4.2.1 等差数列的概念（第2课时 等差数列的性质及应用）同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1　等差数列的概念 第2课时　等差数列的性质及应用 基础巩固 1.（多选）数列{an}中，a1＝15，3an＋1＝3an－2，那么该数列中相邻两项的乘积为正数的是（ ） A.a21和a22 B.a22和a23 C.a23和a24 D.a24和a25 2.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是（ ） A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 3.已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为（ ） A.7 B.5 C.3 D.1 4.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有（ ） A.a1＋a101＞0 B.a1＋a101＜0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝51 5.数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6（a5＋a7＋a9）的值是（ ） A.－2 B.－ C.2 D. 6.（多选）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则（ ） A.冬至的日影长最长，为15.5尺 B.立夏比谷雨的日影长多1尺 C.大寒、雨水、春分的日影长成等差数列 D.清明的日影长为8.5尺 7.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为 . 8.已知数列{an}满足a1＝1，若点（，）在直线x－y＋1＝0上，则an＝ . 9.在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值. 10.在等差数列－5，－，－2，－，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. （1）求新数列的通项公式； （2）28是新数列中的项吗？若是，求出是第几项；若不是，说明理由. 综合运用 11.在1和19之间插入n个数，使这n＋2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当＋取最小值时，n的值是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 12.等差数列{an}中，若a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 012＋a2 023等于（ ） A.10 B.15 C.20 D.40 13.等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N*都有＝，则＋＝ . 拔高拓展 14.将1到2 023这2 023个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a10等于（ ） A.190 B.211 C.232 D.253 15.（多选）在数列{an}中，若－＝p（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的是（ ） A.若{an}是等方差数列，则{}是等差数列 B.数列{（－1）n}是等方差数列 C.若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则数列{an}一定不是常数列 D.若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列 解析 基础巩固 1.（多选）数列{an}中，a1＝15，3an＋1＝3an－2，那么该数列中相邻两项的乘积为正数的是（　ABD　） A.a21和a22 B.a22和a23 C.a23和a24 D.a24和a25 解析：由3an＋1＝3an－2可知{an}为等差数列，且公差d＝－，又a1＝15，∴an＝15＋（n－1）×（－）＝，由an＞0，得n＜23.5，故当n≤23时，an＞0，当n≥24时，an＜0，故A，B，D正确. 2.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是（　C　） A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 解析：因为（an＋1＋an＋3）－（an＋an＋2）＝（an＋1－an）＋（an＋3－an＋2）＝2d， 所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列. 3.已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为（　D　） A.7 B.5 C.3 D.1 4.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有（　C　） A.a1＋a101＞0 B.a1＋a101＜0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝51 解析：由等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51， 由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0， 故a3＋a99＝2a51＝0. 5.数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6（a5＋a7＋a9）的值是（　C　） A.－2 B.－ C.2 D. 解析：由3＋an＝an＋1， 得an＋1－an＝3. 所以{an}是公差为3的等差数列. 又a2＋a4＋a6＝9， 且a2＋a6＝2a4， 所以3a4＝9， 则a4＝3， 所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12， 故log6（a5＋a7＋a9）＝log6（3a7）＝log636＝2. 6.（多选）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则（　ACD　） A.冬至的日影长最长，为15.5尺 B.立夏比谷雨的日影长多1尺 C.大寒、雨水、春分的日影长成等差数列 D.清明的日影长为8.5尺 解析：从冬至起，日影长依次记为a1，a2，…，a12，则数列{an}（n∈N*，n≤12）是等差数列，因此，a1＋a4＋a7＝37.5，而a1＋a7＝2a4，所以a4＝12.5，设数列{an}的公差为d，由得解得A正确；a10－a9＝－1，立夏比谷雨的日影长少1尺，B不正确；a3，a5，a7成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影长成等差数列，C正确；a8＝a1＋（8－1）d＝8.5，即清明的日影长为8.5尺，D正确. 7.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为　－21　. 解析：设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得或 ∴这三个数为－1，3，7或7，3，－1， ∴它们的积为－21. 8.已知数列{an}满足a1＝1，若点（，）在直线x－y＋1＝0上，则an＝　n2（n∈N*）　. 解析：由题设可得－＋1＝0， 即－＝1，又a1＝1， 所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列， 故通项公式为＝n，所以an＝n2（n∈N*）. 9.在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值. 解：方法一：设公差为d， 则d＝＝＝－1，从而am＋n＝am＋（m＋n－m）d＝n＋n·（－1）＝0. 方法二：设等差数列的通项公式为an＝an＋b（a，b为常数）， 则得a＝－1，b＝m＋n. 所以am＋n＝a（m＋n）＋b＝0. 10.在等差数列－5，－，－2，－，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. （1）求新数列的通项公式； 解：（1）原数列的公差d＝－－（－5）＝，所以新数列的公差d'＝d＝，故新数列的通项公式为an＝－5＋（n－1）＝n－. （2）28是新数列中的项吗？若是，求出是第几项；若不是，说明理由. 解：（2）令－＝28，得n＝45，所以28是新数列中的项，是第45项. 综合运用 11.在1和19之间插入n个数，使这n＋2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当＋取最小值时，n的值是（　B　） A.4 B.5 C.6 D.7 解析：设等差数列的公差为d，则a＝1＋d，b＝19－d，从而a＋b＝20， 由题意知，d＞0，故a＞0，b＞0， 所以（a＋b）（＋）＝1＋16＋＋≥17＋2＝25， 即＋≥＝，当且仅当＝， 即b＝4a时取“＝”，又a＝1＋d，b＝19－d，所以d＝3，所以19＝1＋（n＋1）×3，所以n＝5. 12.等差数列{an}中，若a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 012＋a2 023等于（　B　） A.10 B.15 C.20 D.40 解析：∵a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a2＋a2 022＝10， 由等差数列的性质得2a1 012＝10，即a1 012＝5， ∴a1＋a1 012＋a2 023＝3a1 012＝15. 13.等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N*都有＝，则＋＝　1　. 解析：由等差数列的性质可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6， 所以＋＝＝＝＝1. 拔高拓展 14.将1到2 023这2 023个数中，能被3除余1，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则a10等于（　A　） A.190 B.211 C.232 D.253 解析：由题意可得an能被3除余1，且被7除余1，则an－1是21的倍数，即an－1＝21（n－1），即an＝21n－20，∴a10＝21×10－20＝190. 15.（多选）在数列{an}中，若－＝p（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的是（　ABD　） A.若{an}是等方差数列，则{}是等差数列 B.数列{（－1）n}是等方差数列 C.若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则数列{an}一定不是常数列 D.若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列 解析：根据等方差数列的定义可知，A正确. 因为（－1）2n－（－1）2（n－1）＝1－1＝0（n≥2），所以数列{（－1）n}是等方差数列，B正确. 若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列， 设公差为d，则－＝（an－an－1）（an＋an－1）＝d[2a1＋（2n－3）d]＝2a1d＋（2n－3）d2＝p（n≥2）. 又p为常数，所以d＝0，C错误. 若数列{an}是等方差数列，则－＝p（n≥2）， 故－＝（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＝kp为常数，D正确. 故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $