精品解析：河南省南阳市镇平县2025--2026学年上学期九年级数学第一次月考试卷

2025年秋期九年级数学阶段性作业训练 一、选择题 1. 化为最简二次根式的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题关键是熟练运用二次根式性质进行化简，准确进行计算． 【详解】， 故选：B． 2. 若，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例性质，把比例式化成等积式是解题的关键． 从选项判断，把每一个比例式化成等积式即可解答． 【详解】解：A.由得，，该选项错误，不符合题意； B. 由得，，该选项错误，不符合题意； C. 由得，，该选项错误，不符合题意； D. 该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记根的判别式是解题的关键． 【详解】解：，， ， 方程有两个不相等实数根， 故选：A． 4. 如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形，可知，，然后根据平行线分线段成比例，可知，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ，即， ， 故选：C． 5. 若a，b是方程的两根，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，一元二次方程的根，掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，可知，，然后将式子转变为，然后代入求值即可． 【详解】解：a，b是方程的两根， ，， ， ， 故选：B． 6. 如图是添加了便签的台历，正方形为日历区，正方形为备忘录区，长方形为便签区，已知日历区的面积为，备忘录区的面积为．则便签区的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，准确计算是解题的关键．根据题意分别求得两个正方形的边长，进而求得长方形的长和宽，即可求解． 【详解】解：∵正方形得面积为，正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴长方形的面积， 即便签区的面积为， 故选：C． 7. 已知矩形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．先根据矩形的性质可得，再利用一元二次方程根的判别式求得值，结合即可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵、的长度是关于x的方程的两个实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， ∵，即， ∴， ∴， 故选：A． 8. 已知一元二次方程的两个根分别是点P的横坐标，纵坐标，则当点P的横坐标为2时，点P的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第四象限 C. x轴上 D. y轴上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、判断点所在象限，熟练掌握一元二次方程的常见解法是解题的关键．先利用因式分解法求解方程，得到方程的两个根，确定点P的坐标，即可确定其所在象限． 【详解】解： ∴，， ∵方程的两个根分别是点P的横坐标，纵坐标，且点P的横坐标为2， ∴点P的纵坐标为0， ∴点P的位置在x轴上， 故选：C． 9. 观察下列等式：①；②；③．根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了探索规律，根据观察总结出等式的规律是解题的关键．根据题中等式的规律即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， 故选：B． 10. 如图，小明准备制作一个木头相框用来摆放相片，相框外框的长为，宽为，若图中b的长度为，为了保证美观，需使相框外框所在的矩形与内框所在的矩形相似，则图中a的长度应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的性质．根据相似图形的性质，即可求解． 【详解】解：∵相框外框所在的矩形与内框所在的矩形相似， ∴， 解得：， 即图中a的长度应为． 故选：D． 二、填空题 11. 若一元二次方程没有实数根，则k的值可以是_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，任一负数均可） 【解析】 【分析】本题考查了判断一元二次方程根的情况，根据根的判别式得出，然后解不等式，并在解集中选取一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程，即没有实数根， ∴， ∴， ∴k的值可以是， 故答案为：（答案不唯一，任一负数均可）． 12. 一个矩形的面积为，长为，则这个矩形的宽为_______． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式除法的应用，掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 直接根据题意列式，然后再运用二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为． 13. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】10或11##11或10 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到答案． 【详解】解：， ， 或， ，， 等腰三角形的腰为3，底边为4或等腰三角形的腰为4，底边为3， 等腰三角形的周长为或． 故答案为：10或11． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 14. 如图，某茶园计划在观赏茶园路上搭建的矩形平台上建一个休息亭，其余三面留有等宽的区域供游客活动（阴影部分）．已知矩形平台的长为，宽为，建成后休息亭的面积需达到，若设等宽区域的宽为，则可列方程为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，分别表示休息亭长为，宽为，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意得：休息亭长为，宽为， 所以，， 故答案为：． 15. 定义：顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点M是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为_____________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，黄金分割；可求出，当为的顶角时，取的中点D，连接，则，可证明是“黄金三角形”，再证明得到，进一步证明，可得；当点M与点D重合时，也是“黄金三角形”，此时． 【详解】解：∵在中，，， ∴； 如图所示，当为的顶角时，取的中点D，连接， ∴； ∵在中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴是“黄金三角形”； ∵， ∴点M是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点M与点D重合时，也是“黄金三角形”， ∴此时； 综上所述，的长为1或， 故答案：1或． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算二次根式的乘法和零指数幂，再进行减法计算； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程 （1）用配方法解方程： （2）用公式法解方程： 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握指定解法是解答本题的关键． （1）方程移项、配方、开方即可得到两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）将方程变形为一般形式，求出的值，再代入公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 这里， ， ∴， ∴，． 18. 已知关于x的方程的一个根是2，求它的另一个根和p的值． 【答案】另一个根是6，p的值为或6 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 根据根与系数的关系直接求解即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为，由根与系数的关系得， ， ∴， ∴ 解得，． 答：方程的另一个根是6，p的值为或6． 19. 如图，菱形的两条对角线与（）相交于点O，若，是一元二次方程的两个根，求菱形的周长． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先解方程，得到，，然后结合菱形对角线互相平分且垂直，结合勾股定理，即可求得，从而得出菱形的周长． 【详解】解：， ，． ∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，，， 在中，，，， 根据勾股定理得：． ∴菱形ABCD周长是． 20. 在数学课上，李老师在黑板上写出关于一元二次方程的几何解法： 一元二次方程的几何解法 下面是公元9世纪的阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何解法求解一元二次方程的过程． 解：如图，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x、宽为1的矩形拼成一个大正方形，面积就是，同时面积也是，故，而可变形为，即，，，． 请你用上述的几何解法求方程的解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了几何解法求解一元二次方程，读懂题意，构造出边长为的正方形是解题的关键．将边长为x的正方形和边长为3的正方形，外加两个长为x、宽为3的矩形拼成一个大正方形，根据那么大正方形的面积就是，同时面积也是，得到，然后将整理为，那么可知，然后解方程即可得出答案． 【详解】解：将边长为x的正方形和边长为3的正方形，外加两个长为x、宽为3的矩形拼成一个大正方形，如图所示： 那么大正方形的面积就是，同时面积也是， 故， 可变形为， ， ， ，． 21. 我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作交BC于点F，得到，得到，根据，推出，，，得到，接着证明，通过四边形DFCE是平行四边形，，得到，加上，，，从而得证． 【详解】证明：作交于点F． ∴， ∴． ∵， ∴，，， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵，，， ∴． 22. 随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． （1）若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低1元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利5600元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题关键． （1）设月平均增长率为x，那么3月份销售额为，4月份销售额为，根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可； （2）设售价应降低元，那么每天可以卖出千克，每千克的利润为元，然后根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，根据题意，得 ． 整理得， 解得：，． ∵要尽量减少库存， ∴不合题意，舍去， ， 答：售价应降低5元． 23. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图，，，的平分线交于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）填空，________，________，点P到x轴的距离是________；（用含t的代数式表示） （2）设的面积为，的面积为，求当t为何值时，的值为18． （3）作于点M，是否存在t的值，使，且．若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，t （2）4 （3）存在，t的值为 【解析】 【分析】本题考查动点问题，勾股定理，矩形的性质和相似三角形的性质，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，勾股定理和相似三角形的性质． （1）根据路程等于速度乘以时间，即可表达，，根据等腰三角形的判定与性质可求出点P到x轴的距离； （2）连接，证明是等腰直角三角形求出，可得，结合（1）的结论求出，然后根据的值为18求解即可； （3）根据，且求出，进而可求出t的值． 【小问1详解】 ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动 ∴；． ∵矩形， ∴． ∵的平分线交于点D， ∴． 作于点M， ∴， ∴． 故答案为：，，t； 【小问2详解】 连接，过点作于点 ∵四边形是矩形，点，点 ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴在直角三角形中， 由（1）知，，， ∴． ∵的值为18， ∴， 解得（负值舍去）． 【小问3详解】 ∵，且， ∴． ∵点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期九年级数学阶段性作业训练 一、选择题 1. 化为最简二次根式的结果为（　　） A. B. C. D. 2. 若，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6 5. 若a，b是方程的两根，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 6. 如图是添加了便签的台历，正方形为日历区，正方形为备忘录区，长方形为便签区，已知日历区的面积为，备忘录区的面积为．则便签区的面积为（ ） A B. C. D. 7. 已知矩形对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 无法确定 8. 已知一元二次方程的两个根分别是点P的横坐标，纵坐标，则当点P的横坐标为2时，点P的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第四象限 C. x轴上 D. y轴上 9. 观察下列等式：①；②；③．根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，小明准备制作一个木头相框用来摆放相片，相框外框的长为，宽为，若图中b的长度为，为了保证美观，需使相框外框所在的矩形与内框所在的矩形相似，则图中a的长度应为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若一元二次方程没有实数根，则k的值可以是_______．（写出一个即可） 12. 一个矩形的面积为，长为，则这个矩形的宽为_______． 13. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________． 14. 如图，某茶园计划在观赏茶园路上搭建的矩形平台上建一个休息亭，其余三面留有等宽的区域供游客活动（阴影部分）．已知矩形平台的长为，宽为，建成后休息亭的面积需达到，若设等宽区域的宽为，则可列方程为_______________． 15. 定义：顶角为的等腰三角形叫做“黄金三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的黄金分割点．如图，在中，，，，点M是边上一点，若是“黄金三角形”，则的长为_____________． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2） 17. 解方程 （1）用配方法解方程： （2）用公式法解方程： 18. 已知关于x的方程的一个根是2，求它的另一个根和p的值． 19. 如图，菱形的两条对角线与（）相交于点O，若，是一元二次方程的两个根，求菱形的周长． 20. 在数学课上，李老师在黑板上写出关于一元二次方程的几何解法： 一元二次方程的几何解法 下面是公元9世纪的阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何解法求解一元二次方程的过程． 解：如图，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x、宽为1的矩形拼成一个大正方形，面积就是，同时面积也是，故，而可变形为，即，，，． 请你用上述的几何解法求方程的解． 21. 我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 22. 随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． （1）若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低1元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利5600元，则售价应降低多少元？ 23. 矩形在平面直角坐标系中位置如图，，，的平分线交于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）填空，________，________，点P到x轴的距离是________；（用含t的代数式表示） （2）设的面积为，的面积为，求当t为何值时，的值为18． （3）作于点M，是否存在t值，使，且．若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $