公理及推论． 由题意直接根据平行线的判定与性质、平行公理及推论依次进行分析即可判断． 【详解】解：①同一平面内不相交的两条直线互相平行，所以①正确； ②经过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，所以②错误； ③平行于同一条直线的两条直线平行，所以③正确； ④同一平面内经过一点只能作一条直线与已知直线垂直，所以④正确． 故选：C． 3．（2024·广西防城港期末）已知直线，，则下列结论正确的是（　　） A．直线a与c互相垂直 B．直线a与c互相平行 C．直线a与c相交 D．直线a与b相交 【答案】B 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题主要考查了平行公理的应用，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即直线a与c互相平行． 故选：B． 题型3 平行公理推论的应用 1．在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 2．（2024·山西吕梁期末）数学课堂上，老师出示了如下问题：如图，已知直线外有两点． 画图操作： 第一步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 第二步：过点画直线的平行线只能画出一条，即直线． 观察发现：． 上述过程中的“画图操作”和“观察发现”可得到的数学知识分别是（    ） 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行公理的应用、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行公理及其推论，根据平行公理及其推论即可求解，掌握平行公理及其推论是解题的关键． 【详解】解：由“画图操作”可得到的数学知识是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 由“观察发现”可得到的数学知识是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ∴可得到的数学知识分别是， 故选：． 3．（2025·浙江宁波期末）下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（   ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法：    ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法：    ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法：    ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法：    A．②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、同位角相等两直线平行、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定等知识，平移的性质，平行线的判定，垂直的定义逐步判断各情境即可． 【详解】解∶①如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ②如图， 根据三角板的特征知∶， 无法得出， ∴不能说明，故作法不正确． ③如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ④如图， 根据平移的性质知∶ ， ∴，故作法正确； 故选∶B． 4．已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】C 【知识点】平行公理的应用、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】此题主要考查了平行公理及推论，熟练掌握平行线相关知识是解题关键．根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可． 【详解】解：A、如果，，那么，说法正确； B、如果，，那么，说法正确； C、如果，，那么，故原说法错误； D、如果，，那么，说法正确． 故选：C． 5．（2025·江苏南京期末）如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查平行公理，根据平行公理进行作答即可． 【详解】解：由题意，这个基本事实是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 6．如图，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下去．这样做的数学依据是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】 解：这样做的数学依据是平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行于同一条直线的两条直线平行是解题的关键． 7．（2024·河南濮阳期末）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点N，P，M在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 8．如图，已知直线，则A，B，C三点在同一直线上，理由是 ． 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】该题主要考查了“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，正确理解题意即可解答； 根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，即可解答； 【详解】解：∵直线，都过点A，且， 又∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴A，B，C三点在同一直线上． 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 题型4 根据已知条件判断两直线是否平行 1．如图所示，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：A、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； B、∵， ∴，本选项符合题意； C、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； D、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025·云南昆明期末）如图，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，解题关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定定理逐项进行分析即可求解． 【详解】A．与是与被直线所截形成的同位角，由能推出直线，故该选项不符合题意； B．与是与被直线所截形成的同位角，由能推出直线，但不能推出直线，故该选项符合题意； C．与是与被直线所截形成的同旁内角，由能推出直线，故该选项不符合题意． D．与是与被直线所截形成的内错角，由能推出直线，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，点E在AC的延长线上，给出的四个条件：    （1）；（2）；（3）；（4）能判断的有 个. 【答案】3 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可； 【详解】（1）如果 ，那么 ，故（1） 错误； （2），那么 ，内错角相等，两直线平行，故（2）正确； （3），那么 ； 同位角相等，两直线平行，故（3）正确； （4），那么 ， 同旁内角互补，两直线平行，故（4） 正确； 即正确的有 故答案为：3 【点睛】此题考查的是平行线的判定定理，比较简单，解答此题的关键是正确区分两条直线被第三条直线所截所形成的各角之间的关系． 题型5 同位角相等两直线平行 1．如图，木工常用直角曲尺画平行线，请用你学过的一个定理解释用这个工具画平行线的道理： ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键．根据平行线的判定解答即可． 【详解】解：依据的数学道理是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 2．如图，将木条与钉在一起，，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转的度数是（    ）    A． B．15° C．17° D．19° 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定， 根据“同位角相等两直线平行”解答即可． 【详解】解：由，木条a需顺时针转动的度数为， 当时，即， 解得， ∴． 故选：C． 3．已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：． 【答案】见解析 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线．熟练掌握余角定义，对顶角性质，平行线的判定定理，是解题的关键． 根据垂线的定义，结合，得，进而得到，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 4．填空(理由或数学式) 如图，已知，，，，则与平行吗？ 与平行吗？ 解：，已知， 等量代换，         ． 又        ， ， 等式的性质． 同理可得 ． 等量代换， (        ) 【答案】；同位角相等，两直线平行；已知；；；；；同位角相等，两直线平行 【知识点】垂线的定义理解、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，根据题意得出，根据同位角相等，两直线平行即可证明；再证明，同理证明． 【详解】解：，已知， 等量代换， ． 又， ， 等式的性质． 同理可得． 等量代换， (同位角相等，两直线平行) ． 题型6 内错角相等两直线平行 1．（2025·广东深圳期末）下列各图形中，，能确定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，由平行线的判定方法，即可判断，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【详解】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意； B、由，结合内错角相等，两直线平行判定，故B符合题意； C、由，不能判定，故C不符合题意； D、由不能判定，故D不符合题意； 故选：B． 2．（2024·山西晋中期末）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行； 故选：A． 3.如图所示，有一副三角板按图摆放，可得到，依据是 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平行线的判定作答即可． 【详解】解：根据题意得，，依据内错角相等，两直线平行， ∴， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 4．以下四种沿折叠的方法中，若，一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理进行分析，即可解答． 【详解】解：A.与既不是内错角，也不是同位角， 不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行，故该选项不符合题意； B. 与是内错角， 且， 一定能判定纸带两条边线a，b互相平行，故该选项符合题意； C. 与既不是内错角，也不是同位角， 不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行，故该选项不符合题意； D．与既不是内错角，也不是同位角， 不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型7 同旁内角互补，两直线平行 1．（2025·山西运城·期中）如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 根据平行线的判定定理，逐一判定选项即可求解 【详解】A、， ，不满足题意； B、， ，满足同意； C、， ，不满足题意； D、， ，不满足题意； 故选：B 2．如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 3．（2025·河南洛阳期末）完成下面的解答过程： 已知：如图，平分，平分，且．试判断与是否平行． 解：平分（已知）， （    ） 平分（已知）， （角平分线的定义）． （    ）． （已知）， （等量代换）． （    ）． 【答案】角平分线的定义；；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】角平分线的有关计算、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判断即可得． 【详解】解：平分（已知）， （角平分线的定义）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）． （已知）， （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行 4. 如图所示： ，（已知）， （___________）， _____________（_________________）， 、相交， （__________________）， （等量代换）， （已知）， ． _______________（__________________）． 【答案】等量代换；；；同位角相等，两直线平行； 对顶角相等； ；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】，（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， 、相交， （对顶角相等）， （等量代换）， （已知）， ． （同旁内角互补，两直线平行）． 题型8 尺规画图问题 1．（2025·江苏淮安期末）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)线段_____的长度是点O到的距离； (3)过点A画的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析 【知识点】点到直线的距离、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查的是作图-复杂作图，熟知垂线段及平行线的作法是解答此题的关键． （1）过点P作，交于点C即可； （2）根据点到直线距离的定义即可得出结论； （3）依据平行线的判定，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点C即为所求； （2）∵， ∴线段的长度是点O到的距离． 故答案为：； （3）如图，． 2．（2025·江苏淮安期末）如图，点P是的边上的一点 (1)过点P画的平行线． (2)过点P画的垂线，交于H． (3)线段的长度是点H到___________的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)直线 【知识点】点到直线的距离、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，点到直线的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据推尺子的方法，作图即可； （2）根据垂直定义作图即可； （3）根据点到直线的距离是垂线段的长度可求． 【详解】（1）解：直线即为所求： （2）解：直线即为所求： （3）解：根据点到直线的距离是垂线段的长度， ∴线段的长度是点H到直线的距离， 故答案为：直线． 3．（2025·陕西榆林期末）如图，直线和相交，点是直线外一点．若直线也经过点且与直线垂直，垂足为；直线经过点，且与直线平行，与直线相交于点，根据以上描述画出图形． 【答案】见解析 【知识点】画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查几何作图，根据题意描述作图即可． 【详解】解：所求图形，如图所示． 4．（2025·福建泉州期末）如图，已知直线和直线外三点，按下列要求画图．（只画图，不写画法及结论）    (1)画射线，画直线； (2)画点到直线的垂线段，垂足为； (3)过点画直线的平行线． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了画射线与直线、画垂线、画平行线，熟练掌握基本作图是解题关键． （1）根据射线、直线的画法即可得； （2）根据“一落、二移、三画”的步骤画点到直线的垂线段，垂足为，连接即可得； （3）根据“一放、二靠、三推、四画”的步骤作直线即可得． 【详解】（1）解：如图，射线，直线即为所求．   ． （2）解：画点到直线的垂线段，垂足为，如图所示：   ． （3）解：过点画直线的平行线，如图所示：   ． 题型8 平行线判定综合 1．（2024·山西吕梁期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有 （多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 【答案】任务一：A，B，C；任务二：见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判定即可 【详解】解：任务一：如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∵, ∴， 故选项A正确； ∵ ∴， 故选项B正确； ∵ ∴， 故选项C正确； D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误； E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误； 所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C； 故答案为：A，B，C； 任务二：∵ ∴ 由折叠得， ∴ 又 ∴ 由折叠得， ∴， ∴， ∴． 2．如图（a）五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地示意图，经过多年开垦荒地，现已经变成图（b）所示的形状.但承包土地与开垦荒地的分解小路，即图（b）中折线CDE还保留着.张大爷想过E点修一条直路EF，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.（不计分解小路与直路的占地面积）请你用有关知识，按张大爷的修路要求在图（b）中画出相应的图形（请务必保留作图痕迹）. 【答案】见解析. 【分析】要求面积不变且要经过点E，我们可以假设这一直线已经作出，观察可以发现，实际上是将△EDC进行等积变换，此时只要连接EC，利用尺规作图过点D作EC的平行线，交EN于点F，交CM于点G，再连接EG，利用两平行线间的距离处处相等，可得S△ECG=S△ECD，问题即得解决. 【详解】解：画法如图1所示（连接EC，以ED为一边作∠EDF=∠DEC）． 图1                                  图2 如图2，连接EG，由作图知∠EDF=∠DEC，所以DF∥EC，设直线DF交EN于点F，交CM于点G，则线段EG即为所求直路的位置. 理由如下：如图2， ∵EC∥FG， ∴D和G点到EC的距离相等（平行线间的距离处处相等）， 又∵EC为公共边， ∴S△ECG=S△ECD（同底等高的两三角形面积相等）， ∴S五边形AEDCB= S四边形ABCE+S△ECD=S四边形ABCE+ S△ECG，S五边形EDCMN=S四边形EGMN． 即EF为直路的位置，可以保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多. 【点睛】本题考查尺规作图、平行线间的距离和等积变换，解题的关键是连接EC，作∠EDF=∠DEC，亦即FG∥EC，再连接EG，利用等积变换作出相等面积来彼此替换以保持总面积不变． 3．已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上． （1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程． （2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：； （3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；． 【分析】（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明； （2）先证明，再证明，得到，问题得证； （3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA=，进而得到，根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：（1）过点C作， ， ， ， ， ， ， ， ， ；               （2）解：，， 又， ， ， ， ， ， ； （3）如图三角形DEF即为所求作三角形．              ∵， ∴， 由（2）得，DE∥AC， ∴∠DEF=∠ECA=， ∵， ∴∠ACB=， ∴ ， ∴∠A=180°-=． 故答案为为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意画出图形是解题关键． 试卷第1页，共3页 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $