4.2等差数列的概念第2课时等差数列的性质与应用练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第2课时　等差数列的性质与应用 1.B　[解析] 因为{an}为等差数列,且2+10=3+9,所以a2+a10=a3+a9,所以a9+6=6,所以a9=0.故选B. 2.B　[解析] 设公差为d,∵a1+a4+a19=3a1+21d=3a8=6,∴a8=2,∴a3+a13=2a8=4.故选B. 3.C　[解析] 设该数列为{an},则a1+a3+a5+a7+a9=15,a2+a4+a6+a8+a10=30,两式相减得5d=15,解得d=3. 4.C　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,由a4+a8=2a6=20,得a6=10,故d=a7-a6=2,所以a4=a7-3d=12-6=6.故选C. 5.D　[解析] 因为a2+a10=2a6=16,所以a6=8,又a6a10=96,所以a10=12,故公差d==1.故选D. 6.B　[解析] 因为a2,a8是方程x2+mx-8=0的两根,所以a2+a8=-m,a2a8=-8,Δ=m2+32>0.在等差数列{an}中,a2+a8=a4+a6=2a5,又a4+a6=+1,所以2a5=+1,所以a5=1,所以-m=a2+a8=2a5=2,所以m=-2.故选B. 7.B　[解析] 因为{an},{bn}均为等差数列,所以{an+bn}为等差数列,又a1+b1=3,a3+b3=5,所以{an+bn}的公差为1,故a2025+b2025=a1+b1+2024×1=2027,故选B. 8.20　[解析] 因为数列{an}为等差数列,所以a3+a5+a7=3a5=30,即a5=10,则a1+a9=2a5=20. 9.-2　[解析] 在等差数列{an}中,∵a3+a5=+1,a3+a5=2a4,∴2a4=+1,解得a4=1,又a1=4,a1+a7=2a4,∴a7=-2. 10.A　[解析] 设自上而下各节竹子的容积(单位:升)分别为a1,a2,…,a9,依题意得因为a2+a3=a1+a4,a7+a9=2a8,所以a2+a3+a8=+=,故选A. 11.AB　[解析] 由题意得d>0,a1>0,∵a5=2,∴2-4d>0,解得d<,∴d∈,故A正确;2a7-a9=(a5+a9)-a9=a5=2,故B正确;由a3·a7-a4·a6=(2-2d)(2+2d)-(2-d)(2+d)=-3d2<0,可知a3·a7<a4·a6,故C错误;∵a1+a9=2a5=4,∴(a1+a9)=1,∴+=(a1+a9)=++≥+2=1,当且仅当a1=a9时取等号,但a1≠a9,故不能取等号,故D错误.故选AB. 12.ABD　[解析] 对于A,由题意得an=2+8(n-1)=8n-6,A正确;对于B,新数列的首项为2,公差为=2,故bn=2+2(n-1)=2n,B正确;对于C,由B选项知b29=58,令8n-6=58,得n=8,即b29是数列{an}的第8项,C错误;对于D,插入k个数,则a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,…,则等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中对应项的序号是以1为首项,k+1为公差的等差数列,故an=b1+(n-1)(k+1),若b9是数列{an}的项,则令1+(n-1)(k+1)=9,可得当k=7时,n=2,D正确.故选ABD. 13.9　[解析] 由等差数列的性质知log3a1+log3a2+…+log3a10=5(log3a5+log3a6)=5log3(a5a6)=10,∴log3(a5a6)=2,∴a5a6=32=9. 14.解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为a3+a8+a13=12,所以3a8=12,解得a8=4. 又a3a8a13=28,所以a3a13=(4-5d)(4+5d)=7,解得d=±. 当d=时,an=a8+(n-8)d=; 当d=-时,an=a8+(n-8)d=. (2)由(1)知,当d=时,an=,则a23==13;当d=-时,an=,则a23==-5. 故a23的值为13或-5. 15.解:(1)证明:设数列{an}的公差为d, ∵a2=4,a6=16,∴4d=a6-a2=12,得d=3, ∴an=a2+(n-2)d=3n-2. 设bn=an-3n,则bn=-2n-, ∴bn+1-bn=-2(n+1)--=-2, 即数列是公差为-2的等差数列. (2)由(1)得a1=1,设新数列为{cn},其公差为d1,则c1=a1=1,c5=a2=4,∴4d1=c5-c1=3,得d1=, ∴c41=c1+(41-1)d1=1+(41-1)×=31. 16.7　[解析] ∵an+2-2an+1+an=0,∴2an+1=an+2+an,∴数列{an}是等差数列,又a4=,∴a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4=π.∵f(x)=sin 2x+2cos2=sin 2x+cos x+1,∴f(a1)+f(a7)=sin 2a1+cos a1+1+sin 2a7+cos a7+1=sin(2π-2a7)+cos(π-a7)+1+sin 2a7+cos a7+1=-sin 2a7-cos a7+1+sin 2a7+cos a7+1=2,同理f(a2)+f(a6)=f(a3)+f(a5)=2f(a4)=2,∴数列{yn}的前7项和为7. 17.BD　[解析] 对于选项A,因为(-2)2n+2-(-2)2n=3×22n,所以{(-2)n}不是平方等差数列,即选项A错误;对于选项B,若{an}是平方等差数列,则-=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则{}是等差数列,即选项B正确;对于选项C,若{an}是平方等差数列,则-=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则(kan+b)2-(kan-1+b)2=k2(-)+2kb(an-an-1)=pk2+2kb(an-an-1)(n≥2,n∈N*,p为常数),所以{kan+b}(k,b∈N*,k,b为常数)不是平方等差数列,即选项C错误;对于选项D,若{an}是平方等差数列,则-=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则-=(-)+(-)+…+[-]=kp(n≥2,n∈N*,k,p为常数),故{akn+b}(k,b∈N*,k,b为常数)也是平方等差数列,即选项D正确.故选BD. 18. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则d>0. 根据等差数列的性质可得a2与a8的等差中项为a5,所以a5=8. 因为a3a7=28,即(a5-2d)(a5+2d)=28, 所以d2=9,又d>0,所以d=3. 由a5=a1+4d=8,得a1=-4, 所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=-4+3(n-1)=3n-7(n∈N*). (2)结合(1)可知bn=a3n=9n-7(n∈N*). 令938=9n-7,解得n=105,即b105=938, 所以938是数列{bn}中的项. 19.解:(1)数列{bn}的通项公式为bn=2n,对任意的m,t∈N*,m≠t,都有bm=2m,bt=2t,所以bm+bt=2m+2t=2(m+t),取k=m+t,则bm+bt=bk,所以{bn}是“G数列”. (2)数列{an}为等差数列, 若{an}是“G数列”,a1=8,a2∈N*,且a2>a1,则公差d=a2-a1>0,d∈N*,则an=8+(n-1)d. 对任意的m,t∈N*,m≠t,am=8+(m-1)d,at=8+(t-1)d,am+at=8+8+(m+t-2)d, 由题意知,存在k∈N*,使得am+at=ak, 即8+8+(m+t-2)d=8+(k-1)d,所以(m+t-2)d+8=(k-1)d,即(k-m-t+1)d=8,显然k≥m+t, k-m-t+1∈N*,所以d是8的正约数,即d=1,2,4,8. 当d=1时,a2=9,k=m+t+7; 当d=2时,a2=10,k=m+t+3; 当d=4时,a2=12,k=m+t+1; 当d=8时,a2=16,k=m+t. 综上,a2的所有可能取值为9,10,12,16. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　等差数列的性质与应用 1.[2025·江苏常州高二期末] 等差数列{an}中,若a3=6,a2+a10=6,则a9等于 (　 ) A.-1 B.0 C.-2 D.1 2.[2025·湖南娄底高二期末] 已知等差数列{an}满足a1+a4+a19=6,则a3+a13=(　 ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差d为(　 ) A.5 B.4 C.3 D.2 4.在等差数列{an}中,a4+a8=20,a7=12,则a4= (　 ) A.4 B.5 C.6 D.8 5.[2025·河南安阳高二期末] 设等差数列{an}的公差为d,若a2+a10=16,a6a10=96,则d= (　 ) A.4 B.3 C.2 D.1 6.在等差数列{an}中,a2,a8是方程x2+mx-8=0的两根,若a4+a6=+1,则m的值为 (　 ) A.-6 B.-2 C.2 D.6 7.已知{an},{bn}均为等差数列,且a1=1,b1=2,a3+b3=5,则a2025+b2025= (　 ) A.2028 B.2027 C.2026 D.2025 8.等差数列{an}中,若a3+a5+a7=30,则a1+a9的值为　　　　.  9.已知等差数列{an}满足a1=4,a3+a5=+1,则a7=　　　　.  10.《九章算术》是我国古代的一部数学专著,书中一个问题可以翻译为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节的容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中,自上而下的第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为 (　 ) A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 11.(多选题)[2025·浙江义乌高二阶段练] 已知各项均为正数的等差数列{an}是递增数列,且a5=2,则 (　 ) A.公差d的取值范围是 B.2a7-a9=2 C.a3·a7>a4·a6 D.+的最小值为1 12.(多选题)已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入k个数,使它们和原数列的数一起按原顺序构成一个新的等差数列{bn},下列说法正确的是 (　 ) A.an=8n-6 B.当k=3时,bn=2n C.当k=3时,b29不是数列{an}中的项 D.若b9是数列{an}中的项,则k的值可能为7 13.已知数列{log3an}是等差数列,若log3a1+log3a2+…+log3a10=10,则a5a6=　　　　　.  14.在等差数列{an}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求a23的值. 15.已知等差数列{an}中,a2=4,a6=16. (1)证明:数列是公差为-2的等差数列; (2)若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数,使得新数列也是一个等差数列,求新数列的第41项. 16.已知数列{an}满足an+2-2an+1+an=0,且a4=,若函数f(x)=sin 2x+2cos2,记yn=f(an),则数列{yn}的前7项和为　　　　.  17.(多选题)在数列{an}中,若-=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为平方等差数列.下列说法中正确的为 (　 ) A.{(-2)n}是平方等差数列 B.若{an}是平方等差数列,则{}是等差数列 C.若{an}是平方等差数列,则{kan+b}(k,b∈N*,k,b为常数)也是平方等差数列 D.若{an}是平方等差数列,则{akn+b}(k,b∈N*,k,b为常数)也是平方等差数列 18已知等差数列{an}的公差为正数,a2与a8的等差中项为8,且a3a7=28. (1)求{an}的通项公式. (2)从{an}中依次取出第3项,第6项,第9项,…,第3n项,按照原来的顺序组成一个新数列{bn},判断938是不是数列{bn}中的项?并说明理由. 19.对于无穷数列{cn},若对任意m,t∈N*,且m≠t,存在k∈N*,使得cm+ct=ck成立,则称{cn}为“G数列”. (1)若数列{bn}的通项公式为bn=2n,试判断数列{bn}是否为“G数列”,并说明理由; (2)已知数列{an}为等差数列,若{an}是“G数列”,a1=8,a2∈N*,且a2>a1,求a2的所有可能取值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $